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第 2 章 自升式平台非线性环境载荷计算
2.1 概述
自升式平台在位工作状态下承受海风、海浪、海流等环境载荷，其非线性载荷是目前业界研究的热点[1]。本章基于Airy波和Stokes波理论对非线性波浪载荷以及流载荷进行计算，并根据线性波理论，采用PM双参数谱对随机海浪进行数值模拟；同时对定常与动态风载荷计算方法进行探讨，采用Daveport谱对动态风载荷进行数值模拟，作为后续动力分析和强度评估方法研究的基础。
2.2 波浪载荷计算
自升式平台的桩腿结构属于典型的小尺度构件，Morison 公式是业界进行其波浪载荷计算的主要依据[2]：
dF=(12ρCDDUU+ρCMAU)dz
F=∫ⅆF
式中：U—— 单位长度上垂直于构件轴线方向的水质点速度矢量
U—— 单位长度上垂直于构件轴线方向的水质点加速度矢量
CM —— 惯性力系数
CD —— 拖曳力系数
D—— 构件截面直径
A—— 构件截面面积
对自升式平台进行波浪载荷计算时，为考虑桁架式结构的影响，需要把速度矢量合成到与杆件结构相垂直的方向，故需要对 Morison 公式进行如下修正[3]。

FxFyFz=12ρCDDωH⋅unxunyunz+ρCMAunxunyunz

图2.1 空间构件坐标变换示意图
Fig.2.1 The coordinate transformation of special components
构件的空间位置（图 2.1）可由式（2-4）表达，水质点的法向速度矢量及其速度分
量则按式（2-5）~式（2-7）计算：
ⅇ=exⅈ+eyj+ezk
ωn=unxi+unyj+unzk=ⅇ×uⅈ+vk×ⅇ
unx=u-exexu+ezvuny=-eyexu+ezvunz=v-ezexu+ezv
wn=wn⋅wn12=u2+v2-exu+ezv212
式中，ex=cos∅cosψ
ey=cos∅sinψ
ez=sin∅
v——水质点垂向速度
u——水质点水平速度
Morison公式中CD、CM系数对不同的浪流剖面、雷诺数、表面粗糙度等较为敏感，其选取是否合理是确定自升式平台浪流载荷的关键因素。目前，对于CD、CM系数的确定主要依据经验公式和模型试验。船级社等权威第三方认证机构和技术协会则基于多年工程经验，在其入级规范中对相关系数的选取有明确的规定，表2.1以圆管构件为例，列举不同机构对CD、CM系数的取值，必要时模型试验结果亦具有同等效力。
表2.1 不同机构CD、CM值
Tab.2.1 The different organization values ofCDandCM
类别
CD
CM
CCS
0.6～1.2
1.3～2.0
DNV
0.5～1.2
2.0
ABS
0.62
1.8
SNAME
0.65
2.0
2.2.1 规则波载荷计算
对海洋工程进行波浪载荷计算的前提是选择合适的波浪理论，一般根据各波浪理论的适用范围进行选择（图2.2）。以本文目标平台为例，其工作海域波浪周期范围为15.5秒，风暴自存工况下设计波高大于22米，因此确定性分析时选取Stokes5阶波是合适的，而随机性结构分析时则一般采用Airy波理论[4] [5].

图 2.2 波浪理论的适用范围
Fig.2.2 The scope of application of wave theory
2.2.1.1 线性 Airy 波理论
对于线性波浪理论而言，其波形为正弦曲线，由于其线性特点，被广泛用于绕射问题和谱分析研究，其波面方程和速度式可由式(2-8)和(2-9)表达：
ζ=H2coskxcosβ+ysinβ-ωt
式中，H—— 波高
ω—— 波浪频率
k—— 波数
ϕ=agωchkz+hchkhsinkxcosβ+ysinβ-ωt
式中，h—— 水深
a—— 波幅
则水平方向的速度和加速度表达为下式：
Vx=∂ϕ∂x,ax=ⅆVxⅆt
线性波浪理论存在一定的局限性，通常只考虑平均湿表面水面以下的水质点运动。为了计入波峰的影响，通常将水线以上构件坐标定义为正值，但这种处理方式会导致对波峰处水质点速度和加速度的高估。因此，Wheeler J. D 提出了瞬时波面的 Wheeler 展开，考虑到了平均水位和瞬时自由波面间的作用力，目前业界普遍认可这种处理方式。
z'=z-ζ1+ζd
式中，z'—— 修正后的垂向坐标
z—— 所需计算速度点的垂向坐标
d—— 到静水面的水深
ζ—— 瞬时波面升高的吃水

图 2.3 Wheeler 展开后速度的垂向分布
Fig.2.3 Velocity profile after Wheeler expansion
2.2.1.2 非线性 Stokes5 阶波
Stokes 为解决自由表面边界条件的非线性问题，采用有限个频率成比例的余弦波来逼近具有单一周期的有限振幅波，目前在海洋工程领域 Stokes5 阶波使用最为广泛，其波面方程和速度势可由式（2-12）和式（2-13）表达：
η=1kn=15yncosnθ
φ=LkTn=15φnchnkz+dsinnθ
式中：d、H、T、k、ω含义与线性波相同
θ=kx-ωt
波形系数yn则由下式表达：
y1=λ
y2=λ2B22+λ4B24
y3=λ3B33+λ5B35
y4=λ4B44
y5=λ5B55
式中：
B22=2C2+1c4S3
B24=272C8-504C6-192c4+322C2+21c384S8
B33=38C6+164S6
B35=88128C14-208224C12+70848C10+54000C8-21816C6+8246C4-54C2-8112288S126C2-1
B44=768C10-448C8-48C6+48c4+106C2-21c384S8
B55=19200C16-262720C14+83680C12+20160C10-7280C8-1800C4-1050C2+22512288S106C2-18C4-11C2+3
C1=8C4-C2+98S4
C2=3840C12-4096C10+2592C8-1008C12+5944C4-1830C2=147512S106C2-1
其速度势函数φn可表达为下式：
φ1=λA11+λ2A13+λ4A15
φ2=λ2A22+λ2A24
φ3=λ3A33+λ2A35
φ4=λ4A44
φ5=λ5A55
式中：
A11=1S
A13=-C25C2+18S5
A15=-1184C10-1440C8-1992C6+2641C4-249C2+181563S11
A22=38S4
A24=192C8-424C6-312C4+480C2-17768S10
A33=13-4C264S7
A35=512C12+4224C10-6800C8-12808C6+16704C4-3154C2+1074096S156C2-1
A44=80C6-816C4+1338C2-1971536S106C2-1
A55=-2880C10-72480C8+324000C4-432000C4+163470C2-1624561440S116C2-18C4-11C2+3
C=chkd
S=shkd
波长L和系数λ 由式（2-24）所示超越方程组求解：
πHd=1d∕Lλ+λ3B33+λ5B35+B55dL0=dLthkd1+λ2C1+λ4C2
式中：L0——深水波长，L0=gT22π
基于速度势求得水质点速度和加速度，代入 Morison 公式中求解波浪载荷。
2.2.1.3 算例分析
本文的目标平台——某400英尺自升式平台为典型的桁架式三桩腿支撑平台，桩腿结构由弦杆和撑杆（外水平撑杆、内水平撑杆和斜撑）组成，平台桩腿主要结构参数如表 2.2 和图 2.4 所示。
表 2.2 桩腿结构主要参数
Tab.2.2 Main dimentions of the jack-up platform
部位
尺寸（mm）
弦杆
324*25.4
斜撑

水平撑杆

图2.4 桩腿结构示意图 Fig.2.4 Structure of the legs

图2.5 桩腿弦杆横剖面
Fig.2.5 Cross profile of the legs’ chord

波浪载荷计算的关键在于确定桩腿结构的拖曳力系数CD和惯性力系数CM，对于圆形截面的撑杆构件，各船级社规范均有相关规定，见表2.3；而对于不规则截面的弦杆构件，则需通过经验公式和模型试验得到，文献[95]对此类构件进行了详尽的讨论，本文在此不再赘述。
表 2.3 桩腿撑杆拖曳力系数和惯性力系数
Tab.2.3 Drag coefficient and Inertia force coefficients of the truss strut
类别
斜撑
水平外撑
内水平撑
CDi
1
1
1
CMi
1.8
1.8
1.8
弦杆结构由中间齿条和圆管组成，惯性力系数按文献[96]取 2.0，拖曳力系数可按下式计算，计算结果见表 2.4：
CD= CD0 0° <θ<20° CD0+CD1WD-CD0sin2θ-20°*9/7 20°<θ<90°
CD1= 1.8 WD<1.2 1.4+13WD 1.2<WD<1.8 2.0 1.8<WD
式中，CD0取值为1。
表 2.4 桁架式桩腿弦杆拖曳力系数和惯性力系数
Tab.2.4 Drag coefficient and Inertia force coefficients of the truss chord
类别
0°
30°
45°
60°
90°
120°
150°
投影直径/m
0.508
0.486
0.457
0.429
0.438
0.429
0.486
CDi
1
1.04
1.23
1.53
2.16
1.53
1.04
CMi
2
2
2
2
2
2
2
本文以 Airy 波为基础，针对不同波幅进行了不同水深位置的单元波浪力和平台整体水平剪力幅频响应计算。分别得到不同波幅下，桩腿在水线以下部分的波浪载荷，并对其进行经历分析及动响应计算。计算结果如图（2.6）

图2.6 水深100米时桩腿波浪载荷计算结果