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论文题目 《正交变换的分类》

N维欧氏空间上正交变换的分类
摘要：本文通过对正交变换的概念以及正交变换的一些定理进行定
义，再逐步了解n维欧氏空间上的正交变换。最后讨论普通几何空
间中正交变换的类型。 最终掌握欧氏空间、性质、判别及其初步分
类．
关键字：欧氏空间 正交变换 分类
1.1 正交变换的概念
定义1 设V是一个欧氏空间，σ是V的一个变换．若σ保持向量的内积不变，即"α，β∈V，都有
〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉 (1)
则称σ是V上的一个正交变换．
从定义1容易看出，V的正交变换保持向量的长度不变，保持两个非零向量的夹角不变，保持正交性不变．
命题1.1 欧氏空间V上的正交变换σ一定是线性变换．
证 先证"α，β∈V, 有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)．事实上，
áσ(α+β)－(σ(α)+σ(β)),σ(α+β)－(σ(α)+σ(β))ñ
=|σ(α+β)|2－2áσ(α+β),σ(α)+σ(β)ñ+|σ(α)+σ(β)|2
=|α+β|2－2áσ(α+β),σ(α)ñ－2áσ(α+β),σ(β)ñ+|σ(α)|2
+|σ(β)|2+2áσ(α)，σ(β)ñ=|α+β|2－2áα+β, αñ－2áα+β, βñ
+|α|2+|β|2+2áα，βñ=|α+β|2－2áα+β，α+βñ+|α+β|2=0，
所以σ保持加法运算．同理可证σ(kα)=kσ(α)，"α∈V，k∈R．故σ是V的一个线性变换． 
从命题1.1和定义1容易得出，正交变换保持两个向量之间的距离不变．
命题1.2 欧氏空间V上的正交变换σ一定是单射．因此，有限维欧氏空间的正交变换是可逆变换．
证 因为áσ(α),σ(α)ñ=áα,αñ，所以
"α∈KerσÛσ(α)=q Ûáσ(α),σ(α) ñ=0Ûáα,αñ=0Ûα=q．
从而Kerσ=0．因此σ是单射．此时，当dimV=n，则σ是满射，所以σ是双射，故σ可逆． 
注意到欧氏空间V的任一自同构σ均保持内积不变，因此由命题1.2立得
推论1.1 有限维欧氏空间V的变换σ是正变变换的充分且必要条件为σ是欧氏空间V的自同构． 
我们可从另外一个角度来刻画正交变换，即
定理1.1 欧氏空间V到自身上的变换σ是正交变换的充分且必要条件为σ是保持向量的长度不变的线性变换．
证 必要性从定义1和命题1.1立即得到．
充分性 设σ∈EndV，且保持向量的长度不变，则"α,β∈V，有
〈σ(α+β),σ(α+β)〉=〈α+β,α+β〉． (2)
(2)式的左边、右边分别为

|α|2+2áα,βñ+|β|2．
所以，〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉．故σ是正交变换． 
显然，欧氏空间V的任两正交变换σ，τ的乘积仍然是正交变换．
1.2 n维欧氏空间的正交变换
定理1.2 设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，则下列陈述彼此等价：
1)σ是正交变换；
2)若α1,…,αn是V的一个标准正交基，则σ(α1),…,σ(αn)也是V的标准正交基；
3)σ在V的任意一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵．
证 1)Þ2) 因为〈σ(αi),σ(αj)〉=〈αi,αj〉=δij，i,j=1，2，…，n；且σ(αi)≠q，i=1，…，n．所以σ(α1)，…，σ(αn)是V的一个标准正交基．
2)Þ3) 任取V的一个标准正交基α1，…,αn．由假设知σ(α1)，…，σ(αn)也是V的标准正交基．从而由基α1，…，αn到基σ(α1),…,σ(αn)的过渡矩阵A是正交矩阵，即
σ(α1,…,αn)=( α1,…,αn)A． (3)
(3)式说明σ在基α1,…,αn下的矩阵是A，故3)成立．
3)Þ1) 取V的一个标准正交基α1，…，αn，设σ在这个基下的矩阵是正交矩阵A．"α=(α1,…,αn)X，β=(α1,…,αn)Y∈V，则
σ(α)=(α1,…,αn)(AX),σ(β)=( α1,…,αn)(AY)．
由于α1,…,αn是V的标准正交基，所以
〈σ(α),σ(β)〉=(AX)¢(AY)= X ¢ (A¢ A)Y= X ¢Y=〈α,β〉．
因此σ是正交变换． 
据上，在标准正交基下，n维欧氏空间V的正交变换与实n阶正交矩阵一一对应．因而可利用正交矩阵将正交变换分类．注意到正交矩阵的行列式等于1或－1．因此，行列式等于1的正交变换称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于－1的正交变换称为第二类的．
n维向量空间的任意一个n－1维子空间称为一个超平面．
例1 在欧氏空间V中取一个标准正交基α1,…,αn．定义V上的一个线性变换σ，使得
σ(α1)=－α1，σ(αi)= αi，i=2，…，n，
则σ在基α1,…,αn下的矩阵为A=diag(－1，In－1)．显然A是正交矩阵，因此σ是正交变换．由于|A| = －1，因此σ是第二类的．这个正交变换是关于超平面W=L(α2，…，αn)的一个镜面反射(参见本节习题第2题)．
1.3 普通几何空间中正交变换的类型
下面讨论几何空间V2和V3的正交变换有哪些类型？
设σ是V2的一个正交变换，σ在V2的一个标准正交基{γ1，γ2}下的矩阵是
U=，
则U是一个正交矩阵．因此
a2+c2=1，b2+d2=1，ab+cd=0． (4)
由第一个等式，存在一个角ω使
a=cosω，c=±sinω．
由于cosω=cos(±ω)，±sinω=sin (±ω)，因此可设
a=cosj，c=sinj．
这里j=ω或－ω．同理，由(4)的第二个等式，存在一个角y，使
b=cosy，d=siny．
将a,b,c,d代入(4)的第三个等式得
cosjcosy+sinjsiny=0，或cos(j－y)=0．
最后等式表明，j－y是的一个奇数倍．于是
cos=sinj，siny =cosj．
所以
，或．
对前一情形，σ是将V2的每一向量旋转角j的旋转；对后一情形，σ将V2中以(x，y)为坐标的向量变成以(xcosj+ysinj，xsinj－ycosj)为坐标的向量．这时σ是关于直线y=x的反射．
这样，V2的正交变换或者是一个旋转，或者是关于一条过原点的直线的反射．
若是后一情形，可以取V2的一个标准正交基{b2，b3}，使σ在基{b1，b2}下的矩阵为．
现在设σ是V3的一个正交变换，σ的特征多项式是一个实系数三次多项式，因而至少有一个实根r．令γ1是σ的属于特征值r的一个特征向量，并且取γ1是一个单位向量．再添加单位向量γ2，γ3使{γ1,γ2,γ3}是V3的一个标准正交基．则可设σ在这个基下的矩阵为
．
由于U是正交矩阵，则有r2=1，rs=rt=0，从而r=±1，s=t=0．于是
．
由U的正交性推出，矩阵

是一个二阶正交矩阵．由上面的讨论，存在一个角j使
．
在前一情形，
．
在后一情形，根据对V2的正交变换的讨论，我们可以取V3的一个标准正交基{γ1 ,b2 , b3 }使σ在这个基的矩阵是
T=．
若在T中左上角的元素是1，则重新排列基向量,σ在基{b3, b2 ,γ1}的矩阵是
．
若左上角的元素是－1，则σ在基{b2 , b3 ,}下的矩阵是
．
这样，V3的任意正交变换σ在某一标准正交基{α1，α2，α3}下的矩阵是下列三种类型之一：
,
或=．
在第一种情形，σ是绕通过α1的直线L(α1)的一个旋转；在第二种情形，σ是关于平面L(α2，α3)的反射；第三种情形，σ是前两种变换的合成．
参考文献
1. 张禾瑞.高等代数.第五版.高等教育出版社。
2. 丘维声.高等代数.第二版.高等教育出版社。