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理论力学讲义
铜仁学院物理与电子科学系 冯云光
绪论
一、理论力学研究对象和任务：
1、研究对象；
研究物体机械运动普遍遵循的基本规律并将其用严密的数学表述，使其完全可以用严格的分析方法来加以处理。
机械运动 物体在空间的相对位置随时间而改变的现象。
2、任务 ：归纳机械运动的规律。（借助严密的数学规律进行归纳）
3、表达方式；（理论力学分为矢量力学和分析力学两大部分。）
（1）、矢量力学（牛顿力学）
从物体之间的相互作用出发，借助矢量分析这一数学工具，运用形象思维方法，通过牛顿定律揭示物体受力与其运动状态之间的因果关系来确定物体的运动规律。特点：形象直观，易于处理简单的力学问题，范围：仅能解决经典力学问题。（在矢量力学中，涉及量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。力是矢量力学中最关键的量。）
（2）、分析力学：
从牛顿力学的基础上发展起来的，它借助数学分析这一工具，运用抽象思维方法，研究力学体系整体位形变化。特点“从各种运动形态通用的物理量—能量出发，它的运用远远超出经典力学范围，也适用非力学体系。（分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和势能是最关键的量。）
（分析力学是由拉格朗日、哈密顿等人建立并完善起来的经典力学理论，它的理论体系和处理问题方法，完全不同于牛顿力学，它代表经典力学的进一步发展，它揭示出支配宏观机械运动的更普遍的规律，以致能用比较统一的方法处理力学体系的运动问题，它揭示出力学规律与其他物理的过渡起了重要作用，分析力学已经成为学习后继课程的必要基础。）
二、理论力学的研究内容
1、运动学： 从几何的观点来研究物体位置随时间的变化规律，而未研究引起这种变化的物理原因。
2、动力学：研究物体运动和物体间相互作用的联系，阐明物体运动的原因。
3、静力学：研究物体相互作用下的平衡问题。（它可以看作动力学的一部分，质点、质点系，刚体）
三、理论力学的研究方法
1、理论力学的研究方法
观察、实验， 总结实验规律， 建立物理模型， 提出合理假设， 数学演绎、逻辑推理， 探讨规律， 实验验证。（即：从实践出发，经过抽象化、综合、归纳，建立公里，再应用数学演绎和逻辑推理而得到定理和结论，形成理论体系，然后再通过实践来证明理论的正确性。）
2、理论力学与普通物理力学的关系以及区别：
（1）方法上不一样，不再从实验开始，而是将实验规律用 数学表述，从理论上进行推理，运算。
（2）研究对象一样，基本规律相同，但研究更系统更深入。
（3）分析力学以达朗伯原理为基础，以能量作为基本量，建立的体系与近代物理更接近。（理论力学与普通物理的力学不同点是：逻辑推理、数学演绎更强。主要数学要求是：微积分和解常系数微分方程。）
四、经典力学的适用范围：
(1)宏观物体；（2）低速
五、理论力学的学习目的与任务:
1、学习质点、质点系和刚体机械运动的一般规律，为后续课程打下坚实基础。(对机械运动有一个全面的认识。)
2、运用严密的数学规律，对机械运动的规律进行理论推证。
3、培养辩证唯物主义的世界观,提高分析问题解决问题的能力.
4、三个方面要求：（1）准确地理解基本概念：（2）熟悉基本定律与公式；（3）能在正确条件下灵活应用。
六、学习理论力学的几点注意：
1、理论联系实际。
2、培养科学的逻辑思维方法。
3、注意表达式中的物理意义。
4、认真对待作业。
5、学习方法
（1）作听课笔记（2）及时复习，温故而知新。
6、学习态度：认真、务实
教科书
周衍柏，《理论力学教程》（第三版），高等教育出版社，2009年7
参考书目
[1]苏云荪，《理论力学》，高等教育出版社，1990年
[2]梁昆淼，《力学》（上），高等教育出版社，1965年
[3]梁昆淼，《力学》（下），人民教育出版社，1981年
[4]许健民等，《理论力学解题分析》，江苏科学技术出版社,1981年
[5]谢宝田等，《理论力学教程习题解》，中国科学技术出版社,1991年
[6]H.戈德斯坦等，《经典力学》，科学出版社，1981年
[7]阎康年，《牛顿的科学发现与科学思想》，湖南教育出版社，1989年
[8]朱照宣，《理论力学》（上），北京大学出版社，1982年
[9]朱照宣，《理论力学》（下），北京大学出版社，1982年
[10]肖士珣，《理论力学简明教程》，高等教育出版社，1983年

数学准备知识—矢量分析基础：
一、矢量与矢量场
1、矢量及表示
2、标量场量场
标量场 空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。如温度场,电位场,高度场等
矢量场 空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等.
二、矢量代数
1、矢量和

2.点乘（标量积、投影积）-- 对应分量相乘的和

3. 叉乘（矢量积）－行列式展开

4、矢量代数公式

三、常用坐标系
1、直角坐标系：
方向单位矢量
：

位置矢量
矢量表示：
2、圆柱坐标系 ( )
方向单位矢量：

位置矢量
矢量表示：

3、球面坐标系 ( )
方向单位矢量：
位置矢量：
矢量表示：
4、坐标变换
圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系

球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系

四、场论——梯度、散度和旋度
1、标量场的梯度
（1、）等值面（线）
由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为 ，则等值面方程为：
（2）、梯度的定义

（3）、梯度的物理意义
1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；
2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。
（4）、直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达
1）在直角坐标系中

2）在柱面坐标系中：

3）在球面坐标系中：

2、矢量场的通量 散度
（1）、矢量线（力线）
矢量线的疏密表征矢量场的大小；
矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；
（2）、矢量场的通量
若矢量场分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：
矢量场的通量
为矢量 沿有向曲面S 的通量。
若S为闭合曲面

物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
讨论： 1）面元 定义；
2）
3) 通过闭合面S的通量的物理意义：
a) 若0闭合面内有产生矢量线的正源；
b) 若，闭合面内有吸收矢量线的负源
c) 若，闭合面无源。
(3)、矢量场的散度的定义
在场 空间中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M点处的散度为：

(4)、散度的物理意义
1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数
（无源）
负源源)
（正源)
4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。

讨论：在矢量场中，
1）若 ，则该矢量场称为有源场，r为源密度
2）若 处处成立，则该矢量场称为无源场。
( 5)、散度的计算
在直角坐标系下

3、 矢量场的环流 旋度
(1)、矢量的环流的定义：

在场矢量 空间中，取一有向闭合 环流的计算
路径l，则称 沿l积分的结果
称为矢量 沿l的环流。即：
讨论 1）线元矢量 的定义；
2）
3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡漩运动---反映矢量场漩涡源分布情况。
在场矢量空间中，围绕空间某点M取
一面元rS，其边界曲线为C，面元法线方
向为，当面元面积无限缩小时，可定义、
在点处沿 方向的环量面密度

（2）、 环流面密度
M

表示矢量场 在点M处沿 方向的漩涡源密度；
（3）、 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用 表示，即：
式中： 表示矢量场旋度的方向；
（4）、 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；
2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；
（5）、 旋度的计算
1) 在直角坐标系下：

五、矢量微分算子
1、微分算子的定义
微分算子是一个“符号”矢量
（1）、直角坐标系
符算

梯度

散度

旋度

从以上的过程中可以清楚地看出，算子确实把对矢量函数的微分运算转变为矢量算子与矢量的代数运算。
注意：算子在上述的定义与规定下可以将它看成一矢量来按照矢量代数规则进行运算，但又不能完全将它与一普通矢量等同，因为它的分量是微分算符而不是真实矢量的分量。这样，两个普通矢量代数运算的某些性质对就不成立。
例如：普通矢量有 ，但是， 即算子进行运算时，除了上面的定义与规定外，还必须对包含有算子的算式做进一步的补充定义。

（2）、圆柱坐标系

（3）、在球坐标系

第一章 质点力学
将物体抽象为只有质量的几何点加以研究是天才的做法，质点模型是物理学中最简单的理想模型，但它很有效，用它可以将物体机械运动的最基本的特征清楚地加以表述，它还是研究质点组、刚体、流体等的基础。
质点力学先研究对运动加以描述的运动学，然后研究动力学规律，在处理动力学问题中，动量定理、动能定理以及与它们对应的守恒定律不但非常有用，而且其意义超出了力学范畴。有心力是非常基本的作用力，对它做专门研究很有必要。
§1.1 运动的描述方法
一、 参照系与坐标系
[物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。物体的位置只能相对地确定，为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为参考标准（参照物），这样的物体就叫做参照系或参考系。 ]
1、参照系: 为确定物体在空间的位置而选定的作为参照标准的某物体上固连的框架。
（依据 准则，确定参考系后，讨论物体运动才有意义；参考系不同，运动规律则不同。）
2、 坐标系: 为了描述物体在空间的相对位置而在参照系上建立的数学体系。
z
0
x
j
^
k
y
z( t )
y( t )
x( t )
r( t )
P( t )
（数学工具，用于定量讨论物体的运动，它与参考系相固连，是参考系的数学抽象（代表与参考系相固连的整个空间），同一参考系可建立不同的坐标系，对同一参考系不管选用什么坐标系，运动规律都相同）
注意
（1） 参照物大小是有限的，参照系可理解为全空间的；
（2） 参照系是物理的，坐标系是数学的。
^
i
（3）观察者是站在参照系的观察点上
不特别说明都以地球为参照系。
3、质点位置的描述
（质点（particle）（理想化的抽象模型）抽掉物体的
形状和大小，只保留质量的几何点。）
位置矢量：自参考点（原点0）引向质点P所在位置的矢量。
质点位矢在直角坐标系中的表示

其大小：
方向余弦：， ，
常用的还有 极坐标系，柱坐标系，球坐标系，自然坐标系
二、运动学方程及轨道
1、运动方程
描述物体在参考空间中任一瞬时位置的数学表达式称为运动学方程。
质点的运动学方程确定了点在参考空间中任一瞬时的位置，并由此可进一步揭示质点运动的几何性质：轨迹、速度和加速度。写出质点的运动学方程是研究质点的运动学的首要任务。一般常用的方程有
（1）矢量形式的运动学方程
当质点运动时r 是时间t的单值连续函数。此方程常用来进行理论推导的。特点是概念清晰，是矢量法分析质点运动的基础。
（2）直角坐标形式的运动学方程

（3）自然坐标形式的运动学方程
对运动轨迹已知的质点，常用此方程。用自然法研究运动， 运算比较简便，各运动参数的物理意义明确。
（4）极坐标下的运动学方程
当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位置也可用极坐标确定。
质点在参考空间中的位置还可用其它的方法确定，例如柱坐标法或球坐标法。通过坐标形式的方程表示质点的运动方程，并由此继续描述质点的其它运动量的方法称为分析方法。
r(t+Δt )
r(t)
P2
ΔS
·
x
y
z

P1
0
·
2、轨道：质点运动过程中空间描述出的连续曲线, 运动学方程中消去t 得轨道方程。(直线运动、曲线运动)
三、位移、速度与加速度
1、位移：位置矢量的增量
在直角坐标系中
注意：
（1）质点的位移是矢量，其大小

（2）质点的位移与坐标系的选择 无关
（3）路程：在一段时间内质点在其轨迹上经过的路经的总长度。
(4)位移与路径不同，当 时
P2
P1
·
x
r(t+Δt )
r(t)
y
z
0
v (t )
v (t+Δt )
·
有限位移
无限小位移
2、瞬时速度
定义：
Δv

v (t )
v(t+Δt)
速度的大小——速率

速度的方向：1切向并指向质点前进方向。
3、瞬时加速度

§1.2 速度、加速度的分量表示式
1、直角坐标系：
速度：
分量式：， ，
大小：
的方向余弦 可见完全确定了（大小，方向）
或：

加速度：＝＋＋＝
加速度大小

加速度方向也同样可以用方向余弦表示

2、 极坐标：
质点运动方程：
速度：
（大小变化引起的）径向速度
（方向变化引起的）横向速度
先求 ，

，
沿的正方向
同理 沿的负方向
，，
速度
加速度
第一项
第二项
于是：
径向加速度：
横向加速度：
3、自然坐标系(内禀坐标系)
质点沿已知平面轨道曲线运动,速度沿轨道切线方向,则 将加速度分解为切向分量和法向分量,,其中分别为切线方向和法线方向的单位矢,与X轴夹角为，在轨道曲线上选一定点作为弧坐标的原点，则，规定的正方向指向增加方向。
由 ，
可得：，
速度：
速加度：
其中：，，。
自然坐标系中的速度、加速度投影分别为

那么，该质点速度 其大小，
方向与该质点所在轨迹的切向相平行，当
的方向为 的方向
的负方向为 的方向。
加速度为
大小为（也称全

方向 其中 是加速度（也称全加速度，位于密切面内）与主法向夹角。
切向加速度 改变质点的速度大小；
法向加速度 改变质点的速度方向。
注：（1）（完全取决于轨道本身的形状，与坐标系的选取无关内禀方程，若视轨道切线和法线（正交）为坐标系自然坐标系
（2），由速度量值变化引起，不变时，匀速率曲线运动；
一般不为零，是由速度方向改变引起的。
例题[1]、 求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度和加速度
解：1）、选择参照系，坐标系，
2）、写出M点的坐标

消去参数得轨道方程：
速度分量：，

对B点：，，

于是：，，

点的加速度：

例[2] 已知一质点的运动方程
，，求，
解：，

例[3]已知质点沿螺旋线运动
，，，求：，，
解：，，

，。
， ，
§1.3平动参照
（1）绝对速度、相对速度与牵连速度
参考系不同,对同一物体其运动规律不同,有何联系?
令是静止参考系,运动参考系,两观测者分别处于,中,二者对时间和长度进行测量,结果有无差异?
宏观物体 低速 测量结果相同 伽利略Galilean变换 经典力学Newton
宏观物体 高速 测量结果不同 洛伦兹lorentz变换 相对论力学Einstein
，，
故 ，，
此称绝对速度
即 （1.3.1）

此称牵连速度

此称相对速度

（2）绝对加速度、相对加速度与牵连加速度
在经典假设下，v<<c，

其中绝对速度 相对速度 牵连速度
分量式
（1）若（恒矢量），即相对于作匀速直线运动，则
绝对加速度等于相对加速度
Galilean相对性（力学）原理
（2）若，假定相对于作匀加速直线运动，则
绝对加速度等于牵连加速度加相对加速度
绝对加速度：为P对静系S的加速度，称为P点的绝对加速度。
牵连加速度：为动系对静系S的加速度, 称为牵连加速度。
相对加速度：为P对动系的加速度，称为P点的相对加速度。
例 [4]: 某人以向东前进，感觉风从正北吹来，以向东前进，感觉风从东北吹来，求风速和风向。
解：1）、先确定是相对运动问题，一个被考察的质点和两个坐标相对运动的参考系。
2）、确定动系和静系
静系： 地，动系：人
相对速度， 绝对速度
解法一：
分量形式： （1）
(2)
分量形式： (3)
由（1）及（3）两式，得：
（4） （5）
解上面两方程组，得：
解法二、，
， ，
，
由：，得：

[例5] 小船被河水冲走，用绳拉回，设流速与绳速为常数，求小船的轨迹。
解：牵连速度：
相对速度： （未知）
人拉绳的径向绝对速度：
由：
选取极坐标得：
，
，（）

§1.4 质点运动定律
[前面我们从几何的观点来研究质点空间位置的变化，而没有考虑引起这种变化的物理原因，这一节，我们来研究物体（质点）运动和物体之间相互作用的联系，阐明物体运动状态发生的物理原因。]
一、牛顿运动定律 （动力学基础）
1、 牛顿第一定律表述见教材P24
[(1)这定理是人们经验的概括，即对客观物体运动遵循的规律的抽象概括，不能简单地按字面意义用实验加以证明。因为完全不受其他物体作用的孤立物体实际上不存在。（2）它的正确性主要是由她推断出的结论和实验结果符合一致而得到证明，我们可以观察待合力为零时的情况。]
（1）、惯性：物体具有保持静止状态或匀速直线运动状态，这种性质叫惯性（保持速度大小和方向不变。）
（2）、惯性参照系；
[前面我们已经说了运动只能相对于一定的参考系才能确定，同一物体相对不同的参照系，显示不同的运动，那么牛顿第一定律中的静止或匀速直线运动是相对什么的参照系而言呢？]
牛顿定律成立的参照系称为惯性系。（用于确定参照系或要决定于一个参照系是否是惯性系，只能依靠观察和实验）
（3）、力的定性描述；
[物体间的相互作用称为力，力是改变物体运动状态的原因，而不是维持物体运动速度的原因，没用力物体仍然可以运动。] 第一定律可看着对力作了一个定性的定义。
二、牛顿第二定律表述见教材P25
数学式 ， 选择适当单位
1、 （地球对物体的引力），实际上
两边是同一个力，因此相等：
大小
[把坐标原点选取在地球球心，并把球心与物体连线称为X轴，方向指向物体G为引力常数，地球半径，为地球质量，对任何物体在该点都一样。]
选择适当单位和G可使,则 G=6.67210-11米3/秒2千克。
2、在经典力学中惯性质量具有加速度的特性（确定性和可加性）
在 C时不变
惯性质量：，

因此在经典力学中又把它用来作测度质量。
3、力的定量描述：
因为加速度是矢量，所以力也应该是一个有方向量，并且它的方向与加速度一致，并且符合加法法则—平行四边形法则，力是矢量。
4、质量（惯性质量；引力质量；测度质量）；
：是物体惯性质量的量度，它确定物体对它的运动状态变化的抵抗力。
：是物体产生引力作用和感受引力作用能力的量度。
测度质量：是物体含物质的多少，的量度（宏观）如：密度，热量
5、惯性质量、引力质量、测度质量的不同点
（1）：是物体性质之一（惯性）的量度，它与物体运动状态有关随而改变。
（2）：反映物体另一性质，任意两物体相互吸引的量度。
（3）：是物体含物质的多少，即物体含分子、原子、中子多少，是一种宏观值（它不能用于微观粒子）。
三、牛顿第三定律表述见教材P25
数学式
几个值得注意的问题：
（1）作用力与反作用力是作用在两个不同的物体上，不是作用于同一物体上，因而作用力与反作用力不能相互抵消。
（2）作用力与反作用力永远同时存在，同时消失。
（3）在惯性系中，物体的加速度只能由它所受到的力产生，和它作用于别的物体无关。
（4）作用力与反作用力永远相等。
（5）当A、B两物体相互作用时，如果称A施于B的力为作用力，则相应的反作用力一定是B施于A的力。
明确：
1、第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因为第一定律为整个力学体系选定了一类特殊的参考系——惯性参考系。
2、第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比，近年来的实验结果已经证实相差不到10-12。爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论的基本公设。
3、一般工程问题地球可以看作惯性参考系；如果物体运动的尺度很大问题的精确度要求很高,应当考虑地球自转的影响,可取地心为惯性参考系；在分析行星的运动时,地心本身作公转，必须取日心参考系。太阳本身在银河系的加速度大约是3×10-8厘米/秒2，一般来说可以不用考虑了，可以认为足够精确的了。
四、伽利略相对性原理：（经典力学的相对性原理）
在运动学中，参考系可以任意选取，在动力学中则不然！
1、惯性系与非惯性系
惯性参照系：即牛顿定律成立的参照系。否则称非惯性参照系
可近似视地球为惯性系
2、伽利略变换式
定性说明：匀速直线运动船中力学现象（力学规律）与在地面上相同
定量讨论：系：将时钟分别放于0，1，2，…且对准
系：将时钟放于，…v<<c
当系的钟经1时对准（同时），经过2、3时与系
时钟同步，即 且 牛顿时空观
令时，原点重合，则 伽利略变换式
3、相对性原理
恒定
伽利略变换下加速度为不变量，v<<c时，与无关，
若 力学规律相同
不能借助任何力学实验判断参考系是静止的或匀速直线运动
力学相对性原理（伽利略相对性原理）
结论（1）相对惯性系作匀速直线运动的参考系是惯性系；
（2）v<<c时，牛顿第二定律是伽利略变换下的不变式（力学相对性原理是以伽利略变换为基础的）；
（3）判断一个参考系是否是惯性系的准则为在该参考系中牛顿第二定律是否成立；
（4）伽利略相对性原理Einstein相对性原理
§1.5 质点运动微分方程
质点动力学内容 或二者兼而有之
一、微分方程建立
1、自由质点运动微分方程
自由质点 不受任何约束 三个自由度 三个独立变量 由 得

是二阶微分方程组，给出所有可能的运动，经两次积分，存在六个积分常数，满足此式的解有若干个；任何质点的实际运动，在任意时刻都有确定的位置和速度，通过时的确定积分常数，定出唯一解（满足初始条件），给出特定条件下的运动规律。
直线运动
平面运动
2、非自由质点的约束运动：
（若质点被限制在某一曲线或曲面上运动，该曲线或曲面称为约束, 其方程为约束方程, 约束对质点的作用力为约束力(约束反力),约束力是待定的，取决于约束本身的性质，质点的运动状态及其质点受主动力的情况,只靠约束力不能引起质点的运动,故称约束力为被动力。
质点运动约束微分方程）
（1）约束 质点运动所受的限制 受约束质点为非自由质点
约束的数学表达式约束方程 ，如；质点受到约束后自由度减少一般一个约束减少一个自由度；约束的数学意义是几何曲线或曲面，物理意义为约束反作用力；约束约束反作用力 非自由质点自由质点
约束反作用力为未知量，不完全由约束而定，与质点所受的其它力和运动状态有关
例如 曲面约束 （约束方程）
两个自由度 四个方程
方法 去掉约束，代之以约束反作用力
A
B
n
b
τ
F
R
（2）内禀方程

线约束运动（通常用内禀方程）
1）光对滑曲线
， （1）
， （2）
， （3）
(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力,方便之处在于运动规律和约束力可分开求解.
2）非光滑约束：
， （1）
， （2）
， （3）

其中曲率半径可由约束方程求出： ，

3、 约束分析
二、 运动微分方程的解
理论力学的主要任务，就是根据具体问题进行具体分析，建立运动微分方程组，然后求解这些方程组．还要对所得的结果加以分析，阐明它们的物理含义．
理论力学中，常见变力，形式复杂；求解二阶微分方程组，则
（1）隔离物体，具体分析（受力，已知，未知）；
（2）选取坐标系，建立微分方程组（力学问题数学问题）；
（3）根据初始条件求解方程组；
（4）分析结果，阐明物理意义。
1）力仅是时间的函数，
力质点作一维运动，则
为时的速度（物理意义）
为时的初位置
I．自由电子在沿x轴的振荡电场中的运动 ——力只是时间的函数。
设电场为：
电子受的力为：
令时， 则
由 得

令时， 则

上式最后一项为与电场同步的振荡项，与初始条件无关。 电离层 自由电子
2）力仅为坐标的函数

又 再进行积分得
Example 三维谐振子
由（1）式 其中
因为 其中
其中为积分常数，
由初始条件确定，
3、力仅是速度的函数

或
历史上已解决的问题
Example 抛体在重力和阻力共同作用下作平面曲线运动，
由内禀方程的
轨道曲率半径， 时，；
但须大于零，
又
消去变数得
可见 假若已求出
则

可见 只要确定了便可求出运动规律，从而确定运动轨道，
消去 一般较难！！
对于低速运动 这是改为直角坐标系更为方便！

令 时， 则
再积分得
令时， 则

消去得轨道方程

讨论
1）、阻力很小或距离很短，有：　　1 　将第二项展开
[ ]
开始时接近抛物线，当：， 轨道变成竖直直线。
2）、速度增大，线性关系不在成立。
解题步骤：
1、理解题意；2、作草图；3、选坐标系，定质点的坐标；4、表出力和加速度；
5、写出运动微分方程； 6、解方程； 7、讨论。
例：质点沿自滑至处，求及其约束反力。
解：画草图，受力分析，， 。
（1）
(2)

(1)式为：，即：
积分：， （）
。由，
在顶点处：，

§1.6 非惯性系动力学（一）
1、 在加速平动参照系中的运动

系是惯性系
系不是惯性系 。牛顿定律在非惯性系不成立
将 视为一种惯性力 则：

即在非惯性系上加上惯性力,牛顿第二定律形式上成立。
注意：1、惯性力并非物体之间的相互作用力,没有施力者, 是由于参照系本身的加速运动引起的；
2、体现非惯性系；
3、无反作用力，大小为：，方向与相反。
[例]：火车在水平轨道上以匀加速向前行驶，在车中用悬线挂着意小球，悬线与竖直线成角而静止（图1.6.1），求。
解法(1)
对固着在地面上的惯性坐标系：
，
解得：
解法：（2）
对固着在火车上的坐标系：
，
解得： 结果一样。
§1.7功和能
一、功和功率
功的定义：功：力乘以力作用的质点方向上所产生的位移。（举例说明）
1. 质点在恒力作用下沿直线运动
其中， 是力的作用点之位移
2、质点受变力沿曲线运动:
,
功是标量，其数值与坐标选取无关，选直角坐标系较方便，在直角坐标系下：

3、若质点受到几个力 作用，合力

即：合力之功等于分力功之代数和。
4、功率：描述做功快慢的量：
二、能
物体具有做功的本领，称它具有一定的能量。
力学中——机械能. 当能量发生变化时，总有一定数量的功表现出来——功是能量变化的度量。
（注意：1、能量是状态量，功是过程量，当能量发生变化时，总有一定的功表现出来，所以说功是能量变化的量度。2、能量是最基本的物理量之一，在理论力学中只研究机械能，它包括动能和势能。）。
1、对能的理解:哲学上：能量是物质运动的度量，运动是永恒的。
2、能量是推动一切过程的本因——可用能。我国能源及其利用现状.
三、保守力、非保守力与耗散力
1、 力场: 显含不显含，（保守力场）；
显含显含， 不稳定力场；
一般,
若质点在某空间区域任意位置上，受到确定的力F (r)，力是位置的单值有界可微函数，则该区域称为力场，F为场力。
如：万有引力场、静电场,若含有时间称为非稳定场。
2、保守力场: 积分一般与路径有关若力场是稳定的，当质点运动时，场力做功单值地有始末位置确定（与轨道形状无关）——该力场为保守力场。质点受到的场力为保守力。否则场力做功与路径有关，这种力为非保守力，力场为非保守力场。
如：摩擦力——与路径有关——耗散能量——耗散力。
保守力： 力所作的功与中间路径无关；
非保守力：力所作的功与中间路径有关；
耗散力：作功与路径有关，但总是做负功而消耗能量。
四、 保守力的充要条件 · 势能
1、保守力 力所作的功与中间路径无关
由矢量分析可知，这时存在单值、有限、可微函数满足 （保守力定义之一）

又 为一恰当微分，即全微分，这时
积分（场力的功）与实际路径无关 （保守力定义之二）
这时闭合路径积分等于零 （保守力定义之三）
※假若场力的功与中间路径无关，或沿任何闭合路径运动一周时，场力做的功为零，则该场力即为保守力。
2、 力是保守力的充要条件是：
证：
必要性 若要
这要求： ， ，
或：， ，
也即：
充分性，若 则由Stokes定理（斯托克斯）
即积分与路径无关。
（由场论知 为任意的
无旋力场 这时为保守力，必然存在势能函数

保守力判据 ）
若 非保守力（涡旋力） 作功与路径有关 如耗散力（摩擦力）
3、势能
，
势能的物理意义：保守力作的功等于势能的减少。
注意：（1）、势能函数上加上任意常数不影响是能差，该常数由该点的位置选取而定。
（2）、仅当保守场有时才可以引入势能。
（3）、与的关系，
例：，，
沿，求自力对质点作的功
解：先验证是否保守力
， ，

=
=
=
=98

§1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒定律
一、动量定理与动量守恒定律
1.动量：定义：
动量是机械运动强弱的度量，是以机械运动度量机械运动，是以机械运动转化为其它形式的运动的能力来度量机械运动。
2、动量定理: 为动量定理的微分形式。
（注:牛顿本人就是用该形式表述第二定律,在高速情况下失效，但以上形式仍然成立。）
积分之； ， 或；
，称为力的冲量，上式为动量定理的积分形式。
3、 动量守恒
（1）、若 则 （常矢量）
即质点受和外力为0时，其动量守恒:（，，）
（2）、若 但 ， ，
即:若在某一方向上质点受力为零,则在该方向上动量守恒。
二、力矩与动量矩（角动量）
1、 力矩
（1）、定义力对空间点0的力矩