专题四创新题中的折叠剪切问题.doc

专题四：创新题中的折叠剪切问题 邹城八中 付洪金
一．折叠后求度数
1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）
A．600 B．750 C．900 D．950
第3题图
图(1)（1）
C
D
E
B
A
图 （2）

2．如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ 　）
A．50° B．55°　　　C．60° D．65°
3． 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝　　度.

4．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图将矩形纸片ABCD（图1）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图2）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为：（ ）
A．60° B．67.5° C．72° D．75°

5.如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于，若，则在不添加任何辅助线的情况下，图中的角（虚线也视为角的边）有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
二．折叠后求面积
6．如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10

7．如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm。操作： （1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c.则△GFC的面积是（ ）
A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2
E
A
A
A
B
B
B
C
C
C
G
D
D
D
F
F
F
图a
图b
图c

8．如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是( )
A．2 B．4 C．8 D．10

9.如图1-1所示，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，
折成图1-2所示的图形并
在其一面着色，则着色部
分的面积为（ ）
A． B． C． D．

三．折叠后求长度
10．如图，把矩形纸条沿同时折叠，两点恰好落在边的 点处，若，，，则矩形的边长为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
A
E
P
D
G
H
F
B
A
C
D
A
B
C
D
F
E
O
A
B
C
D

11．将矩形纸片ABCD按如图的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为 ( )
A．1　　　 B．2 C． D．
12．如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是（ ）
A． B． C． D．
13.如图，矩形纸片中，，把矩形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
F
D

A
B
C
D
E
F
（3）
A
B
C
D
E
F
G
H
（4）

14.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD中位线FG上，且AB=，则AE的长为 ( )
A．2 B．3 C．2 D．
15.有一边长为2的正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折，设折痕为EF（如图(3)）；再沿过点D的折痕将角A反折，使得点A落在EF的H上（如图(4)），折痕交AE于点G，则EG的长度为（ ）
A. B. C. D.
四．折叠后得图形
16．将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）
A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形
第16题图

`

17．在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）
A. B. C. D.

18．小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )
第16题图

19.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN（图甲），再把B点叠在折痕MN上的处。得到（图乙），再延长交AD于F，所得到的是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形

20.将一圆形纸片对折后再对折，得到图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ）
18图

21.如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）
第22题图

22. 如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第21题图
五．折叠后得结论
23.亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.”
24.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则与 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A. B. C. D.
（1）
第23题图
（2）

25.从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是（ ）
A.a2 – b2 =(a +b)(a -b) Ｂ.(a – b)2 = a2 –2ab+ b2
Ｃ.(a + b)2 = a2 +2ab+ b2 Ｄ.a2 + ab = a (a +b)
26.如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于（ 　）．
　　A． B． C． D．
六．折叠和剪切的应用
A
D
E
H
F
B
C
G
（方案一）
A
D
E
F
B
C
（方案二）
第25题图
27．在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？

28.用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.
E
B
A
C
B
A
M
C
D
M
图3
图4
图1
图2
第26题图

(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.
(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.

A
B
C
D
E
F
A′
B′
29.如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.

30.如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上，点在轴上，将边折叠，使点落在边的点处．已知折叠，且．
（1）判断与是否相似？请说明理由；
（2）求直线与轴交点的坐标；
（3）是否存在过点的直线，使直线、直线与轴所围成的三角形和直线、直线 与轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．
O
x
y
C
B
E
D

31.如图，四边形为一梯形纸片，，．翻折纸片，使点与点重合，折痕为．已知．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．

创新题中的折叠剪切问题的答案
1.C 2.A 3.36度 4.B 5.B 6. C 7.B 8.B 9.B 10.24 11.D 12.D 13.C 14.D 15. B 16.D 17.D 18.D
19.B 20.C 21.C 22. D 23.180 24.B 25. A 26.A
27.

28.解：（1）如图：

（2）由题可知AB=CD=AE，又BC=BE=AB+AE。∴BC=2AB，即
由题意知  是方程的两根
∴消去a，得  解得或
经检验：由于当，，知不符合题意，舍去。符合题意
∴
答：原矩形纸片的面积为8cm2。
29. 证明：(1)由折叠可得．
　　　 ∵AD∥BC，　 ∴，
　　　 ∴，
　　　 ∴．
(2)猜想．理由：
　　　 由题意，得，．
　　　 由(1)知．
　　　 在中，∵　 ，，，，
　　　 ∴．
30. 解：（1）△OCD与△ADE相似；

理由如下：
由折叠知，∠CDE=∠B=90°，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴设AE=3t，
则AD=4t，
由勾股定理得DE=5t，
∴，
由（1），得，
∴，
∴CD=10t，
在△DCE中，∵，
∴，
解得t=1，
∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），
点E的坐标为（10，3），
设直线CE的解析式为y=kx+b，
∴，解得
∴，则点P的坐标为（16，0）；
（3）满足条件的直线l有2条：y=2x+12，y=2x-12，
如图2：准确画出两条线。

31. （1）证明：过C点作CH∥BD，交AB的延长线于点H；
连接AC，交EF于点K，则AK=CK．
∵AB∥CD，∴BH=CD，BD=CH．
∵AD=BC，∴AC=BD=CH．
∵CE⊥AB，
∴AE=EH．
∴EK是△AHC的中位线．
∴EK∥CH．
∴EF∥BD．

（2）解：由（1）得BH=CD，EF∥BD．
∴∠AEF=∠ABD．
∵AB=7，CD=3，
∴AH=10．
∵AE=CE，AE=EH，
∴AE=CE=EH=5．
∵CE⊥AB，∴CH=5=BD．
∵∠EAF=∠BAD，∠AEF=∠ABD，
∴△AFE∽△ADB．
∴．
∴EF＝．

邹城八中 付洪金