数学建模论文模板及例子.doc

数学建模论文模板及例子
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\renewcommand{\appendixname}{附录}
\begin{document}
\fontsize{12}{20}\selectfont
% \baselineskip 20pt %
\parindent 2em

\title{倾斜卧式储油罐油量标定的实用方法\\
{\zihaosan\LaTeX{}}排版---{China\TeX{}}文章示例}
%论文题目
\xuanti{A} %选题
\school{\url{http://www.chinatex.org}}%用于在承诺书上显示学校名称。按要求，此处应填写全称
%以下命令分别显示队员及指导教师姓名

\numbers{2011888}%参赛报名号
\authorone{张三}
\authortwo{李四}
\authorthree{王五}
\advisor{我的老师}
%\theyear{2010}
\theday{20}
\maketitle
\pagestyle{plain}

\begin{cnabstract}%此处没有采用sbstract命名，是为了将来如果要加入英文摘要时扩展的方便
储油罐长期使用会产生变位，从而使罐容表的标定值与理论值存在误差。 因
此，需要进行识别变位并对罐容表进行重新标定。

首先，对小椭圆形储油罐进行研究：利用微积分知识建立了平头罐无变位情
况下罐内油量和油位高度关系的数学模型，并在此基础上建立了纵向倾角
$\alpha = 4.1^{\circ}$ 时罐内油量和油位高度关系的 理论模型， 利用用龙贝格积分公式求解不
同油位高度时储油量的数值解，进而进行罐容表的标定。

其次，对实际储油罐进行研究：将油位高度分成三种情况，在每种情况下，
对球冠、筒身的油量与油位高度的函数关系进行了分别推导。在计算球冠内油量
与油位高度的关系时采用了拆补法，边缘情况使用了近似计算。对于最终建立的
储油量和油位高度关系理论模型， 利用最小二乘法和单目标优化的的方法进行参
数估计，求得：
\[\alpha =2.14^{\circ}, \beta=4.6^{\circ}\]
得到$\alpha$和$\beta$后， 对罐容量进行重新标定。检验模型时利用相对标准偏差的思
想，构造评价函数$\delta$，得到结果$\delta = 0.0055\%$，误差极其微小，说明了所建模型
的正确性和可靠性。

所建模型充分利用了附表中的数据， 并合理地筛选了有效数据，适于推广到
运输，化工，储藏行业。

\vskip 20pt

\cnkeywords{龙贝格积分法，最小二乘法，单目标优化，误差分析}
\end{cnabstract}

\tableofcontents
\newpage

%增加目录，要不要都可以。不想要的话，就在本行前加“%”（英文的百分号）

\section{问题重述}

通常加油站都有若干地下储油罐，许多储油罐在使用一段时间后，罐体
的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，需要定期对罐容表重新标定。本
题要求用数学建模的方法研究以下两个问题：

问题一：对平头小椭圆型储油罐无变位和纵向倾斜 $4.1^{\circ}$两种情况进行
研究， 并建立数学模型， 研究罐体变位对罐容表的影响， 并重新标定罐容表。

问题二：对球形封头的实际储油罐的横向偏转和纵向倾斜进行研究， 并
建立出罐体变位后标定罐容表的数学模型， 根据所建立的模型确定变位参数
$\alpha$和$\beta$，最后利用实验数据对模型进行检验。

\section{问题分析}
题目采用油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的
罐容表进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。由于变位等原
因产生了理论值和标定值的相应误差。题中要求分析这些误差并予以修订。

在第一问中，需要对倾斜角
$\alpha =2.14^{\circ}$的罐容表进行重新标定。因此，解决该
问题的关键是：充分利用各种几何关系求出储油量和油位高度的函数关系，并合
理解决积分形式较复杂时函数数值解的计算问题。

在第二问中，同样需要先计算出储油量和油位高度的函数关系式，由于问题
中变位参数未知，故解决此问题的关键是：寻找一种方法，利用求得的罐内储油
量与油位高度及变位参数的关系式来确定$\alpha$和$\beta$具体的数值，从而确定罐容表，
并利用统计学相关知识检验模型的正确性并进行误差分析

\section{模型假设}
\begin{asparaenum}[(1)]
\item 变位纵向倾斜时只在出油管一侧向上倾斜
\item 不计储油罐壁厚对油量统计的影响及温度对油体积的影响
\item 进/出油时无油量损失
\end{asparaenum}

\section{符号说明}

\begin{basedescript}{\desclabelstyle{\pushlabel}\desclabelwidth{4em}}
\item[$a =0.89$]
小椭圆型油罐横截面长半轴
\item[$b =0.6$]小椭圆型油罐横截面短半轴
\item[$h$]油浮子测得的油高
\item[$\alpha$]纵向倾斜角
\item[$\beta$]
横向倾斜角
\item[$L_1$]
油浮子到小椭圆型油罐左壁的距离
\item[$L_2$]
油浮子到小椭圆型油罐右壁的距离
\item[$S(h)$]
油高为 $h$ 时小椭圆油罐截面面积
\item[$V(h)$]
小椭圆型油罐油高为 h 时罐内理论剩余油量
\item[$V_1(h)$]
小椭圆型油罐油高为 h 时罐内实际剩余油量
\item[$V_m$]
小椭圆型油罐装满油时的油量
\item[$V_{head}(h)$]
油高为 $h$ 时 实际储油罐球冠的理论储油量
\item[$V_{body}(h)$]
油高为 h 时实际储油罐中间筒体的理论储油量
\item[$R$]
球冠的球径
\item[$r_h$]
球冠水平截面圆的半径
\item[$r$]
球冠竖直截面圆的半径
\item[$V_0$]
实际储油罐出油时的初始油量
\end{basedescript}

\newpage

\section{模型建立与求解}
\subsection{问题一：小椭圆型储油罐的罐容表标定}
此部分针对小椭圆型储油罐， 分别对罐体无变化和倾斜角为 $\alpha$ 的纵向变位两
种情况进行模型建立，然后与附表中所给实验数据进行对比，以此分析模型建立
的准确性，并研究罐体变位后对罐容表的影响。
\subsubsection{罐体无变位时的罐容表标定}

\noindent （1）模型的建立：

小椭圆型油罐横截面如图 1 所示，以椭圆下顶点为原点建立坐标系，可得
椭圆方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{(y - 0.6)^2}{b^2} = 1$，其中 $a = 0.89$, $b = 0.6$。

由椭圆方程可导出
$x = \frac{a}{b} \times \sqrt{-y^2 + 2by}$，在 $y$ 轴上积分得油高为 $h$ 时椭圆油罐截
面面积 $S(h) = \int_0^h \left(2 \times \frac{a}{b} \times \sqrt{-y^2 + 2by}\right)dy$。 无变位时， 油罐内剩余油量可视为一
个高度为 2.45m 的柱体，故油高为 $h$ 时对应的剩余油料体积
\[
V(h) = L \times \int_0^h \left(2 \times \frac{a}{b} \times \sqrt{-y^2 + 2by}\right)dy.
\]
积分得：
\[
V(h) = 2abhL\left[\frac{h-b}{2b}\sqrt{1 - \left(\frac{h-b}{b}\right)^2} + \frac12 \arcsin \left(\frac{h-b}{b}\right) + \frac\pi4\right].
\]

\noindent （2）模型求解与验证：

为验证模型的正确性， 现将计算结果与实验数据进行对比。取表中所给一系
列 $h$ 值，求出对应的剩余油量，即为计算值；同时，将表中列出的剩余油量数据
进行曲线拟合得到如下函数：
\[\begin{split}V_1(x) = &-7.247 \times 10^{-10} \times x^4 - 4.706 \times 10^{-7}\times x^3 \\
&+ 0.002535 \times x^2 + 2.321 \times x - 388.1 + 262.\end{split}\]
画出 $V(h)$ 与 $V_1(h)$ 的曲线图如下：

由图 2 看出，理论计算值与实际值有存在一定的偏差，并且随 h 的增高， 理
论计算值与实际测量值的差值越来越大。

仔细分析其原因：由于注油管、出油管及油浮子均占有一定体积，随 h 的增
高，注油管、出油管及油浮子浸入液面下的体积也在逐渐增加，导致实际值比理
论值偏大，且差值会随 h 的增加而增加。

\subsubsection{纵向变位倾斜角$\alpha=4.1^{\circ}$时的罐容表标定}
\noindent （1）模型的建立：

由 5.1.1 模型建立过程问可知，高度为 $h$，长短轴为 $a$、$b$ 的椭圆部分面积
\[
S(h) = 2ab\left[\frac{h-b}{2b}\sqrt{1 - \left(\frac{h-b}{b}\right)^2} + \frac12 \arcsin \left(\frac{h-b}{b}\right) + \frac\pi4\right].
\]
当纵向倾斜角$\alpha=4.1^{\circ}$时，为方便运算，将油罐经旋转后放入坐标系进行分析，
如下图所示：

由图知， 当油浮子显示高度为 $h$ 时， 横坐标为 $x$ 处的油面高度
$y = h+(L_1 - x) \times \tan \alpha$.

对 $x$ 轴上每一点对应的截面积进行积分，即得到油料体积。
由积分范围的不同，油料体积的计算分为以下三种情况：

油罐内油料体积 $\displaystyle V(h) = \int_0^{h/\tan\alpha + L_1} S(h+(L_1-x)\times \tan \alpha)\, \mathrm{d}x$.

油罐内油料体积 $\displaystyle V(h) = \int_0^{L_1 + L_2} S(h+(L_1-x)\times \tan \alpha)\, \mathrm{d}x$.

如图设 $h'$，则易看出 $h' = M - h + (L_2 - L_1)\tan \alpha$。于是，设罐内总油量为 $V_m$，可以直观地看出： 油罐内的剩余油量 $V = V_m -V"$。 同时， 可使用 \ding{172} 中的方法利用 $h'$ 求得空余部分体积 $V" = V(h')$，最终可得到

油罐内油料体积 $\displaystyle V(h) = V_m - \int_0^{h'/\tan\alpha + L_1} S(h' + (L_1-x)\times \tan \alpha)\, \mathrm{d}x$.

\noindent （2）模型求解与验证：

由于以上体积函数形式不一， 且较为复杂，若通过正常的积分求取结果会比
较繁琐。考虑问题一不要求找出具体函数关系，只需要每隔 1cm 标注一次结果，
故利用龙贝格积分[2]算法求解积分的数值解，从而对罐容量进行标定。龙贝格积
分法具体算法如下：

设用复合梯形计算积分 $\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x$ 的近似值，取步长 $h = \frac{b-a}{n} $， 并记 $T_1(h) = T_n$， 则有 $I \approx T_1(h)= \frac{h}2 \left[f(a) + f(b) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right]$。 当 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上
充分光滑时， 可证用 $T_1(h)$ 逼近 $I$ 的截断误差是 $ I - T_1(h) = a_1h^2 + a_2h^4 + \cdots + a_kh^{2k} + \cdots$，其中 $a_k$ 是与 $h$ 无关的常数。按理查森外推法 $\begin{cases}
F_1(h) = F(h)\\
F_{m+1}(h) = \frac{F_m(qh) - q_m^pF_m(h)}{1- q^{p_m}}
\end{cases}$， $m=1,2,\ldots$ 其中 q 为
满 足 $1-q^{p_m}\ne 0(m=1,2,\ldots)$ 的适当正数。以 $q= \frac12$ 取序列
$T_{m+1} (h) = \frac{4^m \cdot T_m\left(\frac{h}2\right)-T_n(h)}{4^m-1}, (m=1,2,\ldots)$。其中用 $T_{m+1}(h)$ 来逼近 $I$ 的误差为 $O(h^{2(m + 1)})$。

龙贝格算法具体实现见附录一，将 $h=0,1,2,3\ldots 119,120$ 带入到 $V(h)$，由龙
贝格算法计算得到油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值，列表如下：
\begin{center}
\scriptsize
\begin{longtable}{|l|l|l|l|l|l|}
\caption{小椭圆型储油罐罐容表}\\
\hline
油高(mm) & 储油罐油量(L) & 油高(mm) & 储油罐油量(L) & 油高(mm) & 储油罐油量(L) \\
\hline
0 & 0~1.674387 & 400 & 965.6608 & 800 & 2661.423 \\
\hline
10 & 3.531122 & 410 & 1004.954 & 810 & 2703.552 \\
\hline
20 & 6.263648 & 420 & 1044.584 & 820 & 2745.491 \\
\hline
30 & 9.976866 & 430 & 1084.535 & 830 & 2787.225 \\
\hline
40 & 14.75896 & 440 & 1124.791 & 840 & 2828.74 \\
\hline
50 & 20.6941 & 450 & 1165.336 & 850 & 2870.022 \\
\hline
60 & 27.85807 & 460 & 1206.155 & 860 & 2911.057 \\
\hline
70 & 36.32088 & 470 & 1247.234 & 870 & 2951.83 \\
\hline
80 & 46.14772 & 480 & 1288.557 & 880 & 2992.326 \\
\hline
90 & 57.39958 & 490 & 1330.111 & 890 & 3032.531 \\
\hline
100 & 70.13378 & 500 & 1371.881 & 900 & 3072.427 \\
\hline
110 & 84.40439 & 510 & 1413.854 & 910 & 3112 \\
\hline
120 & 100.2626 & 520 & 1456.015 & 920 & 3151.234 \\
\hline
130 & 117.7568 & 530 & 1498.352 & 930 & 3190.11 \\
\hline
140 & 136.9333 & 540 & 1540.851 & 940 & 3228.612 \\
\hline
150 & 157.8184 & 550 & 1583.499 & 950 & 3266.722 \\
\hline
160 & 180.2591 & 560 & 1626.283 & 960 & 3304.421 \\
\hline
170 & 203.9994 & 570 & 1669.19 & 970 & 3341.691 \\
\hline
180 & 228.9066 & 580 & 1712.208 & 980 & 3378.511 \\
\hline
190 & 254.8849 & 590 & 1755.323 & 990 & 3414.861 \\
\hline
200 & 281.8577 & 600 & 1798.524 & 1000 & 3450.72 \\
\hline
210 & 309.7608 & 610 & 1841.797 & 1010 & 3486.064 \\
\hline
220 & 338.5387 & 620 & 1885.131 & 1020 & 3520.87 \\
\hline
230 & 368.1426 & 630 & 1928.513 & 1030 & 3555.114 \\
\hline
240 & 398.5285 & 640 & 1971.931 & 1040 & 3588.769 \\
\hline
250 & 429.6567 & 650 & 2015.372 & 1050 & 3621.808 \\
\hline
260 & 461.4906 & 660 & 2058.824 & 1060 & 3654.2 \\
\hline
270 & 493.9967 & 670 & 2102.275 & 1070 & 3685.915 \\
\hline
280 & 527.1438 & 680 & 2145.713 & 1080 & 3716.917 \\
\hline
290 & 560.9024 & 690 & 2189.125 & 1090 & 3747.171 \\
\hline
300 & 595.2452 & 700 & 2232.5 & 1100 & 3776.636 \\
\hline
310 & 630.1462 & 710 & 2275.824 & 1110 & 3805.266 \\
\hline
320 & 665.5808 & 720 & 2319.086 & 1120 & 3833.013 \\
\hline
330 & 701.5256 & 730 & 2362.273 & 1130 & 3859.819 \\
\hline
340 & 737.9584 & 740 & 2405.372 & 1140 & 3885.618 \\
\hline
350 & 774.8577 & 750 & 2448.372 & 1150 & 3910.332 \\
\hline
360 & 812.203 & 760 & 2491.259 & 1160 & 3933.858 \\
\hline
370 & 849.9747 & 770 & 2534.02 & 1170 & 3956.056 \\
\hline
380 & 888.1537 & 780 & 2576.643 & 1180 & 3973.212 \\
\hline
390 & 926.7217 & 790 & 2619.115 & 1190 & 3992.389 \\
\hline
& & & & 1200 & 4009.883 \\
\hline
\end{longtable}
\end{center}

为分析模型的准确性， 将模型求得的数据与表中所给数据在同一坐标中作出
V-h 曲线图如下：

由图 7 可看出， 由模型得到的曲线与实验数据散点曲线基本相吻合，说明模
型结果基本正确。

除此以外，为研究罐体变位后对罐容表的影响，利用模型所得数据，分别作
出罐体变位前后的 V-h 曲线进行对比，模型曲线图如下：

由图 8 看出， 罐体发生变位后， 原始罐容表的标定值与实际油量相比会偏大，
即实际罐容表数据变小，且变位参数越大，偏差量越大。此时，若不对罐容表进
行修改，则所得数据比实际值大，使得对罐内储油量的判断产生错误。

\subsection{问题二 实际储油罐的罐容表标定}

为计算储油罐实际变位量$\alpha$、$\beta$，首先建立模型，求得油浮子显示高度 h
与储油量 $V(\alpha, \beta)$ 的关系，然后通过所给数据估计$\alpha$、$\beta$ 的具体数值，最后根据
实际数据验证模型的准确性。

\subsubsection{油罐内油料体积的计算}

\noindent （1）两侧球缺体积的计算

对于实际储油罐，变位后为了建立罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向
倾斜角度 $\alpha$ 和横向偏转角度$\beta$）之间的一般关系。将罐内的容油量分为三部分，
$V = V_{head1} + V_{head2} + V_{body}$。
其中 $V_{head1}$ 和 $V_{head2}$ 表示两端凸头的容油量，
$V_{body}$表示中间筒体的容油量。 令 $r$ 为圆柱截面圆半径。 油罐中间部分横截面示意图如下图所示，由图 9 可知，当油罐的横向偏转角度为 $\beta$ 时，显示的油位高度为 $h$。可求得油面到罐底的最大垂直距离
$H = r - (r - h)\cos \beta$。

用同 ``问题一'' 的方法， 将储油罐纵向旋转一个角度 $\alpha$ 放入坐标平面内， 如下图：

由图 10 可知，$H_1 = H + 2\tan\alpha$， $H_2 = H - 6\tan \alpha$。

\noindent\ding{172} 当 $H_1 \le 3$， $H_2 \ge 0$ 时

下面，首先计算油位高度显示 $h$ 时两端凸头内的油料体积：

如图 10 所示，在 A 点与 B 点分别作水平圆面，则由几何知识易知
$V_{head1}$的``余'' 部分可以近似补到
$V_{head2}$的``缺''部分，则求球头内油体积的问题转化为
了求如下图所示的水平面下的球头体积问题\cite{1}。

图 11 是$V_{head1}$
的情况，其中 $R$ 是两端封头球径，
$V'_{head1}$
是水平面下球头内油体积。
图 12 是水平截面圆，阴影部分面积 $S$ 为某一高度的封头内油面积，只需将 $S$ 对
深度进行积分即可求出体积 $V'_{head1}$ 。

设 $r_h$ 为水平截面圆的半径，则由图 12 可知 $r_h = \sqrt{R^2 - h^2}$。 于是，水平截面积 $S(h) = \int_{R-1}^{r_h}2 \sqrt{r_h^2 - S^2}\,\mathrm{d}s = \int_{R-1}^{\sqrt{R^2 - h^2}} 2\sqrt{R^2 - h^2 - s^2}\,\mathrm{d}s$，通过积分可得结果如下：
\[
S(h) = (1 -h)\sqrt{2R - h^2 - 1} + \frac12\pi (R^2 - h^2) + (h^2 - R^2) \arctan \left(\frac{R-1}{\sqrt{2R - h^2 - 1}}\right)
\]
再对此面积在纵向进行积分得：
\begin{align*}
V_{head}'(h) &=\int_0^h S(h) \,\mathrm{d}h\\
&= \frac{\pi R^2(h\cos\beta - R\cos\beta + 2\tan \alpha + R)}{2} - \frac{\pi(h\cos\beta - R\cos\beta + 2\tan \alpha + R)^3}{6}\\
&+ \frac{2(h\cos\beta - R\cos\beta + 2\tan \alpha + R)\sqrt{2R-(h\cos\beta - R\cos\beta + 2\tan \alpha + R)^2-1}}{3}\\
&-\frac{2R(h\cos\beta - R\cos\beta + 2\tan \alpha + R)\sqrt{2R-(h\cos\beta - R\cos\beta + 2\tan \alpha + R)^2-1}}{3}\\
&-\frac{2R^3 - 3R +1}{3}\arctan \left(\frac{h\cos\beta - R\cos\beta + 2\tan \alpha + R}{\sqrt{2R - (h\cos\beta - R\cos\beta + 2\tan \alpha + R)^2 -1}}\right)\\
&+\frac{(h\cos\beta - R\cos\beta + 2\tan \alpha + R)^3 - 3R^2(h\cos\beta - R\cos\beta + 2\tan \alpha + R)}{3}\\
&\times \arctan \left(\frac{R-1}{\sqrt{2R - (h\cos\beta - R\cos\beta + 2\tan \alpha + R)^2 - 1}}\right)\\
&+ \frac{2R^3}{3} \arctan \left(\frac{(R-1)(h\cos\beta - R\cos\beta + 2\tan \alpha + R)}{\sqrt{2R -(h\cos\beta - R\cos\beta + 2\tan \alpha + R)^2-1}}\right)
\end{align*}
于是得到 $V'_{head1} = V'_{head}(H_1)$，$V'_{head2} = V_{head}'(H_2)$

\noindent \ding{173} 当 $H_1 \le 3$，$H_2 < 0$时， 只有$V_{head1}$，此时 $V_{head1}\approx V'_{head1}$

\noindent \ding{174} 当 $H_1>3$，$V_{head1} = V'_{head1}$，$V_{head2} \approx V'_{head2}$

\noindent （2）中间圆筒部分体积的计算

由``问题一''中椭圆部分面积公式可推出，半径为 $R$ 高为 $t$ 的弓形面积：
\[
S(t) = -r^2 \arcsin \frac{r-t}{r} -(r-t)\sqrt{2rt - t^2} + \frac{\pi}{2}r^2
\]
为计算方便，同样将油罐经旋转后放入坐标系进行分析，如下图所示：

设液体表面任意一点坐标为 $(x, y)$ ，则有 $y = H_1 - x\tan \alpha\Rightarrow \mathrm{d} x = - \frac{1}{\tan\alpha}\,\mathrm{d}x \Rightarrow$ 图 13 中阴影部分体积 $\mathrm{d}V = s(y)\, \mathrm{d}x$，
中间部分体积的计算分一下三种情况：

\noindent \ding{172} 当 $H_1 \le 3$， $H_2 \ge 0$时，从最左端积到最右端，得：
\begin{align*}
V_{body} &= \int_0^8 S(y)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{\tan\alpha}\int_{H_1}^{H_1 - 8\tan\alpha}S(y) \,\mathrm{d}y\\
&=-\frac{1}{\tan\alpha}\int_{H_1}^{H_1 - 8\tan\alpha}\left[-r^2\arcsin \frac{r-y}{R} - (r-y) \sqrt{2ry - y^2} + \frac{\pi}{2}r^2
\right]\,\mathrm{d}y\\
&=-\frac{1}{\tan\alpha}\left[r^2(R-y)\arcsin\frac{r-y}{r} + r^2 \sqrt{r^2 - (r-y)^2} - \frac13
(2ry - y^2)^{\frac32}+\frac{\pi}{2}r^2y\right]_{H_1}^{H_1 - 8\tan\alpha}\\
&= -\frac{1}{\tan\alpha}\bigg\{r^2(r - H_1 +8\tan\alpha) \arcsin \frac{r - H_1 + 8\tan\alpha}{r}
-r^2(r-H_1) \arcsin\frac{r-H_1}{r}\\
&\quad + r^2 \sqrt{r^2-(r - H_1 +8\tan\alpha)^2}-r^2\sqrt{2rH_1 - H_1^2} \\
&\quad -\frac13
\left[2r(H_1 - 8\tan\alpha) - (H_1 - 8\tan\alpha)^2\right]^{\frac32}\\
&\quad + \frac13 (2rH_1 - H_1^2)^{3/2} - 4\pi r^2 \tan\alpha\bigg\}
\end{align*}

\noindent \ding{173} 当 $H_1\le 3$， $H_2 < 0$时，由以上$H_1$、$H_2$、$H$ 和 $h$ 的关系可
求得 $h\le 0.22$，用同 ``问题一''的体积计算方法，可得：
\begin{align*}
V_m & = \int_0^{H_1/\tan\alpha}S(y)\, \mathrm{d} x= -\frac{1}{\tan\alpha}\int_{H_1}^0S(y)\,
\mathrm{d}y\\
&= -\frac{1}{\tan\alpha}\int_{H_1}^0\left[-r^2\arcsin\frac{r-y}{r} - (r-y)
\sqrt{2ry - y^2} + \frac{\pi}{2} r^2\right]\,\mathrm{