第四章 学案17 任意角的三角函数.doc

第四章　三角函数与三角恒等变换
学案17　任意角的三角函数
导学目标： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

自主梳理
1．任意角的概念
角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的________，射线的端点O叫做角的________，旋转终止位置的射线OB叫做角的________，按______时针方向旋转所形成的角叫做正角，按______时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个________角．
(1)象限角
使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是__________角．
(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)
终边在x轴上的角表示为____________________；
终边在y轴上的角表示为__________________________________________；
终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________．
(3)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合______________________或__________________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．
(4)弧度制
把长度等于________长的弧所对的__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做________，它的单位符号是________，读作________，通常略去不写．
(5)度与弧度的换算关系
360°＝______ rad；180°＝____ rad；1°＝________ rad；
1 rad＝_______________≈57.30°.
(6)弧长公式与扇形面积公式
l＝________，即弧长等于_________________________________________________．
S扇＝________＝____________.
2．三角函数的定义
任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么①____叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y；②____叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x；③________叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x≠0)．
(1)三角函数值的符号
各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

(2)三角函数线
下图中有向线段MP，OM，AT分别表示__________，__________________和____________．

自我检测
1．“α＝”是“cos 2α＝”的 （ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2.(2011·济宁模拟)点P(tan 2 009°，cos 2 009°)位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．(2010·山东青岛高三教学质量检测)已知sin α<0且tan α>0，则角α是 （ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为 (　　)
A. B. C. D.

探究点一　角的概念
例1　(1)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边落在第几象限；
(2)写出终边落在直线y＝x上的角的集合；
(3)若θ＝168°＋k·360° (k∈Z)，求在[0°，360°)内终边与角的终边相同的角．

变式迁移1　若α是第二象限的角，试分别确定2α，的终边所在位置．

探究点二　弧长与扇形面积
例2　(2011·金华模拟)已知一个扇形的圆心角是α，0<α<2π，其所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

变式迁移2　(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；
(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

探究点三　三角函数的定义
例3　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．

变式迁移3　已知角α的终边经过点P(－4a,3a) (a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值．

1．角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯．象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础．
2．三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法．

(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·宣城模拟)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q，则Q的坐标为 （ ）
A．(－，) B．(－，－)
C．(－，－) D．(－，)
2．若0<x<π，则使sin x>和cos x<同时成立的x的取值范围是 (　　)
A.<x< B.<x<π
C.<x<π D.<x<π
3．已知α为第三象限的角，则所在的象限是 (　　)
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
4．若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于 (　　)
A．sin B.
C. D．2sin
5．已知θ∈且sin θ＋cos θ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正确的是 (　　)
A．－3 B．3或
C．－ D．－3或－
题号
1
2
3
4
5
答案

二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则α的取值范围是________________．
7．(2011·龙岩模拟)已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．
8．阅读下列命题：
①若点P(a,2a) (a≠0)为角α终边上一点，则sin α＝；
②同时满足sin α＝，cos α＝的角有且只有一个；
③设tan α＝且π<α<，则sin α＝－；
④设cos(sin θ)·tan(cos θ)>0 (θ为象限角)，则θ在第一象限．其中正确命题为________．(将正确命题的序号填在横线上)
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，
(1)求的弧长；
(2)求弓形OAB的面积．

10．(12分)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sin α≥；
(2)cos α≤－.

11．(14分)(2011·舟山月考)已知角α终边经过点P(x，－) (x≠0)，且cos α＝x.求sin α＋的值．

答案 自主梳理
1．始边　顶点　终边　逆　顺　零　(1)第几象限
(2){α|α＝kπ，k∈Z}　　　(3){β|β＝α＋k·360°，k∈Z}　{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}　(4)半径　圆心角　弧度制　rad　弧度　(5)2π　π　　°　(6)|α|·r　弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积　lr　|α|r2　2.①y　②x　③　(2)α的正弦线　α的余弦线　α的正切线
自我检测
1．A　2.D　3.C　4.D
课堂活动区
例1　解题导引　(1)一般地，角α与－α终边关于x轴对称；角α与π－α终边关于y轴对称；角α与π＋α终边关于原点对称．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一角α与2π的整数倍，然后判断角α的象限．
(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合参数k赋值来求得所需角．
解　(1)π＋2kπ<α<＋2kπ (k∈Z)，
∴－－2kπ<－α<－π－2kπ(k∈Z)，
即＋2kπ<－α<π＋2kπ (k∈Z)．①
∴－α角终边在第二象限．
又由①各边都加上π，得＋2kπ<π－α<2π＋2kπ (k∈Z)．
∴π－α是第四象限角．
同理可知，π＋α是第一象限角．
(2)在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，
∴终边在直线y＝x上的角的集合为
.
(3)∵θ＝168°＋k·360° (k∈Z)，
∴＝56°＋k·120° (k∈Z)．
∵0°≤56°＋k·120°<360°，
∴k＝0,1,2时，∈[0°，360°)．
故在[0°，360°)内终边与角的终边相同的角是56°，176°，296°.
变式迁移1　解　∵α是第二象限的角，
∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180° (k∈Z)．
(1)∵2k·360°＋180°<2α<2k·360°＋360° (k∈Z)，
∴2α的终边在第三或第四象限，或角的终边在y轴的非正半轴上．
(2)∵k·180°＋45°<<k·180°＋90° (k∈Z)，
当k＝2n (n∈Z)时，
n·360°＋45°<<n·360°＋90°；
当k＝2n＋1 (n∈Z)时，
n·360°＋225°<<n·360°＋270°.
∴是第一或第三象限的角．
∴的终边在第一或第三象限．
例2　解题导引　本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式，并与最值问题联系在一起．确定一个扇形需要两个基本条件，因此在解题中应依据题目条件确定出圆心角、半径、弧长三个基本量中的两个，然后再进行求解．
解　

(1)设扇形的弧长为l，该弧所在弓形的面积为S，如图所示，
当α＝60°＝，
R＝10 cm时，
可知l＝αR＝ cm.
而S＝S扇－S△OAB＝lR－R2sin
＝××10－×100×
＝ cm2.
(2)已知2R＋l＝C，即2R＋αR＝C，
S扇＝αR2＝·αR·R＝·αR·2R
≤·2＝·2＝.
当且仅当αR＝2R，即α＝2时，等号成立，即当α为2弧度时，该扇形有最大面积C2.
变式迁移2　解　设扇形半径为R，圆心角为θ，所对的弧长为l.
(1)依题意，得
∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或.
∵8>2π，舍去，∴θ＝.
(2)扇形的周长为40，即θR＋2R＝40，
S＝lR＝θR2＝θR·2R≤2＝100.
当且仅当θR＝2R，即R＝10，θ＝2时扇形面积取得最大值，最大值为100.
例3　解题导引　某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定了．但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组，要分别求解．
解　∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t) (t≠0)，
则x＝4t，y＝－3t，
r＝＝＝5|t|，
当t>0时，r＝5t，
sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝，
tan α＝＝＝－；
当t<0时，r＝－5t，
sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
tan α＝＝＝－.
综上可知，t>0时，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－；
t<0时，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
变式迁移3　解　r＝＝5|a|.
若a>0，则r＝5a，α角在第二象限，
sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
tan α＝＝＝－.
若a<0，则r＝－5a，α角在第四象限，
sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
课后练习区
1．A　2.B　3.D　4.C　5.C
6.∪
解析　由已知得
∴＋2kπ<α<＋2kπ或π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z.
∵0≤α≤2π，∴当k＝0时，<α<或π<α<.
7.π
解析　由三角函数的定义，tan θ＝＝＝－1.
又∵sin >0，cos <0，∴P在第四象限，∴θ＝.
8．③
解析　①中，当α在第三象限时，
sin α＝－，故①错．
②中，同时满足sin α＝，cos α＝的角为α＝2kπ＋ (k∈Z)，不只有一个，故②错．③正确．④θ可能在第一象限或第四象限，故④错．综上选③.
9．解　(1)∵α＝120°＝，r＝6，
∴的弧长为l＝αr＝×6＝4π.……………………………………………………(4分)
(2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，……………………………………………………(7分)
S△ABO＝r2·sin ＝×62×
＝9，……………………………………………………………………………………(10分)
∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－9.………………………………………………(12分)
10．解　(1)

作直线y＝交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α的集合为.…………………………………………………(6分)
(2)

作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为
.……………………………………………………(12分)
11．解　∵P(x，－) (x≠0)，
∴点P到原点的距离r＝.…………………………………………………………(2分)
又cos α＝x，
∴cos α＝＝x.∵x≠0，∴x＝±，
∴r＝2.…………………………………………………………………………………(6分)
当x＝时，P点坐标为(，－)，
由三角函数的定义，
有sin α＝－，＝－，
∴sin α＋＝－－＝－；……………………………………………(10分)
当x＝－时，
同样可求得sin α＋＝.………………………………………………(14分)