归纳—猜想—论证(高三复习课)上海南汇中学-李志.doc

归纳—猜想—论证（高三复习课）
时间：2011年11月11日
地点：上海南汇中学
班级：高三（2）班
执教：李志
【教学目标】
1.经历“归纳—猜想—论证”的思维过程，领会“归纳—猜想—论证”的思想方法。
2.发展学生的归纳猜想能力，提高演绎论证能力，体会归纳与演绎的辩证与统一。
3.通过实验、观察、尝试，培养学生的科学探究能力。
【教学重点】
“归纳—猜想—论证”的思维方法。
【教学难点】
“归纳—猜想”能力的培养。
【教学过程】
一、 提出问题
观察下列等式，你可以归纳出一个更一般的结论吗？

二、引导探究

如果直接给你这样一个问题 .若不能直接完成，你又该怎么做？
为了探求一般规律，先考察一些简单的特例，进行归纳，形成猜想，然后设法证明猜想的正确性，这样解决问题的想法就是“归纳—猜想—论证”的思想方法。
三、开展讨论
【例1】设定义在上的函数，如果
，那么
.

四、形成新知
【例2】在空间直角坐标系中，满足条件的点构成的空间区域的体积为，（分别表示不大于的最大整数），则 .
（1）高斯和高斯函数简介：见课件。
（2）分析：空间问题有时比较复杂、比较抽象，如何解决呢？能不能把复杂的问题简单化，把抽象问题的具体化呢？可以先考虑（直线上的情况）,再考察（平面上的情况）。讨论清楚直线和平面的情况，画出图形，再归纳猜测空间情形，最后再证明自己的猜想。
点评：空间问题有时比较复杂、比较抽象，这时我们可以简化问题，先研究直线、平面上的情况，再归纳猜想空间的情形，这就是“归纳—猜想—论证”的思想方法的应用。
五、应用反思
设是空间中给定的个不同的点，则使
成立的点的个数为 （ ）.
A．0 B．1 C． D．

六、引导探究（二）
在行列矩阵中，记位于第行第列的数为. 若为正奇数，则 .

若用数学归纳法证明上面的猜想，在第二步，假设（，是正奇数）时，猜想成立，则当 .时，要证明的等式是 .
【反思小结】
1. “归纳—猜想—论证” 是把解答问题转化为证明问题的方法，核心是把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，蕴涵着简化问题的思想。
2. 需要注意的问题是：归纳猜想后，只有证明了我们才可以肯定猜想的正确性。
3. “归纳—猜想—论证”，是人们探究（数学）问题最基本的方法，所以可以用它来解决各类问题（如这节课解决的几何、向量、矩阵等问题），它完美地把归纳猜想和演绎论证统一了起来。

【家庭作业】
【1】数学上有一个著名的猜想：哥德巴赫猜想，大家可以上网找找，看看我国的数学家做了哪些贡献？
【2】 在数列中，. 若，则数列的通项公式是 .
【3】函数．项数为27的等差数列满足，且公差≠0．若，则当 时，．
【4】 画高斯函数的图像。

【5】设n阶方阵，
任取中的一个元素，记为；划去所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成阶方阵，任取中的一个元素，记为；划去所在的行和列，……；将最后剩下的一个元素记为，记，则，则=______________.
【6】 在三角形ABC内有任意三点不共线的2008个点，加上A、B、C三个顶点，共有2011个点，把这2011个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成的小三角形的个数为______________.
【7】在空间直角坐标系中，满足条件的点构成的空间区域的体积为，（分别表示不大于的最大整数），则 .
【思考】我们知道的重心把三角形的中线分成两个部分。在三棱锥中也有类似的重心的点，此点我们叫三棱锥的重心。三棱锥的重心把三棱锥的中线（顶点与对面重心的连线）分成的比例为 . 若，则三棱锥的重心的坐标是 .

【板书设计】
课题
问题

例1
例2

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