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用能力来弥补你知识上的不足
——类比推理在数学学习中的应用

山东滨州西海小学王浔滨2013年12月18日

类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。简称类推、类比。
以关于两个事物某些属性相同的判断为前提，推出两个事物的其他属性相同的结论的推理。如声和光有不少属性相同--直线传播，有反射、折射和干扰等现象；由此推出：既然声有波动性质，光也有波动性质。这就是类比推理。类比推理不具有必然性。如果两个事物共同属性很少，由一个事物具有某种属性，就认为另一种事物也有这样的属性，这样的类比推理就极不可靠。即使两个事物的共同性很多，由一个事物具有某种属性，另一种事物也不一定具有这类属性。但我们合理使用常可以根据类比推理得出重要结论。
如何使用类比推理才会合理？
一、一种情况：在同类问题中用简单数据具备的特性，来推论这类问题中的数据普遍具备这种特性。即由特殊到一般。
例如，在昨天的教学中，有这样一个问题：
（ ）÷68=55......5，请写出被除数。本来一个很简单的问题，可是一些学生却说忘了含余数的除法中，各部分间的关系，不知道怎么做。难道忘记了相关公式，问题就真的无法解决吗？其实利用类比推理我们是很容易还原除法各部分的关系的。比如 利用简单数据：（ ）÷3=2......1，我们容易看到应该填7，而用3,2,1这三个数如何才能算出7呢？显然一般学生都能看出3×2+1=7，因为我们正在探讨除法各部分的关系，因此想一想这四个数字在除法中的名称，并在对应的数字下面写出他们各自的名称，你看得到了什么？
3 × 2 + 1 = 7
除数 × 商 + 余数 = 被除数
这种方法说差了就是化繁为简的方法。把不容易思考的复杂的数，换成简单的容易思考的数来考虑，利用仅仅是换了数，没有换数量之间的关系，来类推出简单的数时，有这个关系，复杂的数之间也有这个关系。这种方法还可以用在刚开始学习分数或小数时，学生对新的数据类型不熟悉，增加了解决应用题的难度。这时，一方面注重四则运算的意义教学，另一方面也看引导学生换成熟悉的整数来思考，从而降低思考难度。当然转换时，应该注意这样两点：
1、 原始数据中较大的数，也要换成相对大一点的数，反之，原始数据中较小的，也换成较小的数。
2、 换成简单的数时，尽量不要用相同的数字，比如上例，如果我们用（ ）÷2=2......1，得出2×2+1=5时，分析各个数字的名称时，就可能困惑，这个2到底代表。。。。。。
二、类比推理也可以用来探索一些规律性的东西
再比如这样一个问题：学校越野赛上，决定每隔65米设一个服务站，但起点和终点不设。已知赛道长2600米，问共需要设多少个赛道？
结果很多学生就问，老师，算出段数（2600中有几个65），加1还是减1，以前的老师讲过，我忘了。是的，单靠死记硬背题型，对不常见的题型，怎么会不忘记？数学教学，应该靠的是提升学生的能力，而不是死记硬背。于是，我引导学生按下表思考
假定赛道长 段数 服务站数 参考图示
65米 1 0 在word中太麻烦略
130米 2 1
195米 3 2
对比这三行数据就可以看出，服务站数=段数-1。
由此我们也可以类推到几十段，几百段的情况。
三、利用类推还可以帮助我们进行记忆。
在学习了一类新的单位时，因为不熟悉，进行单位转换时，很多学生不知道该乘以还是除以进率了。怎么办？
比如 1000立方米=（）立方分米，这时我们可以利用熟悉的一些单位来看到底怎么做。
比如让学生思考100cm=()m，学生自然而然地想到填1。然后引导学生思考cm，是高级单位还是低级单位，m呢？然后分析结果，就知道了低级单位化高级单位除以进率，而现在是高级单位化低级单位就应该相反！说实在的，单靠记忆，时间长了，很可能学生就会混淆何时乘以何时除以进率。
类似的例子在数学当中还有很多，只要你遇事认真思考，你就会不断有新奇的发现。