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第5章 剪切和挤压的实用计算
本章要点
l 掌握剪切的实用计算
l 掌握挤压的实用计算
5.1 剪切和剪切的实用计算
5.1.1 剪切的概念
图5-1为一剪床剪切钢板的示意图，钢板在上、下刀刃的作用下，在相距δ区域内发生变形，当外力足够大时，钢板被切断。

图5-1 剪床剪钢板 图5-2 铆钉联接

图5-3 两个受剪面
图5-2a为一铆钉联接简图。当被联接件上受到外力F的作用后，力由两块钢板传到铆钉与钢板的接触面上，铆钉上受到大小相等，方向相反的两组分布力的合力F的作用(图5-2b)，使铆钉上下两部分沿中间截面m-m发生相对错动的变形，如图5-2c所示。
由上述两例，可见剪切的受力特点是：作用在杆件两侧面上且与轴线垂直的外力的合力大小相等，方向相反，作用线相距很近，其变形为使杆件两部分沿中间截面m-m在作用力的方向上发生相对错动。杆件的这种变形称为剪切，杆件发生相对错动的中间截面m-m称为剪切面。
只有一个受剪面的剪切称为单剪，如上述两例。有两个受剪面的剪切称为双剪，如图5-3中螺栓所受的剪切。
5.1.2 剪切时的内力
由截面法可得剪切面上的内力，它是剪切面上分布内力的合力，称为剪力，用Fs表示（图5-4c）。对任一分离体如（图5-4b、c）列平衡方程可得
Fs=F

图5-4 剪切时的内力
5.1.3 剪切实用计算
剪切面上分布内力的集度以t表示，称为切应力（图5-4d）。切应力在剪切面上分布的情况比较复杂。为便于计算。工程中通常采用以实验、经验为基础的实用计算，近似地认为切应力在受剪面内是均匀分布的(图5-4d )，按此假设计算出的切应力实质上是截面上的平均应力，称为名义切应力， 即
t=Fs/As (5-1)
式中：t—— 名义切应力 Mpa，Fs—— 剪切力 N，As—— 剪切面积 mm2。
材料的极限切应力tu是按名义切应力概念，用试验方法得到的。将此极限切应力除以适当的安全因数，即得材料的许用切应力
[t]=tu/n （5-2）
式中：[t]—— 许用切应力 Mpa，tu—— 极限切应力 Mpa，n——安全因数。
由此，建立剪切强度条件
t=Fs/As≤[t] （5-3）
大量实践结果表明，剪切实用计算方法能满足工程实际的要求。
工程中常用材料的许用切应力，可以从有关的设计手册中查得。一般情况下，材料的许用切应力[t]与许用拉应力[s]之间有以下近似关系：
对塑性材料：[t]= (0.6~0.8) [s]；
对脆性材料：[t]=(0.8~1.0) [s]。

图5-5 挤压力
5.2挤压和挤压的实用计算
5.2.1 挤压的概念
铆钉等联接件在外力的作用下发生剪切变形的同时，在联接件和被联接件接触面上互相压紧，产生局部压陷变形，甚至压溃破坏，这种现象称为挤压(图5-5a)。接触面上的压力称为挤压力，用Fbs表示。
5.5.2 挤压的实用计算
由挤压力引起的接触面上的表面压强，习惯上称为挤压应力，用sbs表示。
应当注意，挤压与压缩的概念是不同的。压缩变形是指杆件的整体变形，其任意横截面上的应力是均匀分布的；挤压时，挤压应力只发生在构件接触的表面，一般并不均匀分布。
与切应力在剪切面上的分布相类似，挤压面上挤压应力的分布也较复杂，如图5-5b所示。为了简化计算，工程中也采用挤压的实用计算，即假设挤压应力在挤压面上是均匀分布的（图5-5c）。按这种假设所得的挤压应力称为名义挤压应力。当接触面为平面时，挤压面就是实际接触面；对于圆柱状联接件，接触面为半圆柱面，挤压面面积Abs取为实际接触面的正投影面，即其直径面面积Abs=t×d（图5-5c），因此有
sbs=Fbs/Abs （5-4）
式中：[sbs]—— 许用挤压应力 Mpa，su——极限挤压应力 Mpa，n——安全因数。
按照（5-4）式计算所得挤压应力与接触面上的实际最大应力大致相等。
应用名义挤压应力的概念，得到材料的极限挤压应力su，将su除以适当的安全因素n，即可确定材料的许用挤压应力，即
[sbs]= su/n （5-5）
由此建立挤压强度条件，即
sbs=Fbs/Abs≤[sbs] （5-6）
工程实践证明，挤压实用计算方法能满足工程实际的要求。工程中常用材料的许用挤压应力，可以从设计手册中查到。一般情况下，也可以利用许用挤压应力与许用拉应力的近似关系求得。
对塑性材料： [sbs] =(0.9~1.5) [s] ；对脆性材料： [sbs] =(1.5~2.5) [s]。
应当注意，挤压应力是在联接件和被联接件之间的相互作用。当两者材料不同时，应对其中许用挤压应力较低的材料进行挤压强度校核。
对于剪切问题，工程上除应用式（5-3）进行剪切构件的强度校核，以确保构件正常工作外，有时会遇到相反的问题，即所谓剪切破坏。例如，车床传动轴的保险销，当载荷超过极限值时，保险销首先被剪断，从而保护车床的重要部件。而冲床冲剪工件，则是利用剪切破坏来达到加工目的的。剪切破坏的条件为
Fb ³ tb× As （5-7）
式中：Fb—破坏时横截面上的剪力；tb—材料的剪切强度极限。
图5-6 电机车挂钩的销钉联接
【例5-1】：电机车挂钩的销钉联接如图5-6a所示。已知挂钩厚度t=8 mm，销钉材料的[t]=60 MPa，[sbs]=200 MPa，电机车的牵引力F=15 kN，试选择销钉的直径。
解： 销钉受力情况如图5-6b所示，因销钉有两个面承受剪切，故每个剪切面上的剪力Fs=F/2，剪切面积为As=pd2/4。
(1)根据剪力强度条件，设计销钉直径，由式(5-3)可得
As=pd2/4≥(F/2)/[s]
有
(2)根据挤压强度条件，设计销钉直径，由图5-6b可知，销钉上、下部挤压面上的挤压力Fbs= F/2，挤压面积Abs=d× t，由式（5-7）得

图5-7 钢板冲孔
Abs=d× t≥(F/2)/[ sbs]
有
d≥F/(2d[s])=(15´103N)/(2´8mm´200MPa)»5mm
选d=12.6mm，可同时满足挤压和剪切强度的要求。考虑到启动和刹车时冲击的影响以及轴径系列标准，可取d=15 mm。
【例5-2】：已知钢板厚度t=10 mm(图5-7a)，其剪切强度极限为tb=300 MN/m2。若用冲床将钢板冲出直径d=25 mm的孔，问需要多大的冲剪力F？
解： 由题意知，剪切面是圆柱形侧面，如图5-7b所示。其面积为
As=p×d× t=p×25 mm×10 mm=785 mm2
冲孔所需要的冲剪力就是钢板破坏时剪切面上的剪力，由式（6-24）可得
Fb≥tb×As=300 MPa×785 mm2=235.5´103N=235.5 kN
故冲孔所需要的最小冲剪力为235.5 kN。

题5-2图
5.3习题
5-1 何为挤压应力？它与一般的压应力有何区别？
5-2 如题5-2图所示，螺栓受拉力F作用，其材料的许用剪切应力[τ]与许用拉应力[σl]之间的关系约为[τ]=0.6[σl]。试计算螺栓直径d和螺栓头部高度h的合理比值。
5-3 试求题5-3图示联接螺栓所需的直径。已知F=200 kN，t=20 mm。螺栓材料的[t]=80 MPa，[sbs]=200 MPa（不考虑联接板的强度）。

题5-3图 题5-4图
5-4 冲床的最大冲力为400 kN，冲头材料的[sbs]=440 MPa被冲剪板的剪切强度极限为360 MPa。求在最大冲力作用下所能冲剪圆孔的最小直径dmin和板的最大厚度tmax。
5-5 已知题5-5图示键的长度为35 mm，[t]=100 MPa，[sbs]=220 MPa。试求手柄上端F力的最大值。

题5-5图 题5-6图
5-6 如题5-6图，铆接钢板厚t=10 mm，铆钉直径d=17 mm，铆钉的许用切应力[t]=140 MPa，许用挤压应力[sbs]=320 MPa，载荷F=24 kN，试对铆钉强度进行校核。
5-7 如题5-7图所示，用夹剪剪断直径d1=3mm的铅丝。若铅丝的极限剪应力约为100MPa，试问需多大的P？若销钉B的直径为d2=8mm，试求销钉内的剪应力。

题5-7图
5-8 套筒联轴器内孔直径D=30 mm，安全销平均直径d=6 mm，抗剪强度t=360 MPa，当超载时，安全销即将被剪断，以保护其它构件的安全,试求安全销所能传递的最大外力偶矩。

题5-8图
5-9 如题5-9图所示，两块厚度为10mm的钢板，若用直径为17mm的铆钉联接在一起，钢板拉力F=60kN。已知[t]=40 MPa，[sbs]=280 MPa。试确定所需的铆钉数（假设每只铆钉的受力相等）。

题5-9图
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