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第九章 独立需求库存控制

什么是库存?为什么要进行库存控制?独立需求库存问题与相关需求库存问题有何差异？库存控制的中心问题是什么?怎样实施库存控制?这些都是本章将回答的问题。
本章从分析生产过程的物料料流人手，在介绍了库存的概念、作用及对待库存的不同态度之后，讨论了处理不同库存问题的模型与方法。
第一节 库存管理概述
一、物料流
企业之间是通过物料流、信息流、人员流和资金流来实现联系的。企业物料流不是封闭的。 如：
钢材——机械设备——采矿——冶炼成钢材。
二、库存的含义
从一般意义上来说，库存是为了满足未来需要而暂时闲置的资源。资源的闲置就是库存，与这种资源是否存放在仓库中没有关系，与资源是否处于运动状态也没有关系。汽车运输的货物处于运动状态，但这些货物是为了未来需要而暂时闲置的，就是库存，是——种在途库存。这里所说的资源，不仅包括工厂里的各种原材料、毛坯、工具、半成品和成品，而且包括银行里的现金，医院里的药品病床，运输部门的车辆等。一般地说，人、财、物、信息各方面的资源都有库存问题。专门人才的储备就是人力资源的库存，计算机硬盘贮存的大旦信息，是信息的库存。
三、库存的作用
1、缩短定货提前期：当制造厂维持一定且的成品库存时，顾客就可以很快采购到他们所需的物品，这样缩短了顾客的订货提前期，也使供应厂商争取到顾客。
2、稳定作用：外部需求不稳定，内部生产又要求平衡， 可以通过维持一部分库存。
3、分摊定货费用：需要一件采购一件，可以不需要库存，但不—定经济。订货需要一笔费用，这笔费用若摊在一件物品上将是很高的。如果一次采购批，分摊在每件物品上的订货费就少了，但这样会有一些物品一时用不上，造成库存。对生产过程，采取批量加工，可以分摊调整准备费用但批量生产就会造成库存。
4．防止短缺 维持一定量库存可以防止短缺。为了应付自然灾害和战争，一个国家必须要有储备。
5．防止中断 在生产过程中维持一定量的在制品库存，可以防止生产中断。显然，当某道工序的加工设备发生故障时，如果工序间有在制品库存，其后续工序就不会中断。同样，在运输送中维持一定量的库存，可以保证供应，使生产正常进行。例如，某工厂每天需要100吨原料，供方到需方的运输时间为2天，则在途库存为200吨，才能保证生产不中断。
但并不是库存越多越好，应该保持适当的库存，并尽量降低库存，原因是大量库存造成成本升高，同时掩盖了许多生产过程中的缺陷，使问题不能及时解决。
(一)单周期库存与多周期库存
根据对物品需求的重复次数可将物品分为单周期需求与多周期需求。所谓单周期需求即仅仅发命在比较短的一段时间内或库存时间不可能太长的密求、也被称作一次性订货量问题。圣诞树问题和报童问题都属于单周期库存问题。
多周期需求则指足够长的时间哭对某种物品的重复的、连续的需求，其库存需要不断地补充。与单周期需求比，多周期需求问题普遍得多。
单周期需求出现在下面两种情况：1.偶尔发生的某种物品的需求；2.经常发生的某种生命周期短的物品的不定量的需求。第—种情况如由奥运会组委会发行的奥运会纪念章或新年贺卡；第二种情况如那些易腐物品(如鲜鱼)或其它生命周期短的易过时的商品(如日报和期刊)等。对单周期需求物品的库存控制间题称为单周期库存问题，对多周期需求物品的库存控制问题称为多周期库存问
题。
(二)独立需求库存与相关需求库存
· 独立需求：指对一种物料的需求，在数量上和时间上与对其他物料的需求无关，只取决于市场和顾客的需求。
· 相关需求（从属需求、非独立需求）：指对一种物料的需求，在数量上和时间上直接依赖于对其他物料的需求。

来自用户的对企业产品和服务的需求称为独立需求。独立需求最明显的特征是需求的对象和数量不确定，只能通过预测方法租赂地估计。相反，我们把企业内部物料转化各环啃之间所发生的需求称为相关需求。相关需求也称为非独立需求，它可以根据对最终产品的独立需求准确地计算出来。比如，某汽车制造厂年产汽车30万辆，这是通过预测市场对该产品的独立需求来确定的。一旦30万辆汽车的生产任务确定之后，对构成该种汽车的零部件和原材料的数量和需要时间是可以通过汁算精确地得到的。对零部件和原材料的需求就是相关需求。相关需求可以是垂直方向的，也可以是水平方向的。产品与其零部件之间垂直相关，与其附件和包装物之间则水平相关。
独立需求库存问题和相关需求库存问题是两类不同的库存问题。后者将已在第七章专门介绍。前者则是本章讨论的重点。另外，相关需求和独立需求都是多周期需求，对于单周期需求，是不必考虑相关与独立的。企业里成品库存的控制问题属于独立需求库存问题，在制品库存和原材料库存控制问题属于相关需求库存问题。
库存控制系统有输出、输人、约束和远行机制4方面，如图9—2所示。库存控制系统的输出和输入都是各种资源。与生产系统不同，在库存控制系统小没有资源形态的转化。输入是为了保证系统的输出(对用户的供给)。约束条件包括库存资金的约束、空间约束等。运行机制包括控制哪些参数以及如何控制。在一般情况下，在输出端，独立需求不可控；在输人端，库存系统向外发出订货的提前期也不可控．它们都是随机变量。可以控制的一般是何时发出订货(订货点)和一次订多少(订货量)两个参数。库存控制系统正是通过控制订货点和订货旦来满足外界需求并使总库存袭用最低。
（三）生产过程的需求分析

五、库存控制系统
任何库存控制系统均必须提出三个问题：
u 隔多长时间检查一次库存；
u 何时提出补充定货；
u 每次定多少。
按照对以上3个问题的回答方式的不同。可以分成3种典型的库存控制系统。
1、连续观测库存控制系统（固定量系统）
（1）工作原理：连续不断的监视库存余量的变化，当库存余量下降到某个预定数值——定货点（Reorder point , RL)时, 就向供应商发出固定批量的定货请求，经过一段时间，我们称之为提前期（Lead time , LT) , 定货到达补充库存。

（2）特点：要发现现有库存量是否到达订货点RL ，必须随时检查库存量，这样就增加了管理工作量，但它使库存量得到严密的控制 ，因此，适用于重要物资的库存控制。
2、定期观测库存控制系统（固定间隔期系统）
（1） 工作原理：每经过一个固定的时间间隔，发出一次定货，定货量为将现有库存补充到一个最高水平S

（2）优点：不需要随时检查库存，简化了管理，也节省了订货费用。
（3）缺点：不论库存水平降得多还是少，都要按期发出订货，当L 很高时，订货量是很少的。
3、最大最小系统
工作原理：实质仍然是一种固定间隔期系统，只不过它需要确定一个定货点S 。当经过时间间隔 t 时，如果库存降到 S 及以下，则发出定货；否则，再经过时间 t 时再考虑是否发出定货。

第二节 库存问题的基本模型
库存问题的基本模型包括单周期库存基本模型和多周期库存基本模型。多周期库存基本模型包括经济订货批量模型、经济生产批量模型和价格折扣模型。

一、单周期库存模型
对于单周期需求来说，库存控制的关键在于确定订货批量。订货量就等于预测的需求量。
由于预测误差的存在，根据预测确定的订货量和实际需求量不可能一致。如果需求量大于订货量，就会失去潜在的销售机会，导致机会损失——即订货的机会(欠储)成本。另一方面，假如需求量小于订货量，所有未销售出去的物品将可能以低于成本的价格出售，甚至可能报废还要另外支付一笔处理费。这种由于供过于求导致的费用称为陈旧(超储)成本。显然，最理想的情况是订货量恰恰等于需求量c
为了确定最佳订货量，需要考虑各种由定货引起的费用。由于只发出一次订货和只发生一次订购费用，所以订货费用为一种沉没成本，它与决策无关。库存费用也可视为一种沉没成本，因为单周期物品的现实需求无法准确预计，而且只通过一次订货满足。所以即使有库存，其费用的变化也不会很大。因此，只有机会成本和陈旧成本对最佳订货员的确定起决定性的作用。确定最佳订货量可采用期望损失最小法、期望利润最大法或边际分析法。
(一)期望损失最小法
顾名思义，期望损失最小法就是比较不同订货量下的期望损失，取期望损失最小的订货量作为最佳订货量。已知库存物品的单位成本为C，单位售价为P，若在预定的时间内卖不出去，则单价只能降为S(S<C)卖出，单位超储损失为Co＝C－S；若需求超过存货，则单位缺货损失(机会损失) Cu＝P—C。设订货量为Q时的期望损失为EL(Q)，则取使EL(Q)最小的Q作为最佳订货量。
置EL(Q)可通过下式计算：

期望损失最小法示例
按过去的记录，新年期间对某商店挂历的需求分布率如表所示

已知：每份挂历的进价为C＝50元，售价P＝80元。若在1个月内卖不出去，则每份挂历只能按S＝30元卖出。求：该商店应该进多少挂历为好。
解：设该商店买进Q份挂历当实际需求d <Q 时，将有一部分挂历卖不出去，每份超储损失为Co= C -S = 50 –30 = 20（元）；
当实际需求d > Q 时，将有机会损失，每份欠储损失为Cu= P-C = 80 –50 = 30（元）。
当Q = 30时，则EL(Q)=[30×(40-30) ×0.20+ 30×(50-30) ×0.15] + [20×(30-0) ×0.05+ 20×(30-10) ×0.15+ 20×(30-20) ×0.20 ] = 280（元）。
当Q取其它值时，可按同样方法算出EL(Q)，结果如表9—2所示由表9—2可以得出最佳订货量为30份。

(二)期望利润最大法
比较不同订货量下的期望利润，取期望利润最大的订货量作为最佳订货量设订货量为Q时的期望利润为EP(Q)。

当Q = 30时，则EL(Q)= [30×0–20 (30-0)] ×0.05+ [30×10–20 (30-10)] ×0.15+ [30×20–20 (30-20)] ×0.20+ 30×30×0.25+ 30×30×0.20+ 30×30×0.15 = 575（元

（三）边际分析法
假定原计划订货量为D，考虑追加一个单位订货的情况。追加1个单位的订货，使得期望损失变化，如果Q为最佳订货量，则无论增加或减少都应使损失加大。

则临界缺货概率

含义：当实际需求大于订货量D的概率P（D）等于P（D*）时，D就是最佳的订货量。若不存在一个D，使得P（D）＝P（D*）成立，则满足条件P（D）>P（D*）且[P（D）-P（D*）]最小的D就是D*。确定了D*，然后再根据经验分布就可以找出最佳订货量。

某批发商准备订购一批圣诞树供圣诞节期间销售。该批发商对包括订货费在内的每棵圣诞树要支付＄2，树的售价为＄6。未售出的树只能按＄1出售。节日期间圣诞树需求量的概率分布如表所示（批发商的订货量必须是10的倍数）。试求该批发商的最佳订货量。

查表可知，实际需求大于50棵的概率为0．25，再结合求D* 的条件可以求出最佳订货量为50棵。

二、多周期模型
对于多周期库存模型，本书将讨论经济订货批量模型、经济生产批量模型和价格折扣模型。在介绍这些模型之前，先要对与库存有关的费用进行分析。只有在对费用分析的基础上，才能有明确的优化方向。
1、首先明确与库存有关的费用
（1）随库存量增加而增加的费用
资金成本：库存资源本身有价值，占用了资金，闲置造成机会成本，资金也就是维持库存物品本身所必须的花费；
仓储空间费用：建仓库，配设备，照明，修理，保管等开支；
物品变质和陈旧；
税收和保险。
（2）随库存量增加而减少的费用
u 订货费：与发出订单和收货活动有关的费用，只与订货次数有关，与订多少无关，一次多订，则分摊到每件上的费用少。（在订货时有订货费，在生产时有调整准备费）
u 调整准备费：准备图纸、工艺、工具，调整机床、安装工艺装置等，均需时间和费用,多加工一些零件,则分摊的调整准备费用就少。
u 购买费和加工费：购买或加工的批量，可能会有价格折扣。
u 生产管理费：加工批量大，为每个工件做出安排的工作量就小。
u 缺货损失费：批量大，则发生缺货损失的情况就少。
u 年维持库存费用（Holding cost）： 以CH表示,是维持库存所必须的费用。包括（1）中的费用。
u 年补充定货量（Reorder cost）： 以 CR表示，与全年发生的定货次数有关。一般与定货多少无关。
u 年购买费(加工费)(Purchasing cost)：以Cp表示,与价格和定货数量有关。
u 年缺货损失费（Shortage cost）：以CS表示,失去销售机会带来的损失。
u 总费用：CT=CH +CR +Cp+CS
2、经济定货批量(Economic Order Quantity, EOQ)
经济订货批量（Economic Order Quantity，EOQ）模型, 1915年F.W. Harris提出。
假设条件􀂾外部对库存系统的需求率已知，需求率均匀且为常量。年需求率D，单位时间需求率d􀂾一次订货量无最大最小限制􀂾采购、运输均无价格折扣􀂾订货提前期已知，且为常量􀂾订货费与订货批量无关􀂾维持库存费是库存量的线性函数􀂾不允许缺货􀂾补充率为无限大，全部订货一次交付􀂾采用固定量系统

∵不允许缺货，∴CT =CH +CR +Cp=H（Q/2）+S（D/Q）+pD
H:单位维持库存费用,H=ph；
p:单价；
h:单位库存保管费用与单位库存购买费之比；
D：库存项目的年需求总量；
S：库存项目的单位定货费用。

定货点RL=D*LT
最佳定货批量下: CH +CR= S（D/Q*）+ H(Q*/2)

经济订货批量模型示例S公司以单价10元每年购入某种产品8000件。每次订货费用为30元，资金年利息率为12％，单位维持库存费按所库存货物价值的18％计算，每次订货的提前期为2周，试求经济订货批量、最低年总成本、年订购次数和订货点
解：h=0.12+0.18=0.3 则H=ph=10×0.3=3元
（1）

(2) CT =CH +CR +Cp=+pd =81200元
(3) 年订货次数：n=D/EOQ=8000/400=20次
(4) 订货点：RL=LT(D/52)=2×(8000/52)=307.7件
3、经济生产批量模型量(Economic Production Lot, EPL)
也称为经济生产量(Economic Production Quantity, EPQ)。
在EOQ模型中，认为库存的补充是瞬时交货的，而实际生产中往往存在边消耗边补充的情况。这样就会出现以下情况：
当生产能力大于需求时，库存是逐渐增加的。当库存增大到一定量时，应停止生产一段时间。因而生产过程是间断的；
当生产能力小于或等于需求时，生产过程是连续的，不存在成品库存；
当生产能力大于需求时，就要解决多大的生产批量最经济的问题。由于每次生产有调整准备费，随着次数增多而增多，随着批量增大而减小。库存费随批量增大而增加。所以出现了EPQ问题。

假设条件除第8条以外，其余均相同。

基本参数
C—单位生产成本；D—年总需求量；
S—每次生产的生产准备费； Q—一次生产的批量；
H—单位货物每年的存储成本；
Pr—生产率（单位时间的产量）；
d—需求率（单位时间的出库量，d<Pr）；
TC—年总成本； RL—订货点； LT—生产提前期

例1：戴安公司是生产氧气瓶的专业厂。该厂年工作日为220天，市场对氧气瓶的需求率为50瓶/天。氧气瓶的生产率为200瓶/天，年库存成本为1元/瓶，设备调整费用为35元/次。求：经济生产批量(EPQ)；‚每年生产次数；ƒ最大库存水平；„一个周期内的生产时间和纯消耗时间的长度。

4、价格折扣模型
为了刺激需求，诱发更大的购买行为，供应商往往在顾客的采购批量大于某一值时提供优惠的价格。这就是价格折扣。图9—9表示有两种数量折扣的情况。当采购批量小于Ql时，单价为p1；当采购批量大于或等于Ql而小Q2时，单价为p2；当采购批量大于或等于Q2时，单价为p3(（p1＞ p2 ＞ p3 ）)。
价格折扣对于供应厂家是有利的:
u 生产批量大，生产成本低
u 销售量扩大，占领市场，获取更大利润

对用户:
u 每次订购量大，订货次数减少，装运成本较低，年订货费用降低􀂾单价较低，年订购成本较低
u 较少发生缺货，有效对付价格上涨
u 库存量大，储存费用高
u 存货周转较慢且容易陈旧，且有一定的风险（如更新换代后，而用不上）。
是否接受价格折扣需通过价格折扣模型计算。
价格折扣模型的假设条件仅有一条(条件(3))与EOQ模型假设条件不一样，即允许有价格折扣。由于有价格折扣时，物资的单价不再是固定的了，传统的EOQ公式不能简单地套用。图9—10所示为有两个折扣点的价格折扣模型的费用。年订货费cR与价格折扣无关，曲线与EOQ模型的一样。年维持库存费cH和年购买费cP都与物资的单价有关。因此，费用曲线是一条不连续的折线。3条曲线的叠加，构成的总费用曲线也是一条不连续的曲线。但是，无论如何变化，员经济的订货批量仍然是总费用曲线上最低点所对应的数量由于价格折扣模型的总费用曲线不连续，所以成本最低点或者是曲线斜率(亦即一阶导数)为零的点，或者是曲线的中断点。求有价格折扣的员忧订货批量司按下而步骤进行：

(1)取最低价格代人基本EOQ公式求出最佳订货批量Q*，若Q*可行(即所求的点在曲线CT上)Q即为最优汀货批量，停止。否则转步骤(2)。
（2）取次低价格代人基本EOQ公式求出Q*􀂾如果Q*可行，•计算订货量为Q*时的总费用•计算所有大于Q*的数量折扣点（曲线中断点）所对应的总费用•取其中最小总费用所对应的数量即为最优订货批量，停止􀂾如果Q*不可行，重复步骤二，直到找到一个可行的EOQ为止。
价格折扣模型示例
S公司每年要购人1200台X产品。供应商的条件是：􀂾订货量大于等于75单位时，单价32．50元􀂾订货量小于75单位时，单价35．00元每次订货的费用为8.00元单位产品的年库存维持费用为单价的12％试求最优订货量。

第三节 随机型库存问题
在前面的讨论中，需求率和订货提前期都被视为确定的，这只是一种理想情况、在现实生活中，需求率和提前期都是随机变量。需求率和提前期中有一个为随机变量的库存控制问题，就是随机型库存问题。
一、假设条件
u 需求率d和提前期LT为已知分布的随机变量，且在不同的补充周期，这种分布不变
u 补充率无限大，全部订货一次同时交付
u 允许晚交货，即供应过程中允许缺货，但一旦到货，所欠发必须补上
u 年平均需求量为D
u 已知一次订货费为S，单位维持库存费为H，单位缺货损失费为CS
u 无价格折扣
按照以上假设条件，库存员的变化如图9—11所示。

二、固定量系统下订货量和订货点的确定
确定固定量系统下订货量和订货点的目标仍然是使总库存费用最少。随机型库存问题与确定性库存问题的最大差别在于：它允许缺货，因此必须考虑缺货损失费。
式中，CT为库存相关费用;EL为各周期库存量的期望值：Es(RL)为订货点为RL下各周期缺货量的期望值；Cs为单位缺货损失费。CP为常量，可以不考虑。
由于库存量降到订货点就发出订货，缺货只是在提前期内发生。因此订货点为RL时各周期缺货量的期望值：

各周期库存量的期望值：

对Q和RL求一阶偏导数，并令其等于零。通过对订货批量Q求偏导数，得：

通过对RL求偏导数，得：

如果Q和RL可以连续取值，则联立求解式(9．15)和式(9．14)便可以求出最优的订货批量Q。和最优的订货点RL。但无论是订货量还是订货点，都只能取离散值，因此，只能用逐步逼近的方法求满意解。
逐步逼近法可以这样进行：先用式9．15计算—“个Q，然后将该Q值代人式(9．14)，求得一个RL，再求E s(月L)：用式(9．15)又求的一个Q值，再代入式(9．14)求得另一个RL…．”如此进行下友，可以求得满意解。
提期内需求分布律的确定可以采用模拟法、计算法、经验估算等方法确定。

四、求订货量和订货点的近似方法
前述求最佳订货量和订货点的方法十分复杂，难以在生产实际中应用。加之实际数据并不一定很准确，用精确的方法处理不精确的数据，其结果还是不精确。因此，有必要研究简单易行并足够难确的求订货量和订货点的近似方法。
对于订货量，可以直接用EOQ公式汁算。对于订货点，可以采用经验方法确定，也可以通过确定安全库存或服务水平的办法来计算。用经验方法比较粗糙，如现有库存为提前期内需求的2倍（或1.5倍、1.2倍时）提出订货。
1、安全库存（safety stock, SS）
在知道安全库存的情况下可以按下式计算定货点RL=SS+DE
DE：提前期内需求的期望值。
需求率和订货提前期的随机变化都被预设的安全库存所吸收。
安全库存有双重作用：
①降低缺货损失率，提高了服务水平(Service level)
②增加了维持库存费用。
即使有安全库存存在也不能保证每一次需求都能得到满足，SS只是降低了缺货率。
在随机型库存系统中，需求率和订货提前期的随机变化都被预设的安全库存所吸收。安全库存是一种额外持有的库存，它作为一种缓冲器用来补偿在订货提前期内实际需求量超过期望需求量或实际提前期超过期望提前期所产生的需求。团9—14表示提前期内需求近似服从正态分布的情况。图中左边明影部分面积表示不发生缺货的概率，可以作为库存系统的服务水平i右边阴影部分面积表示发生缺货的概率。从图9—14可以看出，如果没有安全库存．缺货的概率可达到50％。
即使有安全库存存在也不能保证每一次需求都能得到满足，SS只是降低了缺货率。

2、服务水平（与缺货率是相对的，服务水平+缺货率=1）
表示方法：
1)  整个周期内供货的数量/整个周期的需求量；
2)  提前期内供货的数量/提前期的需求量；
3)  顾客订货达到满足的次数/订货发生的总次数；
4)  不发生缺货的补充周期/总补充周期数；
5）手头有货可供的时间/总服务时间。
我们取提前期内需求DL不超过订货点RL的概率作为服务水平：

3、安全库存与服务水平的关系
很明显，服务水平越高，安全库存量越大，所花的代价也越大，但服务水平过低又将失去顾客，减少利润。因而确定适当的服务水平是十分重要的。图9—15中的曲线描述订货点和服务水平的关系。在服务水平比较低时，特服务水平提高同样比例，订货点增加幅度(安全库存增加幅度)小(LI)；在服务水平比较高时，将服务水平提高同样比例，订货点增加幅度(安全库存增加幅度)大(L2)，Lz＞L，这就是说，在服务水平较低时，稍稍增加、—点安全库存，服务水平提高的效果就很明显。但是，当服务水平增加到比较高的水平(如90％)，再提高服务水平就需大幅度增加安全库存。

在服务水平较低时，增加安全库存，服务水平提高效果明显当服务水平增加到较高水平（如90％），再提高服务水平就需大幅度增加安全库存
对于提前期内需求为符合正态分布的情形：

DE：提前期内需求的期望值
Z：正态分布的上百分点
： 提前期内需求量的标准差
对于提前期内各单位时间内需求分稍相生独立的情况，有；

随机型库存问题示例
根据历年资料，可知C公司在提前期内需求呈正态分布，提前期平均销售A产品320台，其标准差为40台。订货提前期1周，单位订货费是14元，单位维持库存费用是每台每年1.68元，缺货成本是每台2元。试确定该公司的库存策略。
解：利用有关公式可得：

取整为527台
最优服务水平下的缺货概率

（3）查正态分布得 z=1.93
（4）订货点 RL=DE+ZσL=320+1.93×40=397台
（5）安全库存 SS=RL－DE＝397-320=77台
（6）服务水平 SL=1－0.0266=0.9734=97.34%