概率论与数理统计课件.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,概率论与数理统计,概率论与数理统计,1,第一章,：,随机事件及其概率,概率论与数理统计是数学的一个重经分支，它是研究随机现象统计规律的一门学科，广泛应用于科学研究、工程技术、经济及管理等各个领域。,本章通过随机试验介绍概率论中随机事件的关系及其运算、概率的性质及其计算方法。,2,3,1.确定性（或必然）现象和随机（或不确定性、偶然）现象.,2.随机现象:在一定条件下可能发生也可能不发生，在个别观察中其结果呈现出不确定性（或称为偶然性或随机性）,在大量重复观察中其结果又具有统计规律性.,1,随机事件及其计算,3.,对某种现象或对某个事物的某个特征的观察（测）以及各种各样的科学实验统称为,实验,。随机现象的基本特征是，在一定条件下单次实验的可能结果不止一个，每次实验只能出现其中之一，但预先无法预知，但大量多次重复实验，出现各种结果的,比例数,又具体统计规律性。,一、随机现象与随机实验,4,E,1,:,抛一枚硬币，观察正(,H),反(,T),面 的情 况.,E,2,:,将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况.,E,3,:,将一枚硬币抛三次，观察出现正面的情况.,举例:,我们将对自然现象的一次观察或进行一次科学试验,称为试验。,E,4,:,电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.,E,5,:,在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命.,E,6,:,在一批产品中任意抽取若干件，以检验产品的合格率.,5,基本特征,(1)可在相同的条件下重复试验;,(2)每次试验的可能结果不止一个,且能事先明确所有可能的结果;,(3)每次实验只能出现可能结果中的一个，但一次试验前不能预先确定到底会出现哪个结果.,在相同条件下，大量重复进行的这类试验，称为,随机实验,：,6,二、,样本空间:,定义 随机试验,E,的所有可能的结果组成的集合称为,E,的样本空间,记为,S.,样本空间的元素，也就是最简单的每一个直接结果称为样本点，用,表示.,样本空间的分类:,1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个.例,E,1,E,2,等.,2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值.例 灯泡的寿命,t|t0,.,基本事件,7,三、,随机事件,定义 样本空间,S,的子集称为随机事件,简称事件.在一次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.,它是满足某些条件的样本点的集合,。,基本事件,:,复合事件:,必然事件:,不可能事件,：,由一个样本点组成的单点集.如:,H,T.,由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件为复合事件.,如:,E,3,中,出现正面次数为奇数.,样本空间,S,是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。,空集,不包含任何样本点,它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。,8,例1.,试确定试验E,2,中样本空间,样本点的个数,并给出如下事件的元素:,事件A,1,=“第一次出现正面”、事件A,2,=“恰好出现一次正面”、事件A,3,=“至少出现一次正面”,.,9,四、,事件间的关系与运算,1.包含关系和相等关系:,A,B,S,若事件,A,发生必然导致事件,B,发生,则称件,B,包含事件,A,记作,A,B.,若,A,B,且,A,B,即,A=B,则称,A,与,B,相等.,10,B,A,S,2.和事件:,3.积事件：事件,A,B=,x,|,x,A,且,x,B,称,A,与,B,的积，即事件,A,与,B,同时发生.,A,B,可简记为,AB.,类似地,事件 为可列个事件,A,1,A,2,.,的积事件.,B,A,S,11,4.差事件:,事件,A-B=,x,|,x,A,且,x,B,称为,A,与,B,的差.当且仅当,A,发生但,B,不发生时事件,A-B,发生.即:,显然:,A-A=,A-=A,A-S=,A,B,s,12,A,B,5.事件的互不相容(互斥):,13,6.对立事件(逆事件)：,S,A,B,14,7.事件的运算律:,交换律:,结合,律,:,对偶律:,分配律,:,证明,对偶律,.,15,例,.,甲、乙、丙三人各射击一次，事件,A,1,A,2,A,3,分别表示,甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：,乙没有射中；,乙丙至少一人射中；,甲乙没有都射中,甲乙都没有射中,甲乙都射中但丙没射中,至少有两人都射中,16,2,.随机事件的,概率,一.概率统计定义,:,1.,频率,若在相同的条件下，共进行了,n,次试验,，事件,A,发生的次数,n,A,，称为,A,的频数，比值,n,A,/n,称为事件,A,发生的频率,记为,f,n,(A).,即：,17,频率的特性:波动性和稳定性.,试验序号,n,=50,n,=500,n,A,f,n,(,A,),n,A,f,n,(,A,),1,22,0.44,251,0.502,2,25,0.50,249,0.498,3,21,0.42,256,0.512,4,24,0.48,253,0.506,5,18,0.36,251,0.502,试验者,n,n,A,f,n,(,A,),蒲 丰,4040,2048,0.5056,费 勒,10000,4979,0.4979,皮尔逊,12000,6019,0.5016,皮尔逊,24000,12012,0.5005,18,2.,概率的统计定义,设有随机实验,E,，若试验重复次数,n,充分大时，事件,A,发生的频率,f,n,(,A,),总是在区间,0,，,1,上的一个确定的常数,p,附近微波摆动，并逐渐稳定于,p,，则称常数,p,为事件发生的概率，记作,P,(,A,),，即：,P,(,A,)=,数,p.,概率的性质：,19,二,.,概率的古典定义：,古典概型的两个特点:,例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.,等可能概型的两种类型：古典概型（样本空间有有限集）和几何概型（样本空间为无限集）,(1)样本空间 中的元素只有有限个，即,(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同，即,20,概率的古典定义:,对于古典概型,样本空间,S,1,2,n,设事件A包含S的,m,个样本点，则事件A的概率定义为,概率的性质：,21,古典概型概率的计算步骤:,(1)选取适当的样本空间,S,使它满足有限等可能的要求,且把事件,A,表示成,S,的某个子集.,(2)计算样本点总数,n,及事件,A,包含的样本点数,k.,(3)用下列公式计算:,22,例1.袋中装有4只白球和2只红球.,从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式:,(,a),放回抽样;(,b),不放回抽样.,求:(1)两球颜色相同的概率;,(2)两球中至少有一只白球的概率.,解,：（,a,),放回抽样,（,b,）不放回抽样,23,例2.设一袋中有编号为1,2,9的球共9只,现从中任取3只,试求:,(1)取到1号球的概率,（事件,A）,(2),最小号码为5的概率.（事件,B）,解：,24,例,3.,某接待站在某一周曾接待过12次来访,且都是在周二和周四来访.问是否可以推断接待时间是有规定的?,实际推断原理:“小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生的”.,注,如果没有规定，则该事件发生的概率只有：,25,古典概率计算中用到的主要排列组合公式,不重复的排列公式,：,从,n,个元素中取,m,个元素,按照一定的顺序排列成一列,可重复排列公式：,从,n,个不同元素中有放回地抽取,m,个元素,按照一定的顺序排成一列,，其排列数为,组合公式：,从,n,个不同元素中取出,m,个元素，,不计顺序组成一组,，其组合数为,26,加法原理：,如果完成一项工作有,m,种不同方法，其中任何一种方法都可以一次完成这项工作，假设第,I,种方法有,n,i,（,i=1,2,3,m,）个方案，则完成该项工作的全部方案有,种。,乘法原理：,如果完成一项工作需先后,m,个步骤,，其中第,i,个步骤有,n,i,（,i=1,2,3,m,）个方案，则完成该项工作的全部方案共 有种。,例：,设袋中有外形相同的,10,个有色球，其中,6,个白球和,4,个红球。现从袋中任意取（或随机地取）,3,个，试求：,取出的,3,个球都是红色球的概率；,取出的,3,个球恰好有一个是白球的概率。,27,解,：设想把,10,个球进行编号，把它们理解为,10,个不同的球，那么从中任意取,3,个球，共有 种不同的取法，每种取法都对应一个的样本点，所以该试验样本空间的样本总数为,设,A,=,取出的,3,个球都是红色球，则事件,A,包含了,个样本点，因此：,设,B,=,取出,3,个球中恰好有一个白球，而事件,B,的发生方法应该是：从,4,个白球中任取一个，有 种取法；再从,6,个,红球中任意取,2,个，有 种取法，红球白球谁先取得与结果无妨。因此。事件,B,的发生共有 种方式。因此,28,抽样问题：,所谓抽样，是指从待查的整批产品中抽出部分产品。抽出的这部分称为,样本,或,子样,，样本中的每件产品称为,样品,，样本中所包含的样品件数称为,样本容量,，而待查整批次产品叫做,总体,或,母体,。随机抽样是指总体中每件产品，都,等可能地,被抽作样本中的样品。,例：,设一批产品共计,100,件，其中有,3,件次品，其余均为正品，按下列两种方法随机抽取,2,件产品：,有放回抽样，即第一次任取一件产品，测试后放回原来的产品中，第二次再从中任意抽取一件产品；,无放回抽样：即第一次任取一件产品，测试后不再放回原来的产品中，第二次再从第一次测试后其余的产品中任意抽取一件。,试求上述两种情况下的，分别求取出的,2,件产品中恰好有一件产品的概率。,29,先分析事件,A=,取出的,2,件产品中恰好有一件次品包含的样本点数,.,事件,A,的发生有两种方式：先取得一件次品后取得一件正品或先取得一件正品后取得一件次品。因此所包含的样本点数为：,放回抽样：,每次抽取样品都是从,100,件产品中任意抽取，都有,100,种取法，因此样本空间的样本点数为,n,=100,2,.,故,无放回抽样,：第一次是从,100,件产品中任意抽取一件，第二次是从剩余的,99,件产品中任意抽取一件，因此样本空间的样本点数为：,n,=100 99=,，故,30,无放回抽样问题，可以看作是一次任取若干样品，其样品空间会发生改变，样本空间的样本点数和事件,A,所包含的样本点数等都要发生相应的改变，它们要用组合公式进行计算：,例：,设有一批产品有,N,件，其中,M,件次品，其余都是正品。现从该批产品中随机抽取,n,件，试求恰好取到件 次品的概率。,解：,31,例：,设袋中有,a,个白球和,b,个红球。现按无放回取样，依次把球一个个取出来，试求第,k,（,1,k,a,）,次取得的球是白球的概率。,解法一：,依题意试验是从 袋中把,a+b,个球无放回地把球一个个取出来，依次排队，共有（,a+b,）！种不同的排法，则相应的样本总数为,n,=,（,a+b,）！。设,A=,第,k,次取得的球是白球。对事件,A,发生有利的排法是：先从,a,个白球中任取一个排在第,k,个位置上，两把其余的,a+b,-1,个排在其余,a+b,-1,个位置上，共有 （,a+b,-1,）！种不同的排法。所以事件包含的样本数为 ，从而：,32,解法二：只考虑前,k,次取球。试验可以看作一次取,k,个球进行排队，共有 种不同的取法，相应的样本点总数为,，事,件,A,如解法,1,所设，则对事件,A,发生有利的排法是：先,a,从个白球中任取一个排在第,k,位置上，而后从其余,a+b,-1,个球中任取,k-,1,个排在其余,k-,1,个位置上，共有 种不同的排法。所以事件包含的样本点数为 ，故：,抽签原理：,以上计算结果表明，事件,A=,第,k,次取得的球是白球的概率,P,（,A,）与,k,无关，即,A,发生的概率与取球的先后次序无关，这就是“抽签原理”,.,无论从日常经验，还通过概率计算，抽签原理都表明，是否抽到“签”与抽签的先后次序无关，人人均值机会均等。因此，该原理常常常常用于体育比赛和其他机会均等的活动中。,33,例：,设有,n,个不同的质点，每个质点等可能地落入,N,（,n N,）,个格子中的每一个格子内，又假设每个格子可以容纳的质点数没有限制，试球下列事件的概率：,A=,某指定的,n,个格子各有一个质点；,B=,任意,n,个格子各有一个质点,C=,指定的一个格子中恰好有,m,（,m n,）个质点,解：,样本空间的总样本点数：,N,n,对事件,A,发生有利的的落入方法是，,n,个质点在,n,个格子进行全排列，共有,n,！种不同的落入方法。因此，,A,相应地包含了,n,！个样本点，故,34,对事件,B,发生有利的落法是：从,N,个格子中任意选中其中的,n,个，有 种不同的选法，对于每一种选法再按（,1,）使,n,个质点落入选中的格子中，有,n,！落入方式。因此共有,n,！不同的落入方法。因此,B,相应地包含了,n,！个样本点,对事件,C,发生有利的落入方法是：从,n,个质点中任意选中,m,个，让它们落入指定的一个格子中，共有 种选法，而其余,n-m,个质点落入剩余,N,-1,的格子中，有 种不同的落法，因此共有 种不同的落法，,C,也相应地包含了,个样本点。故：,典型问题：,分房问题；排座位问题；不同生日的人员聚会问题,35,概率论与数理统计,第一周作业,习题,1-1,（,p8,）,A,组：,1.,；,2.,；,3,、；,4.,；,5.,B,组：,1.,；,2.,；,3.,（,II,）；,4.,；,习题,1-2,（,1,）,P17,A,组：,1,、,3,、,5,、,7,B,组：,2,、,4,36,三、概率的几何定义,:,1.,几何概型实验：,试验的样本空间 是直线上某个有限空间，或平面上、空间内某个有限度量的区域，从而 包含了无限多个样本点。,每个样本点的出现具有等可能性。,该实验的每个样本点可以看作是等可能地落入 内的随机点。,37,2.,概率的几何定义,当试验的样本点是等可能地落入空间某个区域的随机点，而且随机事件,A,对应于随机点等可能地落入上述区域的某子区域，则事件,A,发生,的概率可定义为,说明,当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率.,38,例：,设在一个,5,万平方公里的海域，有表面积,40,平方公里的大陆架蕴藏着石油。假如在该海域任意选一点进行石油钻探。问：能钻到石油的概率？,解：,例：,某人发现自己的表停了，想通过听收音机报时来进行对表，试问他等待时间不超过,10,分钟的概率。,解：,39,例,1,甲、乙两人相约在 0 到,T,这段时间内,在预,定地点会面.先到的人等候另一个人，经过时间,t,(,t,0),的一些平行直,线,现向此平面任意投掷一根长为,l,(0,称,为在事件,A,发生的条件下事件,B,发生的条件概率.,类似地可定义：,57,2.性质:,条件概率符合概率定义中的三个条件,即,此外,条件概率具有无条件概率类似性质.例如：,58,注,计算条件概率有两种方法:,(i),.公式法：,当 时,条件概率,转化成无条件概率,因此无条件概率可看成条件概率.,59,(ii),.缩减样本空间法：,在,A,发生的前提下,确定,B,的缩减样本空间,并在其中计算,B,发生的概率,从而得到,P(B|A).,例.,在1,2,3,4,5这5个数码中,每次取一个,数码,取后不放回,连,取两次,求在第1次取到偶数的条件下,第2次取到奇数的概率.,解：,A=,第一次取到偶数,，,AB=,第一次取到偶数且第二次取到奇数，则,60,3.,乘法公式,:,P(AB)0,则有,P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).,一般,设,A,1,A,2,A,n,是,n,个事件,(,n,2),P(,A,1,A,2,.A,n-1,)0,则有,乘法公式:,P(A,1,A,2,A,n,)=P(A,1,)P(A,2,|A,1,)P(A,n-1,|A,1,A,2,A,n-2,),P(A,n,|A,1,A,2,A,n-1,).,推广,61,例：,设某种机器按设计要求使用寿命要超过,30,年的概率为,0.8,，超过,40,年概率为,0.5,，试求该机器使用,30,年后，将在,10,年损坏的概率。,解：,设,A=,该种机器使用寿命超过,30,年,，,B=,该种机器使用寿命超过,40,年，则,令该种机器使用,30,年后，将在,10,年内损坏,它与事件 是互斥事件。因此,62,例：,设某批产品共有,90,件，其中,10,件次品，其余为正品，现从中无放回地抽样,3,次，每次抽取,1,件，求第,3,才抽到正品的概率。,解：,例：,某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而任意地按最后一个数字，试求：,不超过,4,次打通电话的概率；,若已知最后一位数字是偶数，则不超过,3,次打通电话的概率,.,63,解：,64,例（抽签抓奖问题）,：设袋中有,n,个字条，其中,n-1,个写着“谢谢您的参与！”，,1,个写着“恭喜您中奖啦！”现,n,个人依次从袋中各随机取一个条，并且每人取出后不再放回，试求第,k,个人取得中奖字条的概率。,65,二、,全概率公式和贝叶斯公式:,1.样本空间的划分,B,1,B,2,B,3,.,B,n,注,(1,)若,B,1,B,2,B,n,是样本空间,S,的一个划分,则每次试验中,事件,B,1,B,2,B,n,中必有一个且仅有一个发生.,66,2.全概率公式:,称为全概率公式,.,证明：,因为对任意事件,A,，,有,67,例,：一商店新进一批由,3,个分厂生产的同一型号的空调，而从这三个分厂的进货比例为,3:1:2,，它们的次品率分别为,0.01,，,0.12,，,0.05.,某顾客从该商店任意选购了一台空调，问该空调为次品的概率？；在已知该空调为次品的情况下，它是哪个分厂生产的可能性大？,解,：设,B,=,顾客见到不合格空调,68,3.贝叶斯公式:,69,例,.,对以往数据分析结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时,其合格率为30%,每天早晨机器开动时机器调整良好的概率为75%,试求已知某日早上第一件产品是合格品时,机器调整得良好的概率是多少?,解：设,70,例：,一商店销售,10,台收音机，其中,3,台为次品，其余为正品。某顾客选购时已经售出,2,台，该顾客从余下的,8,台收音机中任选一台。问：,该顾客购得正品的概率；,若已知该顾客购得正品，则已售出的,2,台都是次品的概率是多少？,解：,B,=,该顾客购得正品,A,i,=,售出的,2,台中有,i,台次品（,i,=0,1,2,）,71,例：,临床诊断记录表明，利用某项检验检查癌症具有如下效果：对癌症患者进行检验结果,95%,呈阳性；对非癌症患者进行检验结果,96%,呈阴性。现在利用这项技术对某市市民进行癌症普查，如果该市癌症患者约占市民总数的,0.4%,，求,试验结果呈阳性的被检查者患癌症的概率；,试验结果呈阴性的被检查者确实未患癌症的概率；,解：,设,A,=,实验结果为阳性；,B,=,被检查者确实患有癌症,72,由全概率分式得,由贝叶斯公式,73,1.6 独立性,设,A,B,是试验,E,的两事件,当,P(A)0,可以定义,P(A|B).,一般地,P(A|B)P(B),但当,A,的发生对,B,的发生的概率没有影响时,有,P(B|A)=P(B),由乘法公式有,P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,例如 设试验,E,为掷甲、乙两枚硬币，观察正反面出现情况,.,设,A“,甲币出现,H”,B“,乙币出现,H”,试求,:,B,发生的条件下，,A,发生的概率；,1.两个事件相互独立性:,设,A,B,是两事件,如果满足等式,P(AB)=P(A)P(B),则称事件,A,与事件,B,是相互独立的事件.,4,随机事件的独立性,74,定理,1,（相互独立事件的充要条件）:,设,A,B,是两事件,且,P(A)0,则,A,B,相互独立 的充要条件是:,P(B|A)=P(B).,定理,2,：,下列,4,个命题等价,证明：,此处证明与的等价性,当成立时，由事件的关系与运算与概率的性质可知：,75,当成立时，即当 时，则有,1)零概率事件与任何事件都是相互独立的.,2)由对称性,A,B,相互独立,必有,B,A,相互独立.,推论：,2.两两相互独立:,设有,任意,事件,A,1,A,2,A,n,，,1,i,j,n,，,满足,P(A,i,A,j,)=P(A,i,)P(A,j,),则称这,n,个事件,两两相互独立,.,76,如果对于任意的,k,(,k,n),任意的,1,i,1,i,2,i,k,n,都有:,P(A,i,1,A,i,2,A,ik,)=P(A,i,1,)P(A,i,2,)P(A,ik,),则称这,n,个事件相互独立.,3,.,n,个事件相互独立:,注,n,个事件相互独立,保证了其中的任意两个事件相互独立，即两两相互独立；但两两相互独立不能保证这,n,个事件相互独立,.,三.利用独立性计算古典概率:,1.计算相互独立的积事件的概率：若已知,n个事件A,1,A,2,A,n,相互独立，则 P(A,1,A,2,A,n,)=P(A,1,)P(A,2,)P(A,n,),2.计算相互独立事件的和的概率,：,若已知,n个事件A,1,A,2,A,n,相互独立，则,77,例：,设甲乙两个射手，他们射出命中的概率分别为,0.8,和,0.7,，现两人同时向一目标射出一次，求,目标的命中率；,现已知目标被命中，则它是甲命中的概率。,解：,设,A,=,甲命中目标；,B,=,乙命中目标；,C,=,目标被命中,78,例.,两架飞机依次轮番对同一目标投弹,每次投下一颗炸弹,每架飞机各带3颗炸弹,第1架扔一颗炸弹击中目标的概率为0.3,第2,架的概率为0.4,求炸弹未完全耗尽而,击中目标的概率。,解,：设,则：,79,80,例.设有8个元件,每个元件的可靠性均为,p(,元件能正常工作的概率),按如下两种方式组成系统,试比较两个系统的可靠性.,A,1,B,1,A,2,B,2,B,3,B,4,A,3,A,4,系统二:,先并联后串联,系统一:,先串联后并联,A,1,B,1,A,2,B,2,A,3,B,3,A,4,B,4,81,82,伯努力概型及二项分布,1,、,n,重伯努力概型,：研究,n,次独立实验中某随机实验发生的次数,例：,某射手每射击一发子弹命中目标的概率为,p,(0,p,1),。现对同一目标重复射击,3,次，试求恰好射中,2,发的概率。,解：,2,、二项式概率公式,定理：,设在每次试验中，事件,A,发生的概率均为,p,(0,p,3”.,反过来,X,的一个变化范围表示一个随机事件:,“2,X5”,表示事件“掷出的点数大于2且小于5”,.,91,2.分类：,(2),随机变量随着试验的结果而取不同的值,在试验之前不能确切知道它取什么值,但是随机变量的取值有一定的统计规律性概率分布.,(1)离散型随机变量;,(2),非离散型随机变量,1,0,连续型随机变量,2,0,奇异型随机变量,若随机变量全部可能取到,的值是有限多个或可列无,限多个。,92,2.2 离散型随机变量的概率分布,X x,1,x,2,x,n,p,k,p,1,p,2,p,n,.,93,2.求分布律的步骤:,(1)明确X的一切可能取值;,(2)利用概率的计算方法计算X取各个确定值的概率,即可写出X的分布律.,例1.,设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯,每盏信号灯以概率,p,禁止汽车通过,以,X,表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数,求,X,的分布律.(设各信号灯的工作是相互独立的).,解：设,x,0 1 2 3,P,p,p,（,1-p,）,p,（,1-p,）,2,p,（,1-p,）,3,94,例2.,袋中装有4只红球，,1,只白球,.,从袋中摸球，随机摸取,2,次。每次一个球。设,X,表示所取得的白球数,试就下列两种情况分别求,X,的分布律：,（,1,）有放回摸取；（,2,）无放回地摸取。,解：,（,1,）当取后放回时，,X,的可能取值为,0,，,1,，,2,，且,X,0 1 2,P,16/25,8/25,1/25,（,2,）当取后无放回时，,X,的取值为,0,，,1,，且,X,0 1,P,2/5,3/5,95,3.几种重要的离散型随机变量的分布律：,X 0 1,p,k,1-p p,其中0,p1,PX=k=p,k,(1-p),1-k,k=0,1.,(一)0-1分布,当,n=1,时,PX=k=p,k,(1-p),1-k,k=0,1,即为0-1分布.,注,(二)二项分布,96,例2.,某种电子元件的使用寿命超过1500小时为一级品,已知一大批该产品的一级品率为0.2,从中随机抽查20只,求这20只元件中一级品只数,X,的分布律.,例3.,某人进行射击,每次命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中两次的概率.,解：,X,取值分别为,0,，,1,，,2,，,，,20,，且,解：,命中次数,X,的取值分别为，,0,，,1,，,2,，,400,，且,97,(三)泊松分布(,Poisson),(2)泊松分布有很多应用.,注,(3)二项分布与泊松分布之间的关系.,98,泊松(,Poisson),定理：,泊松定理的意义：,1.在定理的条件下,二项分布的极限分布是泊松分布.,2.当,n,很大且,p,又较小时,99,例：,假设有若干台同型号的机床，彼此独立工作，每台机床发生故障的概率都是,0.01.,设一台机床的故障都可由一人维修。试就下列两种情况分别求出当车床发生故障时，需要等待维修的概率。,由一人负责维修,20,台机床；由一人负责维修,20,台机床,.,解：,设,X,表示任一时刻发生故障的机床数，则,100,.,例5,设有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,设一台设备的故障由一个人处理,问至少需配备多少工人,才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,解：,设配备,k,名工人，则有,101,(四)几何分布,进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为,p,失败的概率为1-,p=q(0p1),将试验进行到出现一次成功为止,以,X,表示所需的试验次数,则,X,的分布律为:,PX=k=q,k-1,p,k=1,2,称为,X,服从参数为,p,的几何分布,.,例,设某种社会定期发行的奖券,每券1元,中奖率为,p,某人每次购买1张奖券,如果没有中奖下次继续再买1张,直到中奖止,求购买次数,X,的分布律.,若该人共准备购买10次共10元钱,即如果中奖就停止,否则下次再购买1张,直到10元共花完为止,求购买次数,Y,的分布律.,102,超几何分布,产生超几何分布的背景是无放回抽样问题。设某批产品共有,N,件，其中,M,件是次品。从中任取,n,件，取后不放回，设取得的次品件数为,X,，则：,103,2,随机变量的分布函数,1.定义：设,r.v.X,x,R,1,则,F(,x,)=P X,x,称为,X,的分布函数.,(2)无论是离散型,r.v.,还是非离散型,r.v.,分布函数都可以描述其统计规律性.,注,(1),P x,1,x,1,F(,x,2,)-F(,x,1,)=P,x,1,X,x,2,0.,(2)0,F(,x,)1,F(-,)=0,F(+,)=1.,(3),F(x),至多有可列个间断点,而在其间断点,上也是右连续的,F(,x,+0)=F(,x,).,104,例1.离散型,r.v.,已知分布律可求出分布函数.,X -1 2 3,p,k,1/4 1/2 1/4,求：,X,的分布函数,并求,P X1/2,P3/2X5/2.,结论,反之，若已知分布函数求分布律用如下公式求解：,105,X,-1 0 1,p,1/4,106,3,.连续型随机变量及其概率密度,则称,X,为连续型,r.v.,f,(x),称为,X,概率密度函数,简称概率密度.,连续型,r.v.,的分布函数是连续函数,这种,r.v.,的取值是充满某个区间的.,注,107,例1,.一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能击中靶,以,X,表示弹着点与圆心的距离.试求,X,的分布函数.,解：,已知,108,109,定义,注,负指数分布,3.关于连续型,r.v.,的一个重要结论:,定理,:设,X,为连续型,r.v.,它取任一指定的实数值,a,的概率均为0.,即,PX=a=0.,110,4.几个常用的连续型,r.v.,分布,(一)均匀分布:,则称随机变量,X,在(,a,b),上服从均匀分布,记作,XU(a,b).,分布函数为:,111,(二)正态分布:,112,性质:,113,(2)标准正态分布:,114,引理:,3.,一般正态分布的标准化及其计算,115,结论,116,例 设某商店出售的白糖每包的标准全是500克,设每包重量,X(,以克计)是随机变量,XN(500,25),求:,(1)随机抽查一包,其重量大于510克的概率;,(2)随机抽查一包,其重量与标准重量之差的绝对值在8克之内的概率;,(3 求常数,c,使每包的重量小于,c,的概率为0.05.,117,服从正态分布,N,(,2,),的,r.v.,X,之值基本上落入-2,+2之内,几乎全部落入-3,+3内.,118,z,(,x,),0,(3)标准正态分布的上,分位点:,z,0.05,=1.645,z,0.025,=1.96,(,(,x,)=P(X,x,),119,(三)负指数分布:,1.定义:,如果连续型随机变量,X,的概率密度为:,则称,X,服从参数为,的负指数分布,记为,X().,120,性质（,4,）的直观意义可解释如下：若令,X,表示某种器件的寿命，性质（,4,）意味着它已经使用了,s,小时未损坏的器件能够再继续使用,t,小时以上的概率，与一个新器件能够使用,t,小时以上的寿命相同。,这意味着器件的衰老作用可以忽略。器件的损坏主要由偶然因素所致。,121,122,2.特例:,(1,)是参数为的指数分布.,3.伽玛函数的性质:,(,i),(+1)=();,(,ii),对于正整数,n,(n+1)=n!;,(四)伽玛分布:,如果连续型随机变量,X,的概率密度为:,1.定义:,123,4,.随机变量的函数的分布,一、,X,为离散型,r.v.(,列表法,),例1.设,X,具有以下的分布律,求,Y=(X-1),2,分布律:,X -1 0 1 2,p,k,0.2 0.3 0.1 0.4,解：,X,-1,0,1,2,Y,4,1,0,1,P,k,0.2,0.3,0.1,0.4,Y,0,1,4,P,k,0.1,0.7,0.2,124,(2)若,g(x,1,),g(x,2,),中不是互不相等的,则应将那些相等的值分别合并,并根据概率加法公式把相应的,p,i,相加,就得到了,Y,的概率分布律,.,1.离散,r.v.,分布函数的概率分布的求法:,设,X,的概率分布如下表:,X x,1,x,2,x,k,PX=x,i,)p,1,p,2,p,k,.,(1)记,y,i,=g(x,i,)(i=1,2,)y,i,的值也是互不相同的,则,Y,的概率分布如下表:,Y y,1,y,2,y,k,PY=y,i,)p,1,p,2,p,k,.,125,二、,X,为连续型,r.v.,1.“分布函数法”:,(,3,)对,y,求导得到,Y,的概率密度:,126,127,128,若,f(x),在有限区间,a,b,以外等于零,则只需假设在,a,b,上,g(x),严格单调,选取,=,min(g(a),g(b),=max(g(a),g(b).,2.公式法：,定理:,设,X,是连续型,r.v.,具有概率密度,f(x),设,y=g(x),是,x,的严格单调函数,且反函数,x,=,h,(,y,),具有连续的导函数.,当,g,(,x,),严格增加时,记,=,g,(-),=,g,(+);,当,g,(,x,),严格减少时,记,=,g,(+),=,g,(-),则,Y,的概率密度为:,说明,(2),定理中条件,y=g(x),是,X,的严格单调函数是相当苛刻的,许多常见的函数都不能满足,因此,求随机变量的函数的分布时,只能按“分布函数法”直接求解.,129,定理,.,r.v.XN(,2,),证明,X,的线性函数,Y,=a,X,+b(a0),也服从正态分布.,130,6,二维随机变量及其联合分布函数,一、二维随机变量的概念,二、二维随机变量的,(,联合)分布函数:,本质上，二维随机变量就是定义在同一样本空间上的一对随机变量。类似地也可定义多维随机变量。,131,若将(,X,Y,),看成平面上随机点的坐标,则分布函数,F(,x,y,),的值为(,X,Y,),落在阴影部分的概率(如图1),图1,图2,132,三、联合分布函数的性质,边缘分布,只要知道了联合分布，两个变量的边缘分布也就随之确定。一般 而言，仅知道边缘分布，往往不能确定联合分布。,133,134,135,7,二维离散型随机变量,Y,X,一、联合分布律,136,例：,设有一个装有,4,个红球、,1,个白球的袋子，现每次从中随机抽取一个，取后放回，连续抽取两次，令：,137,138,二、边缘分布律,Y,X,Y,的分布律,X,的分布律,139,三、条件分布律,140,第,4,周作业,习题,2-1,：,A,组,3,，,6,，,9,；,B,组,2,，,5,；,习题,2-2,：,A,组,1,，,4,；,B,组,2,；,习题,2-3,：,A,组,2,；,B,组,3,；,习题,2-4,：,A,组,2,，,5,，,8,，,11,；,B,组,2,，,4,；,习题,2-5,：,A,组,2,，,5,；,B,组,2,；,习题,2-6,：,A,组,1,；,B,组,2,；,习题,2-7,：,A,组,2,；,B,组,2.,141,8,二维连续型随机变量,一、联合概率密度,142,143,144,145,146,二、,边缘概率密度,:,147,三、两种重要二维连续型分布,1,、二维均匀分布,G,G,x+y,/2=1,x,y,148,解：易见区域面积等于,1,，于是（,X,，,Y,）的联合概率密度为,149,150,2.,二维正态分布,151,152,定理,注意！,153,四、条件概率密度,首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度.,154,进一步可以化为:,155,156,解：,157,例3.设数,X,在区间(0,1)上随机地取值,当观察到,X,=,x,(0,x,0,1.大数定律,随机变量的均值序列收敛于常数序列！,定理,1,（切比雪夫不等式）,证明：,222,定义,1,：,如果对于任意的,n,1,X,1,X,2,X,n,都相互独立，且具有相同的分布，则称,X,1,X,2,X,n,为全同独立分布的随机变量序列。,定义,2,：概率收敛性,定义,3,223,224,提法二:强大数定律,即证明：,定理,2.,切比雪夫大数定律的特殊情况,设,r.v.X,1,X,2,X,n,相互独立,且具有相同的数学期,望和方差:,225,2.,贝努利定理:,设,n,A,是,n,次独立重复试验中,A,发生的次数,p,是事件,A,在,每次试验中发生的概率,则,性质:,226,3.,切比雪夫大数定律,:,设,X,1,X,2,X,n,是由两两互不相关的,r.v.,所构,成的序列,每一个,r.v.,都有有限的方差,并且它们有公共,的上界.,4.辛钦定理:,设,r.v.X,1,X,2,X,n,相互独立,服从同一分布,且具有,数学期望,2.中心极限定理,227,228,中心极限定理,(,central limit theorem,),x,的分布趋于正态分布的过程,229,230,一.中心极限定理:,对于独立随机变量序列,1,2,n,假定E,（,i,）,D,（,i,）,存在,令,230,231,1.独立同分布的中心极限定理:,设,r.v.X,k,(k=1,2,),相互独立,服从同一分布(,i.i.d.),且具有有限的数学期望和方差:,232,2.李雅普诺夫定理:,233,3.德莫佛-拉普拉斯定理:,234,例,1,：某单位内部有,260,部电话分机，每部分机有,4%,的概率使用外线，各分机是否使用外线是相互独立的，问：总机至少要有多少条外线才能有,95,的把握保证各部分机使用时不必等候？,解：,23