运动与直角三角形,梯形专题训练.doc

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运动与直角三角形，梯形专题训练

运动与直角三角形，梯形专题训练

一．解答题（共30小题）
1．已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=BC=2，AB=4．点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动；点N从点C出发，沿C→D→A方向，以每秒1个单位的速度向点A运动，若M、N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动．运动时间为t秒，过点N作NQ⊥CD交AC于点Q．
（1）设△AMQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
（2）在梯形ABCD的对称轴上是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，求点P到AB的距离；若不存在，说明理由．
（3）在点M、N运动过程中，是否存在t值，使△AMQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

2．如图（1），直角梯形OABC中，∠A=90°，AB∥CO，且AB=2，OA=2，∠BCO=60°．
（1）求证：△OBC为等边三角形；
（2）如图（2），OH⊥BC于点H，动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒．设点P运动的时间为t秒，△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出t的取值范围；
（3）设PQ与OB交于点M，当OM=PM时，求t的值．

3．如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t．求：
（1）C的坐标为　_________　；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时S的值．

4．（2005•日照）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，AD=3cm，BC=9cm．⊙O1的圆心O1从点A开始沿折线A﹣D﹣C以1cm/s的速度向点C运动，⊙O2的圆心O2从点B开始沿BA边以cm/s的速度向点A运动，⊙O1半径为2cm，⊙O2的半径为4cm，若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为t．
（1）请求出⊙O2与腰CD相切时t的值；
（2）在0s＜t≤3s范围内，当t为何值时，⊙O1与⊙O2外切？

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC～BC=4～3，点P在AB上AP=2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后以原速度沿AB向点B运动．点F运动到点B时停止．点E也随之停止运动．在点E、F运动过程中．以EF为边作正方形 EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形 EFGH它与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）写出AC、BC的长；
（2）当t=1时，正方形 EFGH的边长是　_________　，当t=3时，正方形 EFGH的边长为　_________　；
（3）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式．
（4）直接写出，在整个运动过程中，当正方形 EFGH它与△ABC重叠部分是直角梯形时t的取值范围．

6．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=2cm，BC=6cm，AB=4cm．动点P从点A出发，沿A→D→C的路线以2cm/s的速度向点C运动；动点Q从点C出发，沿C→B的路线以1cm/s的速度向点B运动．若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，PQ与DC平行？
（2）在整个运动过程中，设△PBQ的面积为S（cm2），求S（cm2）与t（s）之间的函数关系式；
（3）当点P运动到DC上时，以P为圆心、PD长为半径作⊙P，以B为圆心、BQ长为半径作⊙B，问：是否存在这样的t，使得⊙P与⊙B相切？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

7．（2005•漳州）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在AM，BN上运动（点D不与A重合，点C不与B重合），E是AB上的动点（点E不与A，B重合），在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）当点E为AB边的中点时（如图2），求证：①AD+BC=CD；②DE，CE分别平分∠ADC，∠BCD；
（3）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长；若无关请说明理由．

8．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在射线AM，BN上运动（点D不与A重合，点C不与B重合），E是AB边上的动点（点E不与A，B重合），在运动过程中始终保持DE⊥CE．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）当点E为AB边的中点时（如图2），求证：DE，CE分别平分∠ADC，∠BCD；
（3）若AD+DE=AB=a，设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m的值有关？若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长；若无关请说明理由．

9．如图，AB=AC=10cm，BC=12cm，BF∥AC，点P、Q均以1cm/s的速度同时分别从C、A出发沿CA，AB的方向运动（当P到达A点时，点P、Q均停止运动），过点P作PE∥BC，分别交AB、BF于点G、E，设运动时间为ts．
（1）直接判断并填写：
经过t秒，线段AP=　_________　cm（用含t的代数式表示），线段QE　_________　QP（用“＞、＜、=、≥、≤”符号表示）；
（2）四边形EBPA的面积会变化吗？请说明理由：
（3）①当0＜t＜5时，求出四边形EBPA的面积S与t的函数关系式；
②试探究：当t为何值时，四边形EBPQ是梯形．

10．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB=6，CD=3，AD=4．动点M、N分别从A、B两点同时出发，点M以每秒1个单位长的速度沿AB向点B运动；点N以每秒1个单位长的速度沿B﹣C﹣D运动；当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．设两个点的运动时间为t（秒）．
（1）线段BC的长为　_________　；
（2）当t为何值时，MN∥AD？
（3）设△DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？
（4）请直接写出MN⊥BD时t的值．

11．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．点O为线段BC上的动点，连接OD，以O为圆心，OB为半径的⊙O分别交线段AB、OD于点P、M，交射线BC于点N，连接AC、MN，AC交线段OD于点E．
（1）求梯形对角线AC的长．
（2）如图2，当点O在线段BC上运动到使⊙O与对角线AC相切时，求⊙O的半径OB．
（3）如图3，当点O在线段BC上运动到使⊙O与线段BC的延长线交于点N时，以C为圆心，CN为半径作⊙C，则⊙C与⊙O相内切，求⊙C的半径CN的最大值．
（4）在点O在线段BC上运动的过程中，是否存在MN∥AC的情况？若存在，求出⊙O的半径OB；若不存在，说明理由．

12．在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M作MN∥BC交AC于点N，以MN为直径作⊙O，设AM=x．
（1）用含x的代数式表示△AMN的面积S；
（2）M在AB上运动，当⊙O与BC相切时（如图①），求x的值；
（3）M在AB上运动，当⊙O与BC相交时（如图②），在⊙O上取一点P，使PM∥AC，连接PN，PM交BC于E，PN交BC于点F，设梯形MNFE的面积为y，求y关于x的函数关系式．

13．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=9cm，CD=12cm，BC=15cm．点P由点C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，且与AC交于Q点，连接PE，PF．当点P与点Q相遇时，所有运动停止．若设运动时间为t（s）．
（1）求AB的长度；
（2）当PE∥CD时，求出t的值；
（3）①设△PEF的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②如图2，当△PEF的外接圆圆心O恰在EF的中点时，则t的值为　_________　．（直接写出答案）

14．（2010•鞍山）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值；
（4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

15．如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C﹣D﹣A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A﹣C﹣B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当AM=0.5时，求线段QM的长；
（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．
（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t的函数关系式及自变量的取值范围．

16．（2009•青岛）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PE∥AB；
（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．

17．（2010•咸宁）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C﹣D﹣A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A﹣C﹣B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当t=0.5时，求线段QM的长；
（2）当0＜t＜2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值；
（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值？若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．

18．如图所示，梯形AOCD中，∠AOC=90°，AD=9，OC=10，AO=4在线段OC上任取一点N（不与O、C重合），连接DN，作NE⊥DN，与直线AO交于点E．
（1）当CN=2时，求OE；
（2）若CN=t，OE=s，求s关于自变量t的函数关系式；
（3）探索与研究：如图2所示，分别以AO、OC所在的直线为y轴与x轴，O为原点，建立如图所示的直角坐标系，动点M从点O沿线段OC向C点运动，动点N从点C沿线段CO向点O同时等速运动，设现有一点F（x，y）满足MF⊥MN，NF⊥ND，试用含x的式子表示y．

19．已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14．E为AB上一点，BE=2，点F在BC边上运动，以FE为一边作菱形FEHG，使点H落在AD边上，点G落在梯形ABCD内或其边上．若BF=x，△FCG的面积为y．
（1）当x=　_________　 时，四边形FEHG为正方形；
（2）求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）在备用图中分别画出△FCG的面积取得最大值和最小值时相应的图形（不要求尺规作图，不要求写画法），并求△FCG面积的最大值和最小值；（计算过程可简要书写）
（4）△FOG的面积由最大值变到最小值时，点G运动的路线长为　_________　．

20．如图1，菱形ABOC的对角线OA、BC交于点D，∠BOC=60°，，E为AC边中点，BE与OA交于点F，点P从点O（包含顶点O）开始沿OA方向以每秒个单位长度的速度运动，同时，点Q从点C（包含顶点C）出发沿CB方向以每秒1个单位长度的速度运动，当P到达点A时，P，Q同时停止运动，设运动时间为x秒．
（1）若记以P、B、E、Q为顶点的四边形面积为S，分别求出点P在线段OD（不含点D）和在线段AF（不含点F）上时，S关于x的函数关系式，并写出相应的自变量x的取值范围．
（2）若以P、B、E、Q为顶点的四边形是梯形，求x的值．
（3）如图2，若点M、N分别在菱形的边OC、AC上，且∠MBN=60°，∠MBN在∠OBA内部绕着点B旋转的过程中，请你探究OM+AN的值是否发生变化？若不变，求出其值；若发生变化，请说明理由．

21．已知，如图①，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠A=90°，DC=6，AB=12，BC=10．Rt△EFG（∠EGF=90°）的边EF与BC完全重合，FG与BA在同一直线上．现将Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移（如图②），EF、EG分别交AC于点H、Q，同时点M以cm/s的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，连接FM，当点E运动到点D时，Rt△EFG和点M都停止运动．设点M运动的时间为t（s）

（1）当点Q是AC的中点时，求t的值；
（2）判断四边形CHFM的形状，并说明理由；
（3）如图③，连接HM，设四边形ABMH的面积为s，求s与t的函数关系式及s的最小值．

22．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=CD=4，BC=3．点M从点D出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．
（1）填空：AM=　_________　，AP=　_________　．（用含t的代数式表示）
（2）t取何值时，梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的一半；
（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？并说明理由

23．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，E是AB的中点，过E点作射线EF∥BC，交CD于点G，AB、AD的长恰好是方程x2﹣4x+a2+2a+5=0的两个相等实数根，动点P、Q分别从点A、E出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿射线AB由点A向点B运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿EF由E向F运动，设点P、Q运动的时间为t．
（1）求线段AB、AD的长；
（2）如果t＞1，DP与EF相交于点N，求△DPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；
（3）当t＞0时，是否存在△DPQ是直角三角形的情况？如果存在请求出时间t；如果不存在，说明理由．

24．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，等边三角形DEF从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上，如图1所示）在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，DE、DF分别与AB相交于点M、N．当点F运动到点C时，△DEF停止运动，此时点D恰好落在AB上．在△DEF开始运动的同时，如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE→EF运动，最终运动到F点．若设△DEF平移的时间为x秒，△PMN的面积为y．
（1）△DEF的边长为　_________　；
（2）当x为何值时，P点与M点重合？
（3）当点P在DE上时，x为何值时，△PMN是直角三角形？
（4）求y与x的函数关系式，并说明当P点在何处时，△PMN的面积最大？

25．（2010•包头）如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，BC=a厘米（a＞4）．动点P、Q同时从C点出发，点P在线段CB上以1厘米/秒的速度由C点向B点运动，点Q在线段CD上以相同的速度由C点向D点运动，过点P作直线垂直于BC，分别交BQ、AD于点E、F，当点Q到达终点D时，点P随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）如图①，若a=5厘米，在运动过程中，当点E在矩形ABCD的对角线AC上时，求t的值；
（2）如图②，若a=6厘米，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得∠BFQ=90°？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若经过t秒后，恰好使矩形ABPF的面积与直角三角形BCQ的面积相等，求a的取值范围．

26．已知：在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿AB方向向终点B运动；同时，动点Q也从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AC方向向终点C运动．设两点运动的时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）连接PQ，在点P、Q运动过程中，△APQ与△ABC是否始终相似？请说明理由；
（2）连接PC，设△PCQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；
（3）连接PC、BQ，是否存在t的值，使PC⊥BQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）探索：把△PQB沿直线PQ折叠成△PQB′，设QB′与AB交于点E，当△BEQ是直角三角形时，请直接写出t的值．

27．（2006•青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点．
如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）．

（1）当x为何值时，OP∥AC；
（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）

28．（2006•广东）已知四边形ABCD是矩形，BC＞AB，直线MN分别与AB，BC交于E，F两点，P为对角线AC上一动点（P不与A，C重合）．
（1）当点E，F分别为AB，BC的中点时，（如图1）问点P在AC上运动时，点P，E，F能否构成直角三角形？若能，共有几个？请在图中画出所有满足条件的三角形．
（2）若AB=3，BC=4，P为AC的中点，当直线MN的移动时，始终保持MN∥AC，（如图2）求△PEF的面积S△PEF与FC的长x之间的函数关系式．

29．已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC，点E在CD边上运动（点E与点C、D两点不重合），△AEP为，直角三角形，∠AEP=90°，∠P=30°，过点E作EM∥BC交AF于点M．
（1）若∠BAD=120°（如图1），求证：BF+DE=EM；
（2）若∠BAD=90°（如图2），则线段BF、DE、EM的数量关系为　_________　；
（3）在（1）的条件下，若AD：BF=3：2，EM=7，求CE的长．

30．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．

（1）连接AB的中点M交BD于N，求证：ON=OD．
（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰直角三角形BPF，其中∠BPF=90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．

运动与直角三角形，梯形专题训练
参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）
1．已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=BC=2，AB=4．点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动；点N从点C出发，沿C→D→A方向，以每秒1个单位的速度向点A运动，若M、N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也停止运动．运动时间为t秒，过点N作NQ⊥CD交AC于点Q．
（1）设△AMQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
（2）在梯形ABCD的对称轴上是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，求点P到AB的距离；若不存在，说明理由．
（3）在点M、N运动过程中，是否存在t值，使△AMQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

考点：
等腰梯形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形的性质．2165723
专题：
动点型．
分析：
（1）求出t的临界点t=2，分别求出当0＜t≤2时和2≤t＜4时，S与t的函数关系式即可，
（2）作梯形对称轴交CD于K，交AB于L，分3种情况进行讨论，①取AD的中点G，②以D为直角顶点，③以A为直角顶点，
（3）当0＜t≤2时，若△AMQ为等腰三角形，则MA=MQ或者AQ=AM，分别求出t的值，然后判断t是否符合题意．
解答：
解：（1）当0＜t≤2时，
如图：过点Q作QF⊥AB于F，过点C作CE⊥AB于E，
∵AB∥CD，
∴QF⊥CD，
∵NQ⊥CD，
∴N，Q，F共线，
∴△CQN∽△AFQ，
∴=，
∵CN=t，AF=AE﹣CN=3﹣t，
∵NF=，
∴QF=﹣t，
∴S=•t•（﹣t），
∴S=﹣t2+t，
当2≤t＜4时，
如图：△FQC∽△PQA，
∵DN=t﹣2，
∴FD=DN•cos∠FDN=DN•cos60°=（t﹣2），
∴FC=CD+FD=2+（t﹣2）=t+1，
∴FQ=FC•tan∠FCQ=FC•tan30°=（t+1）•=（t+2），
∴PQ=PF﹣FQ=﹣（t+2），
可得QP=﹣（t+2），
S=•t•[﹣（t+2）]，
∴S=﹣t2+t；

（2）作梯形对称轴交CD于K，交AB于L，
况一：取AD的中点G，GD=1，
过G作GH⊥对称轴于H，GH=1.5，
∵1.5＞1，
∴以P为直角顶点的Rt△PAD不存在，
况二：以D为直角顶点：KP1=，
∴P1L=，
况三：以A为直角顶点，LP2=，
综上：P到AB的距离为时，△PAD为Rt△，

（3）0＜t≤2时，若MA=MQ，
则：t=﹣t，
∴t=，
若AQ=AM，则t=2﹣t，
解得t=12﹣6，
若OA=QM，则∠QMA=30°
而0＜t≤2时，∠QMA＞90°，
∴QA=QM不存在；
2≤t＜4（图中）
若QA=QM，AP：AD=：2，
∴t=2，
若AQ=AM，2﹣（t+2）=t，
∴t=2﹣2，
∵2﹣2＜2，
∴此情况不存在若MA=MQ，则∠AQM=30°，而∠AQM＞60°不存在．
综上：t=，12﹣6，2时，△AMQ是等腰三角形．

点评：
本题主要考查等腰梯形的性质的知识点，此题综合性很强，把图形的变换放在梯形的背景中，利用等腰梯形的性质结合已知条件探究图形的变换，根据变换的图形的性质求出运动时间．

2．如图（1），直角梯形OABC中，∠A=90°，AB∥CO，且AB=2，OA=2，∠BCO=60°．
（1）求证：△OBC为等边三角形；
（2）如图（2），OH⊥BC于点H，动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒．设点P运动的时间为t秒，△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出t的取值范围；
（3）设PQ与OB交于点M，当OM=PM时，求t的值．

考点：
直角梯形；等边三角形的判定与性质；勾股定理．2165723
分析：
（1）利用勾股定理求出OB，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠AOB=30°，∠ABO=60°，则∠BOC=∠ABO=60°，在△OBC中有两60°的角，根据等边三角形的判定即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质易得∠COH=30°，OH=BC=2，则∠QOP=60°，OP=2﹣t，利用三角形的面积公式得到S=•OQ•OP•sin∠QOP，代值即可得到S=﹣t2+t（0＜t＜2）；
（3）由OM=PM得到∠MOP=∠MPO=30°，则∠PQO=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OP=2OQ，即2﹣t=2t，解方程即可．
解答：
解：（1）在Rt△OAB中，AB=2，OA=2，
∴OB===4，
∴∠AOB=30°，∠ABO=60°，
∵AB∥OC，
∴∠BOC=∠ABO=60°，
而∠BCO=60°，
∴△OBC为等边三角形；

（2）∵OH⊥BC，
∴∠COH=30°，OH=BC=×4=2，
∴∠QOP=60°，OP=2﹣t，
而OQ=t，
∴S=•OQ•OP•sin∠QOP
=•t（2﹣t）•
=﹣t2+t（0＜t＜2）；

（3）∵OM=PM，
∴∠MOP=∠MPO=30°，
而∠QOP=60°
∴∠PQO=90°，
∴OP=2OQ，即2﹣t=2t，
∴t=．

点评：
本题考查了直角梯形的性质：上下底平行，有一底角为90°；也考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系．

3．如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t．求：
（1）C的坐标为　（4，1）　；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时S的值．

考点：
相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；正方形的性质；梯形．2165723
专题：
综合题；分类讨论．
分析：
（1）过C作CE⊥x轴于E，易证得△ABO≌△BCE，可得AO=BE、OB=CE，由此求出点C的坐标．
（2）RH∥y轴，即R、H的横坐标相同；
由于AB∥CD，得∠DMR=∠ANO，若△ANO与△DMR相似，则：
由于直线OP经过正方形的对称中线，因此OP平分∠AOB，即∠AOP=45°，由于AB∥CD，故∠ANO=∠DMO，若△ANO与△DMR相似，则有两种情况：
①∠DRM=45°，此时DR∥y轴，即点R、D、H的横坐标都相同，由此求出点H的坐标；
②∠RDM=45°，此时R、P重合，因此R、H的横坐标相同，由此求出点H的坐标．
（3）①首先用t表示出PH的长，由于PH与y轴平行，可以PH为底、H、C的横坐标差的绝对值为高求出S的表达式，即可得S、t的函数关系式；要注意的是在表示高的过程中，要分H在C点左侧和H点在C点右侧两种情况讨论．
②此题应分三种情况讨论：
一、CR∥AB，此时R、M重合，可求出直线CD的解析式，联立直线OP的解析式，即可求得M点（即R）的坐标，进而得到H点坐标和t的值，然后再将t代入①的函数解析式中即可得到S的值；
二、AR∥BC，三、BR∥AC，解法同上．
解答：
解：（1）过C作CE⊥x轴于E；
由于四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°；
易证得△ABO≌△BCE，
则AO=BE=3，OB=CE=1，
∴C（4，1）；（2分）
同理可求，D（3，4）．

（2）由于P是正方形的对称中心，由A（0，3），C（4，1），
可得P（2，2）；
则∠MOE=45°，又OR=t，OH=t，所以RH∥y轴，即R、H的横坐标相同；
由于AB∥CD，得∠DMR=∠ANO，若△ANO与△DMR相似，则：
①当∠MDR=45°时，R、P重合，此时R（2，2），故t=2，点H（2，0）；
②当∠DRM=45°时，DR∥y轴，此时R（3，3），故t=3，点H（3，0）；
所以当t=2或t=3时，△ANO与△DMR相似．

（3）①分两种情况：
一、0＜t≤4，H在E点左侧；
易知RH=t，HE=4﹣t，故S=RH•HE=t（4﹣t）=﹣t2+2t；
二、t＞4，H在E点右侧；
易知RH=t，HE=t﹣4，故S=RH•HE=t（t﹣4）=t2﹣2t；
②若以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形，分三种情况：
一、CR∥AB；此时R、M重合，
由C（4，1），D（3，4），可求得直线CD：y=﹣3x+13；
当x=y时，﹣3x+13=x，解得x=；
即M（即R）点横坐标为，H（，0）；
故t=，代入S=﹣t2+2t（0＜t≤4）可得S=；
同理可求得：
二、AR∥BC时，t=，S=；
三、BR∥AC时，t=，S=；
综合①②可得：
S=﹣t2+2t（0＜t≤4）；（1分）S=t2﹣2t（t＞4）．
当CR∥AB时，t=，（1分）S=；
当AR∥BC时，t=，S=；
当BR∥AC时，t=，S=．

点评：
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质，梯形的判定，图形面积的求法等知识，同时还考查了分类讨论思想在动点问题中的应用，难度较大．

4．（2005•日照）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，AD=3cm，BC=9cm．⊙O1的圆心O1从点A开始沿折线A﹣D﹣C以1cm/s的速度向点C运动，⊙O2的圆心O2从点B开始沿BA边以cm/s的速度向点A运动，⊙O1半径为2cm，⊙O2的半径为4cm，若O1、O2分别从点A、点B同时出发，运动的时间为t．
（1）请求出⊙O2与腰CD相切时t的值；
（2）在0s＜t≤3s范围内，当t为何值时，⊙O1与⊙O2外切？

考点：
圆与圆的位置关系；勾股定理；直角梯形；切线的性质．2165723
专题：
压轴题．
分析：
（1）先设⊙O2运动到E与CD相切，且切点是F；连接EF，并过E作EG∥BC，交CD于G，再过G作GH⊥BC于H，那么就得到直角三角形EFG和矩形GEBH．
要求⊙O2与CD相切的时间，可以先求出⊙O2从B到E所走的路程BE，即GH的长，再除以运动速度即可．
那么求GH的值就是关键，由∠C=60°，可以知道∠CGH=30°，那么∠FGE=60°．
在Rt△EFG中，可以利用勾股定理求出EG的值，那么CH=BC﹣BH=BC﹣EG．在Rt△CGH中，利用60°的角的正切值可求出GH的值，此问就可解了．
（2）因为s＜t＜3s，所以O1一定在AD上，连接O1O2．
利用勾股定理可得到关于t的一元二次方程，求解即可，根据要求，可选择t的值．
解答：
解：（1）如图所示，设点O2运动到点E处时，⊙O2与腰CD相切．
过点E作EF⊥DC，垂足为F，则EF=4cm．
方法一：作EG∥BC，交DC于G，作GH⊥BC，垂足为H．
由直角三角形GEF中，∠EGF+∠GEF=90°，
又∠EGF+∠CGH=90°，
∴∠GEF=∠CGH=30°，
设FG=xcm，则EG=2xcm，又EF=4cm，
根据勾股定理得：x2+42=（2x）2，解得x=，
则HB=GE=cm，又在直角三角形CHG中，∠C=60°，
∴CH=（9﹣）cm，
则EB=GH=CHtan60°=cm．
所以，t=（）秒．
方法二：延长EA、FD交于点P．通过相似三角形，也可求出EB长．
方法三：连接ED、EC，根据面积关系，列出含有t的方程，直接求t．

（2）由于0s＜t≤3s，所以，点O1在边AD上．
如图连接O1O2，则O1O2=6cm．
由勾股定理得，
t2+（6﹣t）2=62，
即t2﹣9t+18=0．
解得：t1=3，t2=6（不合题意，舍去）．
所以，经过3秒，⊙O1与⊙O2外切．

点评：
本题利用了切线的性质，勾股定理，正切值的计算，以及公式s=vt，矩形的判定和性质，两圆外切的性质．
注意用含t的代数式来表示线段的长．

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC～BC=4～3，点P在AB上AP=2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后以原速度沿AB向点B运动．点F运动到点B时停止．点E也随之停止运动．在点E、F运动过程中．以EF为边作正方形 EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形 EFGH它与△ABC重叠部分的面积为S．
（1）写出AC、BC的长；
（2）当t=1时，正方形 EFGH的边长是　2　，当t=3时，正方形 EFGH的边长为　4　；
（3）当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式．
（4）直接写出，在整个运动过程中，当正方形 EFGH它与△ABC重叠部分是直角梯形时t的取值范围．

考点：
相似形综合题．2165723
分析：
（1）可设AC=4x，则BC=3x，根据勾股定理可得方程，从而求出AC、BC的长；
（2）当t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；
（3）正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t≤时；②当＜t≤时；③当＜t≤2时；依次求S与t的函数关系式；
（4）E点与A点重合或F点与B点重合时，正方形EFGH与△ABC重叠部分是直角梯形，依此得到t的取值．
解答：
解：（1）设AC=4x，则BC=3x，依题意有
（4x）2+（3x）2=102，
解得x1=2，x2=﹣2（负值舍去），
则AC=4x=8、BC=3x=6．
故AC的长为8、BC的长为6；

（2）当t=1时，则PE=1，PF=1，
∴正方形EFGH的边长是2；
当t=3时，PE=1，PF=3，
∴正方形EFGH的边长是4．
故答案为：2，4；

（3）当正方形EFGH与△ABC重叠部分的形状为正方形时，0＜t≤，
S与t的函数关系式是S=2t×2t=4t2；
当t=时EFGM是梯形，
故当＜t≤时，