必修2 7章 机械能守恒定律及其应用.doc

必修二　第七章　机械能
第3讲　机械能守恒定律及其应用
基础知识梳理：
一、重力做功与重力势能
1.重力做功的特点
重力所做的功只跟初始位置和末位置的竖直高度有关，跟物体的运动______无关．
2．重力势能
(1)重力做功的特点
①重力做功与______无关，只与始末位置的____________有关．
②重力做功不引起物体____________的变化．
(2)重力势能
①概念：物体由于____________而具有的能．
②表达式：Ep＝____________.
③矢标性：重力势能是______，正负表示其______．
(3)重力做功与重力势能变化的关系
①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就____________；重力对物体做负功，重力势能就______．
②定量关系：重力对物体做的功______物体重力势能的减少量．即＝______.
3．弹性势能
(1)概念：物体由于发生____________而具有的能．
(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量______，劲度系数______，弹簧的弹性势能越大．
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝______.
二、机械能守恒定律及其应用
1.机械能
______和______统称为机械能，其中势能包括____________和____________．
2．机械能守恒定律
(1)内容：在只有____________做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能____________．
(2)表达式：

3．守恒条件
只有重力或弹簧的弹力做功．
考点例析：
考点一　机械能是否守恒的判断
从守恒的条件来理解对单个物体，看是否“只有重力做功”；对由多个物体(包括弹簧)组成的系统，看是否“没有摩擦和介质阻力”．
【例1】 如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中(　　)．
A．圆环机械能守恒
B．弹簧的弹性势能先增大后减小
C．弹簧的弹性势能变化了mgh
D．弹簧的弹性势能最大时圆环动能最大
【跟踪训练1】关于机械能是否守恒，下列说法正确的是(　　)．
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做圆周运动的物体机械能一定守恒
C．做变速运动的物体机械能可能守恒
D．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒
考点二　机械能守恒定律的应用
机械能守恒定律的三种j表达形式及用法
(1)或，表示系统末状态机械能的总和与初状态机械能的总和相等．运用这种形式的表达式时，应选好参考面．若初、末状态的高度已知，整个系统除地球外只有一个物体时，运用这种形式比较简单，即常说的“守恒观点”．
(2)或，表示系统减少(或增加)的动能等于系统增加(或减少)的势能．运用这种形式时，一般针对初、末状态的高度未知，但高度变化已知的情况．运用的关键在于弄清重力势能的增加(或减少)量，可不选取参考面而直接计算初、末状态的势能差，即常说的“转化观点”．
(3) 或，表示若系统由A、B两部分组成，则A物体机械能的增加(或减少)与B物体机械能的减少(或增加)相等．即常说的“转移观点”．
【例2】如图所示，是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施，轨道除CD部分粗糙外，其余均光滑．一挑战者质量为m，沿斜面轨道滑下，无能量损失地滑入第一个圆管形轨道．根据设计要求，在最低点与最高点各放一个压力传感器，测试挑战者对轨道的压力，并通过计算机显示出来．挑战者到达A处时刚好对管壁无压力，又经过水平轨道CD滑入第二个圆管形轨道．在最高点B处挑战者对管的内侧壁压力为0.5 mg，然后从平台上飞入水池内，水面离轨道的距离为h＝2.25 m．若第一个圆管轨道的半径为R，第二个圆管轨道的半径为r，g取10 m/s2，管的内径及人相对圆管轨道的半径可以忽略不计：则：
(1)挑战者若能完成上述过程，则他应从离水平轨道多高的地方开始下滑？
(2)挑战者从A到B的运动过程中克服轨道阻力所做的功？
(3)挑战者入水时的速度大小是多少？

【跟踪训练2】 如图所示，静止放在长直水平桌面上的纸带，其上有一小铁块，它与纸带右端的距离为0.5 m，铁块与纸带间、纸带与桌面间动摩擦因数均为μ＝0.1现用力F水平向左将纸带从铁块下抽出，当纸带全部抽出时铁块恰好到达桌面边缘，铁块抛出后落地点离抛出点的水平距离为x＝0.8 m．已知g＝10 m/s2，桌面高度为H＝0.8 m，不计铁块大小，铁块不滚动．求：
(1)铁块落地时的速度大小；
(2)纸带从铁块下抽出所用的时间及开始时铁块距左侧桌边的距离．

考点三　机械能守恒定律应用中的几种模型
1、轻连绳模型
此类问题要认清物体的运动过程，注意物体运动到最高点或最低点时速度相同这一隐含条件．
2、轻连杆模型
这类问题应注意在运动过程中各个物体之间的角速度、线速度的关系等．
3、轻弹簧模型
此类问题应注意物体与弹簧组成的系统机械能守恒，不同的过程中弹性势能的变化一般是相同的．
【例3】 质量分别为m和M(其中M＝2m)的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，在杆的中点O处有一个固定转轴，如图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置的过程中，下列有关能量的说法正确的是(　　)．
A.Q球的重力势能减少、动能增加，Q球和地球组成的系统机械能守恒
B.P球的重力势能增加、动能减小，P球和地球组成的系统机械能守恒
C.P球、Q球和地球组成的系统机械能守恒
D.P球、Q球和地球组成的系统机械能不守恒
【跟踪训练3】如图所示为某同学设计的节能运输系统．斜面轨道的倾角为37°，木箱与轨道之间的动摩擦因数μ＝0.25.设计要求：木箱在轨道顶端时，自动卸货装置将质量m＝2 kg的货物装入木箱，木箱载着货物沿轨道无初速滑下，当轻弹簧被
压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，接着再重复上述过程．若g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
(1) 离开弹簧后，木箱沿轨道上滑的过程中的加速度大小；
(2) 满足设计要求的木箱质量．

随堂训练：
1．一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法错误的是(　　)．
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
2．如图所示在光滑水平面上有一物体，它的左端接连着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是(　　)．
A．弹簧的弹性势能逐渐减少
B．物体的机械能不变
C．弹簧的弹性势能先增加后减少
D．弹簧的弹性势能先减少后增加
3．如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M>m，不计摩擦，系统由静止开始运动过程中(　　)．
A.M、m各自的机械能分别守恒
B.M减少的机械能等于m增加的机械能
C.M减少的重力势能等于m增加的重力势能
D.M和m组成的系统机械能守恒
4．(2011·北京卷，22)如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m的小球(小球的大小可以忽略)．
(1)在水平拉力F的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为α，小球保持静止．画出此时小球的受力图，并求力F的大小．
(2)由图示位置静止释放小球，求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力．不计空气阻力．

5．(2009·浙江)某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟．已知赛车质量m＝0.1 kg，通电后以额定功率P＝1.5 W工作，进入竖直圆轨道前受到的阻力恒为0.3 N，随后在运动中受到的阻力均可不计．图中L＝10.00 m，R＝0.32 m，h＝1.25 m，s＝1.50 m．问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？(取g＝10 m/s2)

课后巩固练习 (限时：45分钟)
一、选择题
1．汽车沿一段坡面向下行驶，通过刹车使速度逐渐减小，在刹车过程中 (　　)．
A．重力势能增加 B．动能增加
C．重力做负功 D．机械能不守恒
2．质量为m的小球，从离地面高h处以初速度v0竖直上抛，小球能上升到离抛出点的最大高度为H，若选取该最高点位置为零势能参考位置，不计阻力，则小球落回到抛出点时的机械能是(　　)．
A．0 　　　　B． C. 　D．
3．如图所示，运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程，将人和伞看成一个系统，在这两个过程中，下列说法正确的是(　　)．
A．阻力对系统始终做负功
B．系统受到的合外力始终向下
C．加速下降时，重力做功大于系统重力势能的减小量
D．任意相等的时间内重力做的功相等
4．如图所示，A、B两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于O点，B球用轻弹簧系于O′点，O与O′点在同一水平面上，分别将A、B球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时两球恰好仍处在同一水平面上，则(　　)．
A．两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等
B．两球到达各自悬点的正下方时，A球动能较大
C．两球到达各自悬点的正下方时，B球动能较大
D．两球到达各自悬点的正下方时，A球损失的重力势能较多
5．如图所示，将物体从一定高度水平抛出(不计空气阻力)，物体运动过程中离地面高度为h时，物体水平位移为s、物体的机械能为E、物体的动能为Ek、物体运动的速度大小为v.以水平地面为零势能面．下列图象中，能正确反映各物理量与h的关系的是 (　　)．

A．①② B．③④
C．②③ D．①④
6．内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定有质量m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙．现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点(如图所示)，由静止释放后(　　)．
A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D．杆从右向左滑回时，乙球不能回到凹槽的最低点
7．如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是(　　)．
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开槽的过程机械能守恒
8．如图所示，光滑的水平轨道AB与半径为R的光滑的半圆形轨道BCD相切于B点，其中圆轨道在竖直平面内，B点为最低点，D点为最高点，一小球以一定的初速度沿AB射入，恰能通过最高点，设小球在最高点D的重力势能为零，则关于小球在B点的机械能E与轨道对小球的支持力F的说法正确的是(　　)．
A．E与R成反比 　　　　 B．E与R无关
C．F与R成正比 　　　　 D．F与R无关
9．如图所示的小球以初速度为v0从光滑斜面底部向上滑，恰能到达最大高度为h的斜面顶部．A是内轨半径大于h的光滑轨道、B是内轨半径小于h的光滑轨道、C是内轨半径等于h的光滑轨道、D是长为h的轻棒，其下端固定一个可随棒绕O点向上转动的小球．小球在底端时的初速度都为v0，则小球在以上四种情况中能到达高度h的有 (　　)．

A．①② B．③④
C．①④ D．②③
10．如图所示，小球从一个固定的光滑斜槽轨道顶端无初速度开始下滑，用v、t和h分别表示小球沿轨道下滑的速度、时间和竖直高度．下面的v－t图象和v2－h图象中可能正确的是(　　)．

A．①② B．③④
C．①④ D．②③
二、非选择题
11．如图所示，物体A和B系在跨过定滑轮的细绳两端，物体A的质量mA＝1.5 kg，物体B的质量mB＝1 kg.开始时把A托起，使B刚好与地面接触，此时物体A离地高度为h＝1 m．放手让A从静止开始下落，g取10 m/s2，求：
(1)当A着地时，A的速度多大；
(2)物体A落地后，B还能上升多高．

12．如图所示在水平地面上固定一个半径为R的半圆形轨道，其中圆弧部分光滑，水平段长为L，一质量为m的小物块紧靠一根被压缩的弹簧固定在水平轨道的最右端，小物块与水平轨道间的动摩擦因数为μ，现突然释放小物块，小物块被弹出，恰好能够到达圆弧轨道的最高
点A，取g＝10 m/s2，且弹簧长度忽略不计，求：
(1)小物块的落点距O′的距离；
(2)小物块释放前弹簧具有的弹性势能．

必修二　第七章　机械能
第3讲　机械能守恒定律及其应用
基础知识梳理：
一、重力做功与重力势能
1. 路径
2．(1) ①路径，高度差 ②机械能 (2) ①被举高 ②mgh ③标量，大小 (3) ①减少，增大 ②等于，－ΔEp
3．(1) 弹性形变 (2) 越大 (3) －ΔEp
二、机械能守恒定律及其应用
1. 动能，势能，弹性势能，重力势能 2．(1) 重力或弹力，保持不变
考点例析：
【例1】解析　圆环受到重力、支持力和弹簧的弹力作用，支持力不做功，故环的机械能与弹簧的弹性势能总和保持不变，故全过程弹簧的弹性势能变化量等于环的机械能变化量，C正确，圆环的机械能不守恒，A错误．弹簧垂直杆时弹簧的压缩量最大，此时圆环有向下的速度，故此时弹性势能比末状态的弹性势能小，即：最终状态弹簧被拉长，且弹性势能达到最大，此时圆环的动能为零，所以弹性势能是先增加后减小最后又增大，B、D错误．答案　C
【跟踪训练1】解析　做匀速直线运动的物体与做圆周运动的物体，如果是在竖直平面内则机械能不守恒，A、B错误；合外力做功不为零，机械能可能守恒，D错误，C正确．答案　C
【例2】解析　(1)挑战者到达A处时刚好对管壁无压力，可得出mg＝m。
设挑战者从离水平轨道H高处的地方开始下滑正好运动到A点对管壁无压力，在此过程中机械能守恒，mgH＝mvA2＋mg×2R
解得H＝
(2)在B处挑战者对管的内侧壁压力为0.5mg，根据牛顿第二定律得：mg－FN＝，
挑战者在从A到B的运动过程中，利用动能定理得：
mg×2(R－r)－WF＝mvB2－mvA2
联立解得WF＝mgR－mgr
(3)设挑战者在第二个圆管轨道最低点D处的速度为v，则
－mg×2r＝mvB2－mv2解得v＝·
挑战者离开第二个圆管轨道后在平面上做匀速直线运动，然后做平抛运动落入水中，在此过程中机械能守恒，设挑战者入水时的速度大小为v′，则mgh＋mv2＝mv′2
解得：v′＝3.
答案　(1)R　(2)mgR－mgr　(3)3
【跟踪训练2】解析　(1)设铁块抛出时的初速度为v0，由平抛运动规律可得水平方向：x＝v0t
竖直方向：H＝gt2
解得：v0＝2 m/s
再由机械能守恒可得：mgH＋mv02＝mv2
得v＝2 m/s
(2)纸带从铁块下抽出所用的时间与铁块向左运动到桌边的时间相等．开始时铁块距左侧桌边的距离就等于铁块在桌面上向左运动的位移．
铁块向左加速运动过程中，a＝＝μg＝1 m/s2
铁块从静止开始向左运动的位移设为L.
由v02＝2aL　得：L＝2 m
由公式v0＝at　得：t＝2 s.
答案　(1)2 m/s　(2)2 s
【例3】解析　Q球从水平位置下摆到最低点的过程中，受重力和杆的作用力，杆的作用力是Q球运动的阻力(重力是动力)，对Q球做负功；P球是在杆的作用下上升的，杆的作用力是动力(重力是阻力)，对P球做正功．所以，由功能关系可以判断，在Q球下摆过程中，P球重力势能增加、动能增加、机械能增加，Q球重力势能减少、机械能减少；由于P球和Q球整体只有重力做功，所以系统机械能守恒．本题的正确答案是C. 答案　C
【跟踪训练3】解析　(1)设木箱质量为m′，
对木箱的上滑过程，由牛顿第二定律有：
m′gsin 37°＋μm′gcos 37°＝m′a
代入数据解得：a＝8 m/s2.
(2)设木箱沿轨道下滑的最大距离为L，弹簧被压缩至最短时的弹性势能为Ep，
根据能量守恒定律：
货物和木箱下滑过程中有：
(m′＋m)gLsin 37°＝μ(m′＋m)gLcos 37°＋Ep
木箱上滑过程中有
Ep＝m′gLsin 37°＋μm′gLcos 37°
联立代入数据解得：
m′＝m＝2 kg.
答案　(1)8 m/s2　(2)2 kg
随堂训练：
1解析　运动员到达最低点前，重力一直做正功，重力势能减小，选项A正确．从蹦极绳张紧到最低点弹力一直做负功，弹性势能增加，选项B正确．除重力、弹力之外无其他力做功，故系统机械能守恒，选项C正确．重力势能的改变与重力势能零点的选取无关，故选项D错误．答案　D
2解析　开始时弹簧处于压缩状态，撤去力F后，物体先向右加速运动后向右减速运动，所以物体的机械能先增大后减小，所以B错．弹簧先恢复原长后又逐渐伸长，所以弹簧的弹性势能先减少再增加，D正确．答案　D
3解析　M下落过程中，绳的拉力对M做负功，M的机械能减少；m上升过程，绳的拉力对m做正功，m的机械能增加，A错误；对M、m组成的系统，机械能守恒，易得B、D正确；M减少的重力势能并没有全部用于m重力势能的增加，还有一部分转变成M、m的动能，所以C错误．答案　BD
4解析　(1)受力图见图

根据平衡条件，应满足
Tcos α＝mg，Tsin α＝F.
联立解得拉力大小F＝mgtan α.
(2)运动中只有重力做功，系统机械能守恒，有mgl(1－cos α)＝mv2.
则通过最低点时，小球的速度大小v＝.
根据牛顿第二定律有T′－mg＝m.
解得轻绳对小球的拉力T′＝mg＋m＝mg(3－2cos α)，方向竖直向上．
答案　(1)受力图如解析图所示　mgtan α (2)　mg(3－2 cos α)，方向竖直向上.
5解析　设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，
由平抛运动的规律s＝v1t，h＝gt2，
解得v1＝s ＝3 m/s.
设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点的速度为v3，由牛顿运动定律及机械能守恒定律得：
mg＝m，mv32＝mv22＋mg(2R)，
解得v3＝4 m/s.
通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是vmin＝4 m/s.
设电动机工作时间至少为t，根据动能定理
Pt－fL＝mvmin2，由此可得t＝2.53 s.
答案　2.53 s
课后巩固练习：
1解析　汽车沿坡面向下运动，重力做正功，重力势能减小，故A、C错；由于速度逐渐减小，由Ek＝mv2知，动能减小，B错；由于动能、重力势能都减小，故机械能是减小的，D项正确．还可以根据除重力外，还有阻力做负功，可知机械能减小．答案　D
2答案　A
3解析　下降过程中，阻力始终与运动方向相反，做负功，A对；加速下降时合力向下，减速下降时合力向上，B错；下降时重力做功等于重力势能减少，C错；由于任意相等的时间内下落的位移不等，所以，任意相等时间内重力做的功不等，D错．答案　A
4解析　A球下摆过程中，因机械能守恒mgL＝mvA2①；B球下摆过程中，因机械能守恒mgL＝Ep弹＋mvB2②；由①②得mvA2＝Ep弹＋mvB2，可见mvA2>mvB2，B正确．答案　B
5解析　设抛出点距离地面的高度为H，由平抛运动规律s＝v0t，H－h＝gt2可知：s＝v0，图象为抛物线，故①项错；平抛运动物体机械能守恒，故②项正确；平抛物体的动能Ek＝mgH－mgh＋mv02，③项正确，④项错．答案　C
6解析　由甲、乙组成的系统机械能守恒得出．选项A正确．答案　A
7解析　小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽有向左运动的趋势，但是实际上没有动，整个系统只有重力做功，所以小球与槽组成的系统机械能守恒．而小球过了半圆形槽的最低点以后，半圆形槽向右运动，由于系统没有其他形式的能量产生，满足机械能守恒的条件，所以系统的机械能守恒．小球到达槽最低点前，小球先失重，后超重．当小球向右上方滑动时，半圆形槽向右移动，半圆形槽对小球做负功，小球的机械能不守恒．综合以上分析可知选项C正确．答案　C
8解析　小球恰能通过最高点，则在最高点重力充当向心力，有mg＝m，因为小球在最高点D的重力势能为零，则小球在D点的机械能为mv2，由机械能守恒定律可知：小球在B点的机械能与D点的机械能相等，则E＝mv2＝mgR，所以E与R成正比，故A、B项错误；由B点到D点小球机械能守恒，可得：mv2＝mv02－2mgR，在B点有：F－mg＝m，可解得F＝6mg，所以F与R无关，故C项错误，D项正确．答案　D
9解析　本题考查机械能守恒、圆周运动．根据机械能守恒定律可得，①④能达到高度h，①④项正确；②③项中当小球过圆周后，由于小球运动速度小，将脱离轨道做抛物运动，水平分速度一定不为0，所以由机械能守恒定律得小球运动的最大高度一定小于h，②③项错误．答案　C
10解析　小球从光滑斜槽下滑时，由机械能守恒定律可知mgh＝mv2，选项④确．因为v－t图象的斜率表示小球的加速度，而小球沿斜槽下滑时加速度逐渐减小，故选项①正确．答案　C
11解析　(1)在A从静止开始下落的过程中，绳的拉力对A做负功，对B做正功．正、负功大小相等，总和为零，所以对A、B组成的系统而言，绳子的拉力不做功，只有重力做功，系统机械能守恒．

(2)A落地后，B以2 m/s的初速度做竖直上抛运动，此过程中B的机械能守恒，设它能达到的最大高度为h′，则

答案　(1)2 m/s　(2)0.2 m
12解析　设小物块被弹簧弹出时的速度大小为v1，到达圆弧轨道的最低点时速度大小为v2，到达圆弧轨道的最高点时速度大小为v3
(1)因为小物块恰好能到达圆弧轨道的最高点，故向心力刚好由重力提供，有＝mg　①
小物块由A射出后做平抛运动，
由平抛运动的规律有
x＝v3t　②
2R＝gt2　③
联立①②③解得：x＝2R，即小物块的落点距O′的距离为2R
(2)小物块在圆弧轨道上从最低点运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律得
mv22＝mg×2R＋mv32　④
小物块被弹簧弹出到运动到圆弧轨道的最低点的过程由功能关系得：
mv12＝mv22＋μmgL　⑤
小物块释放前弹簧具有的弹性势能就等于小物块被弹出时的动能，故有
Ep＝mv12　⑥
由①④⑤⑥联立解得：
Ep＝mgR＋μmgL.(轻弹簧模型)
答案　(1)2R　(2)mgR＋μmgL