工程制图----画图.doc

1、学习投影法，主要是正投影法的基本理论及其应用。
2、研究在二维平面上表达三维空间形体（图示法）及在平面上利用图形来解决空间几何问题（图解法）。
3、培养和发展空间想象能力、构思能力和创造能力。由于画法几何所研究的是空间形体与它在平面上的图形之间的关系，因而在培养和发展学生对三维形状和相关位置的空间逻辑思维和形象思维能力方面起着及其重要的作用。
4、培养学生绘制和阅读建筑工程图样的基本能力。学会使用各种绘图工具，并熟悉制图规定等；熟悉并能适当运用各种表达物体形状和大学的方法。
三、学习方法
画法几何的特点是理论性强、实践性强。因此，同学们在学习过程中要注意几点方法：
1、要循序渐进。本课程是按点、线、面、体，由浅入深、由简到繁、由易到难的顺序编排的，前后联系十分紧密。学习时，必须对前面的基本内容真正理解，基本作图方法熟练掌握后，才能往下作进一步的学习。
2、要下工夫培养空间思维能力。由于画法几何学研究的是图示法和图解法，涉及的是空间形体和平面图形之间的对应关系。所以，学习时必须经常注意空间几何关系的分析，以及空间几何元素与平面图形的联系。对于每一个概念、每一个原理、每一条规律和每一种方法，都要弄清它们的空间意义和空间关系，遇到一时不懂的地方，要多问几个为什么，这样才能逐渐掌握相关知识、掌握读图和作图的规律；掌握课程的基本内容并善于运用它们。
无论是学习或做作业，都要画图和读图相结合。通过认真学习，进一步掌握读图和作图规律：
读图
平面图形←＝→空间形体
（二维）　作图　　（三维）
3、必须勤动手、多做题，不断提高解题能力。复习时不能单纯阅读课文，做题的过程也是学生利用所学的知识解决问题的过程，这一方面可以巩固知识、加深理解，另一方面也可提高学生的空间想像能力和逻辑思维能力，提高做题的速度和准确率。
解题时，首先要弄清哪些是已知条件，哪些是需要求作的。然后利用已学过的内容进行空间分析，研究怎样从已知条件获得所要求作的结果，要通过怎样的步骤才能达到最后的结果。初学时，可以把这些步骤记录下来，最后利用基本作图方法按照所确定的解题步骤一步步的进行作图，作图时要力求准确。最后还应作一次全面的检查，看作图过程中是否有错误，作图是否精确等。
4、养成良好的学习习惯，提高自学能力。这门课程的基本理论多、空间几何关系抽象。因此，要求学生一定要注意处理好课前、课中和课后的关系，即：课前认真做好预习，带着问题听课；上课时思想要集中，并要认真思考；课后要及时复习，并完成作业，及时消化、巩固所学的内容；同时，做题要按照步骤逐步完成，力求准确。
因此，我们在进行课堂教学的同时，也要布置作业和预习下节课的内容，以加强学生的学习、分析和理解问题能力的培养。
总之，在这门课的学习过程中，一定要多思考、多做题，认真听、认真记，及时复习、及时消化。可能有一部分同学刚开始时也这样做了，但学习的效果不太好，可能是因为你的三维立体感（空间想像能力）尚不太强。我相信，只要大家多练习，循序渐进，不断努力，一定能够轻松学习好这门课程。
四、工程上常用的几种图示法
土木建筑工程中常用的投影法有多面正投影法、轴测投影法、透视投影法和标高投影法。
多面正投影法：由物体在两个互相垂直的投影面上的正投影，或在两个以上（其中相邻的两投影面互相垂直）的投影面上的正投影所组成。例如右图是由三级踏步和左、右各一块巨型栏板所构成的台阶的三面正投影图，由这个台阶分别向正立的、水平的和侧面的三个互相垂直的投影面所作的正投影组成图中被遮的不可见投形画成虚线。多面正投影图是土木建筑工程中最主要的图样，本书主要讲述多面正投形法。
轴测投影法：是将物体连同其直角坐标体系，沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投影在单一投影面上所得的图形，可以是正投影，也可以是斜投影，通常省略不画坐标轴的投形。具体将在本课程第九章讲解。轴测投影有较强的立体感，在土木建筑工程中常用来绘制给排水、采暖通风和空气调节等方面的管道系统图。
透视投影法：是用中心投影法将物体投射在单一投影面上所得的图形透视投影图，有较强的立体感，形象逼真，如拍摄的照片和人的视觉形象那样，图中通常也不画出不可见的投影。当投射中心、投影面和物体的相对位置配置得不同时，可以获得不同的透视图，正如照相机在不同的地点、以不同的方向拍摄，会得到不同的照片，以及在不同的地点、以不同的方向视物，会得到不同的视觉形象。在建筑设计中，常用透视图作为表现房屋、道路和桥梁等的外貌、室内装修与布置的视觉形象的效果图。
标高投影法：是在物体的水平投影上加注某些特征面、线以及控制点的高程数值和比例的单面正投形。它常用来表达地形和工程建筑物。本书将在第十章阐述标高投影的作图原理和画法，在土木建筑专业图中还将应用到一些与地形有关的用等高线表示的土建图样。
五、画法几何学发展概述
在古代，由于丈量田地、兴修水利和航海等的需要，产生了度量几何。在绘画、雕刻、建筑防御工事、水利工程和房屋等方面，都需要精确和富有表达性的表达方法。但应用文字和语言都不可能十分完整和清楚地描述所要表达的对象，因而提出了许多有关必须在平面上表达表达空间物体的新的几何问题。由于人们的长期努力，逐渐的规定出一些解决问题的方法，据此可以在一定条件下和一定程度上满足所提出的要求。
画法几何学正是由于人们生产实践的需要而产生和发展的科学理论。然而，在其形成为一个科学体系的很久以前，画法几何学的各种方法和规则早已由于世间的需要而应用于技术和艺术的各个领域中。例如，根据我国古代文献的记载，从传说中的禹开始就进行了大规模的治水工程，以便从事农业生产。在治水工程中，必先探测地形、水路，因此绘制地形图就发展起来了。
营造技术在我国也是最早的科学之一。自周代以来，就有很多关于建筑的记载。其中完整无遗、保存至今的是宋代李诫所著的《营造法式》，该书著于1103年，这部书完整的总结了两千多年间的我国建筑的伟大成就。全书共36卷，其中6卷为图册，所列图样大都是正确地按正投影规则绘制的，也有很多图样已完全脱离了艺术画的范畴，而用轴测画法来表达。
此外在其他技术书籍中也可看到很多图样。例如明代宋应星所著的《天工开物》中就有大量插图，其中的很多图样就和现代的轴测投影相差不多，有的还适当运用了阴影。
画法几何学完整而系统的著述，直到公元1795年才有法国的工程师和数学家加斯帕·蒙日所发表，蒙日所说明的画法是以互相垂直的两个平面作为投影面的正投影法。该方法保证了物体在平面上的图像明显、正确，且便于度量。蒙日著作发表后对世界各国科学技术是第一生产力的发展产生了巨大的影响。在以后的一个多世纪内画法几何学得到了广泛的应用和发展。
画法几何这一中文名称是由我国著名物理学家萨本栋和著名教育家蔡元培大约在1920年翻译定名的。
在我国社会主义现代化建设中，画法几何学在国民经济建设和智力资源开发等方面都起着重要的作用。
最近20多年来，随着计算机绘图系统在我国的研制、引进和开发，计算机绘图和图形显示技术在实际实用中得到了迅速的发展。为了适应科学技术的需要，在画法几何学方面把解析几何的数解法和画法几何的图解法有机地结合起来，使空间几何问题的解决得以从手工绘图转变为计算机绘图和图形显示，并实现对本课程的计算机辅助教学。这将对画法几何学的教学及其应用产生及其深远的影响。
六、推荐参考书
1、何铭新主编《画法几何及土木工程制图（第二版）》，武汉理工大学出版社；
2、汪颖、龚伟主编《画法几何与建筑工程制图》，科学出版社；
3、何斌、陈锦昌、陈炽坤主编《建筑制图》，高等教育出版社；
4、陈文耀、陈启粱主编《建筑工程制图》，同济大学出版社。
同时，同学们还可以利用网上资源进行学习。

第二节　投影的基本知识
一、投影的概念
投影法是从日常生活中光照物体的呈影现象中进行几何抽象、概括出来的。
投影面：承受影子的平面H。△abc为物体ABC在投影面上的投影。
从几何意义上解释，点A、线段AB、空间平面△ABC的投影。
投影法的概念：投射线通过物体，向选定的面投射得到物体投影的方法称为投影法。画法几何的基础是投影法。
构成投影体系的五项要素：
投影中心：发出投射线的投射源
投射线：从投射中心经过物体到达投影面的连线
空间物体：被表达的物体
投影面：用于承影的平面
投影：物体在投影面上得到的投影图
二、投影的分类
按照投影中心与投影面的距离，投影分为：
1、中心投影
投影中心距离投影面有限远，投射线相交于该点时，所得到物体的投影。如图1。中心投影的大小由投影面、空间物体和投射中心三者的相对位置来确定。
投影中心：投射中心为一点。
投射线：由一点发出，呈放射状。
应用举例：透视投影法。
2、平行投影
投影中心距离投影面无限远，投射线互相平行时，所得到物体的投影。如太阳光产生的投影。
只要给出投影面和投影方向，空间物体与投影面距离远近不影响投影的大小。
投影中心：投射中心为无穷远处
投射线：投射线相互平行
应用举例：正投影法、轴测投影法、标高投影法
根据光线与投影面的相对关系，平行投影又分两种：
①斜投影：投射线与投影面倾斜时所得到的平行投影。
②正投影：投射线与投影面垂直时所得到的平行投影。如图2。
图1 图2
三、正投影的特性
正投影法是工程制图中绘制图样的主要方法。以后提到的投影均为正投影，它有7个特性。
1、同素性：点、直线、平面的正投影仍分别为点、直线、平面。如：A、BC、DEF。
2、从属性：若点在直线上，则该点的正投影在直线的正投影上。如G。
3、定比性：若点在直线上，则点分线段所成的比例等于该点的正投影分线段的正投影所成的比例。如：BG:GC=bg:gc。
4、真实性：若线段或平面图线平行于投影面，则它们的正投影反映线段实长或平面图形的实形。如：BC＝bc, △DEF≌△def。
5、积聚性：若直线或平面垂直于投影面，则直线的正投影为一点，平面的正投影为一线。
6、平行性：若两直线段平行，则它们的正投影也平行，且两线段的长度之比等于其正投影的长度之比。
7、类似性：若平面图形倾斜于投影面，则它的正投影不反映实形，而是原平面图形的类似性。
四、立体的三面投影
仅凭物体的单面正投影是不足以确定空间形体的形状。通常，我们多是选用三面正投影来完整地表达并确定空间形体的形状。
1、立体三面投影的形成
（1）、建立三面投影体系：
V⊥H、H⊥W、W⊥V
OX⊥OY⊥OZ，投影轴
（2）、立体的三面投影及展开投影线
V面不动，H面绕OX轴向下旋转90度，W面绕OZ轴向后旋转90度，从而使V、H、W三个面处于同一平面上。
由三个投影可知：立体的每个投影反映立体两个方向的尺寸。即：
水平：长、宽；正面：长、高；侧面：高、宽。
2、立体三面投影的性质（H水平，V正，W侧）
正面投影和水平投影“长对正”；
正面投影和侧面投影“高平齐”；
水平投影和侧面投影“宽相等”。
正面投影：上、下、左、右；
水平投影：前、后、左、右；
侧面投影：上、下、前、后。

小结：
这节课，我们主要讲了两部分内容。对于第一部分，大家了解就可以了，但一定要注意本课程的学习方法，并不断总结、完善，尤其要注意提前预习、做好练习、课后复习。第二部分，同学们要掌握正投影的特性（7个）和三面投影的“三等关系”，这是以后的学习和工作都要经常用到的。
作业题：预习点的投影。

第一节 点的两面投影
点在单一投影面上的投影能否唯一确定空间点的位置？
一、点的两面投影及表示法
根据正投影的同素性，空间点在投影面上的投影仍是点。但是只有点的一个投影是不能确定点的空间位置的。对于空间点来说，在互相垂直的投影面体系中，只有作出点的两面投影，才可确定其空间位置。
将空间点A放在水平投影面H及正立投影面V上所形成的两面投影体系中，分别向H及V面作垂直投射线，形成：
a：A的水平投影；a’：A的正面投影
注意：A、a、a’各自表示的含义。
二、点的两面投影特性
为使点的两面投影画在同一平面中，规定：V面不动，H面连同水平投影a绕OX轴向下旋转90°，使其与V面重合，就得到点A的两面投影，如下图：
通常在投影图中不画投影面的边界，如上图右。点A的两面投影a、a’可确定该A点的空间位置。
由此可推出点的两面投影特性：
1、点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴，即a’a⊥OX。
2、点的水平投影到OX轴的距离等于该点到V面的距离，aax=Aa。
点的两面投影规律(V/H两面投影体系中)
1、点的投影连线垂直于投影轴。
2、点的投影到投影轴的距离,等于该点到相邻投影面的距离。
三、两投影面的扩展
在两面投影体系中，若把H面向V面之后扩展，把V面向H面之下扩展，就可把投影平面分为4个部分，即4个分角，逆时针命名：
第一分角：H面之上，V面之前；
第二分角：H面之上，V面之后；
第三分角：H面之下，V面之后；
第四分角：H面之下，V面之前。
若在四个分角内，分别有四个空间点A、B、C、D位于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ角内，当将投影面展开，即V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°（V面后的H面向上旋转）至于V面重合。则四个点在各自分角內的两面投影特点如下图：
Ⅰ分角中：A点正面投影a’位于OX轴之上，a位于OX轴之下；
Ⅱ分角中：B点正面投影b’位于OX轴之上，b位于OX轴之上；
Ⅲ分角中：C点正面投影c’位于OX轴之下，c位于OX轴之上；
Ⅳ分角中：D点正面投影d’位于OX轴之下，d位于OX轴之下。

第二节 点的三面投影
一、三面投影体系的建立
在两面投影体系基础上，包含OY和OZ轴做出第三个投影面――侧立投影面，即W面。
三面投影体系的展开同两面投影体系相似。
二、点的三面投影形成及其特性
假设三面投影体系中有一点A，过点A分别向三个投影面作投射线，投射线与投影面的交点分别记为a、a’、a’’。

为便于作图，保持V面不动，将H面连同水平投影a绕OX轴向下旋转90°，W面连同a”绕OZ轴向后旋转90°，都与V面重合，就得到点的三面投影（如上图）。
由图可知，三面投影有以下特性（点的三面投影规律）：
1、点的投影连线垂直于投影轴。
2、点的投影到投影轴的距离,等于点的坐标，也就是该点与对应的相邻投影面的距离。
如果将三投影面体系看成直角坐标系，则：投影轴看成坐标轴，投影面看成坐标面，点O看成坐标原点。根据解析几何，空间点的位置可由其三维坐标决定，点到投影面的距离也可用坐标值表示，即X、Y、Z分别表示空间点到W、V、H面的距离。
从而点的投影与坐标关系如下：
1、点的投影与空间坐标有惟一对应关系。
2、点的投影到投影轴的距离,等于点的坐标。点的正面投影到OZ轴的距离，等于X坐标值；点的水平投影到OX轴的距离，等于Y坐标值；点的正面投影到OX轴的距离，等于Z坐标值。
即a(x，y)；a’(x，z)；a”(y，z)。
所以，在点的三面投影中，任何两个投影都能反映出点到三个投影面的距离。
因此，若已知点的两面投影，便能确定该点的坐标值，进而确定其空间位置。反之，已知点的坐标，可以画出三面投影。
例1：已知a、a’，求a”。
解：略
例2：已知点B的坐标为（2，3，4），作点的三面投影。
解：略
三、各种位置点的投影
点除位于空间位置外（前面已讲），还有：
投影面上的点，点的一个坐标为零；
投影轴上的点，两个坐标为零；
与原点O重合的点，三个坐标均为零。
投影面和投影轴上的点投影特性：
1、投影面上的点有一个坐标为零，在该投影面上的投影与点自身重合，在相邻投影面上的投影分别在相应的投影轴上。
2、投影轴上的点有两个坐标为零，在包含这条投影轴的两个投影面上的投影都与该点自身重合，在另一投影面上的投影则与原点O重合。
3、与原点O重合的点，三个坐标都为零，三个投影重合于原点。

第三节　两点相对位置和无轴投影
一、两点的持相对位置
相对位置是指空间两点的上下、左右、前后关系。正面投影，判断上下、左右位置关系；水平投影，判断前后、左右关系；侧面投影，判断前后、上下关系。
（1）、两个点的投影沿左右、前后、上下三个方向所反映的坐标差，即两点相对投影面 W、V、H的距离差，能确定两点的相对位置。坐标值越大，就越左、越前、越上。
（2）、特别要注意的是：对于水平投影而言，由OX轴向下代表向前；对侧面投影而言，由OZ轴向右也代表向前。
通常判别两点在空间的位置，是将其中的一点作为基准点，判断另一点（即比较点）在基准点之上（下）、前（后）、左（右）多少距离。反映在投影中，是在确定了基准点的前提下，找出两点在同一投影面上的投影的同名坐值的代数差（比较点的坐标减去基准点的坐标）△X、△Y、△Z。如果为正，则比较点在基准点的左、前、上方；若为负值，则相反。
二、重影点及其可见性
（1）、两个或两个以上的空间点在某投影面上的投影重合，称为该投影面上的重影点。该两点同面投影重合于一点的性质称为重影性。
（2）、对W、V、H重影点的可见性判别原则分别为左遮右、前遮后、上遮下。点的不可见投影应加注（）。
三、无轴投影
对于不涉及点到投影面距离的作图问题，可不画出投影轴，即为无轴投影。

第四节　点的辅助投影
一、辅助投影的基本概念
如下图(a)所示，DABC是铅垂面，它在H／V投影体系中的两个投影都不反映实形。
如何使DABC的投影反映实形呢？
取一个平行于DABC且垂直于H面的V1面来代替V面，则构成一个新的H／V1投影体系。DABC在V1面上的投影Da1¢ b1¢ c1¢ 就反映三角形的实形。
再以V1面和H面的交线X1为轴，使V1面旋转至和H面重合，就得出在H／V1体系的投影图，如下图(b)所示。

（a） (b)
图 V／H体系变为V1／H体系
总结一下：新投影面的选择原则是：
(1)新投影面必须和空间几何元素处于有利于解题的位置。
(2)新投影面必须垂直于原投影体系中的一个投影面，并与它组成新投影面体系。
二、点的投影变换规律
点是最基本的几何元素，其投影变换本身没有意义，但研究点的投影变换规律是学习换面法的基础，能推导出换面法的一些基本规律。
1．点的一次变换（辅助投影）
在作点的一次变换时，可以变换V面，也可以变换H面。
（1）变换V面
如图6-2（a）所示，空间有一个点A，它在V- H体系中的投影是a和a¢。用垂直于H面的V1面代替V面和H面构成一新的直角投影体系（H、V1）。
A点在V1- H体系中的投影是a和a1¢ 。V1和H的交线X1为新投影轴。V1绕新轴X1按图示箭头所指的方向旋转90°与H 面重合，就得到图6-2（b）所示的投影图。
从图中可看出，a1¢ a⊥X1 轴；a1¢ ax1=a¢ ax

（a） (b)
图 点的一次变换（变换V面）
具体作图步骤如下：
（1）在被保留的水平投影a附近作新轴X1
（2）自a向新轴X1引垂线。
（3）在此垂线上，从新轴X1起截取a1¢ ax1=a¢ ax ，a1¢即为所求。
注意：新旧两投影体系具有公共水平面H，故Aa=a’ax=a1’ax1
（2）变换H面
如图6-3(a)所示，空间有一个点B，它在V-H体系中的投影是b和b¢。用垂直于V面的H1面代替H面和V面构成一新的直角投影体系（H1、V）。

(a) (b)
图　点的一次变换（变换H面）
B点在H1-V体系中的投影是b1和b¢。V和H1的交线X1为新投影轴。H1绕新轴X1按图示箭头所指的方向旋转90°与V面重合，就得到如图6-3(b)所示的投影图。
从图中可看出，b¢ b1⊥X1轴； b1bx1=bbx 。
具体作图步骤如下：
（1）在被保留的水平投影b¢ 附近作新轴X1
（2）自b¢ 向新轴X1引垂线。
（3）在此垂线上，从新轴X1起截取b1bx1=bbx, b1即为所求。
综上所述，无论变换V面或H面，可以得到点的一次投影变换的规律是：
（1）点的新投影和不变投影的连线必垂直于新投影轴。
（2）点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的旧投影到旧投影轴的距离。
(3)按实际需要确定投影轴。
2．点的二次变换（复辅助投影）
在解决实际问题时，有时需要连续地更换两次、甚至更多次的投影面。但当你掌握了点的一次换面规律以后，就不难解决了。请看图例。
在图5-4（a）中，第一次变换，用垂直于H面的V1面代替V面，将V/H体系变换成V1/H体系。第二次变换，用垂直于V1面的H2面代替H面，将V1/H体系变换成V1/ H2体系。在每一次更换投影面过程中，点的投影作图均与更换一次投影面相同，如图5-4（b）所示。

(a) (b)
图6-4 点的二次变换（现变换V面）
注意：在多次变换投影面时，新投影面的建立除了符合前面讲的两个条件外，还必须交替变换H面和V面。

§2－1　直线的投影
大家知道，通过两点可以画一条直线，而空间一直线可由该直线上的任意两点所决定，直线的投影一般仍是直线。因此，作直线上的投影，需先作出直线上任意两点的投影，并连接该两点在同一投影面上的投影即可。

直线的投影特性：除直线垂直于投影面，在该投影面上的投影积聚成点外，直线的投影仍为直线，只要作出两个端点的投影，连线即为直线投影。平行于投影面的直线在该投影面上的投影，与直线本身平行且等长；倾斜于投影面的直线在该投影面上的投影短于直线的真长。

§2－2、直线上的点
一、直线上点的投影特性
从下图可以看出，直线AB 上的任一点K 有以下投影特性：
（1）.直线上的点的投影必在该直线的同面投影上（从属性）；
（2）.直线的点分割线段的长度比，与该点的投影分该线段的投影的长度比相等（定比性）。如下图所示，K 分AB 为AK:KB，则ak:kb = a'k':k'b' = a"k":k"b"。

反之，若一点的各个投影在一直线的同面投影上，分线段各投影长度成相同之比，则该点定在此直线上。这是我们判断点是否在直线上的依据。一般情况，根据点的两个投影是否在直线的同面投影上就可确定该点是否属于直线。但当直线是某一投影面平行线时，还需分析点在直线所平行的投影面上的投影是否满足从属性，或利用定比性判断。
例1：已知直线AB 的投影图，试将AB 直线分成2:3两段，求分点C 的投影。

分析：因点C 将AB 直线分成2:3，则C 点必在AB 直线上， c在ab上，c' 在a'b' 上，且ac:cb = a'c':c'b' = 2:3。作图时，可过a点任作一直线aD0，并在此直线上以任意长度取5等分，得端点B0。在aB0上取第二等分点C0， 利用平行定比性求得c、c'。

例2：已知侧平线AB及点C的两面投影，判断C是否在直线AB上。
解：方法一：作图。
方法二：定比性判断
解题时穿插提问：判断点是否属于直线可用几种方法？
二、直线的迹点
迹点：直线与投影面的交点。它是直线与投影面的共有点，具有直线上的点和投影面上点的投影特性。
在三面投影体系中，特殊位置直线迹点为：投影面平行线只有两个迹点。投影面垂直线只有一个迹点。我们一般是在两面投影体系中来讨论一般位置直线的迹点。
水平迹点：H面上迹点，记为M。
迹点分为 正面迹点：V面上迹点，记为N。
侧面迹点：W面上迹点，记为S。
1、求水平迹点M，M属于H面，故m′必在OX轴上；又点M属直线AB，故m′必在a′b′上，m在ab上。
2、求正面迹点N
N属V面，故n必在OX轴上，又N属直线AB，故n在ab上，n′在a′b′上。
总结，迹点的投影特性：
①迹点在投影面上的投影是迹点本身。即M≡m，N≡n′，S=s″；
②迹点的另一投影必是直线相应投影与投影轴的交点
因迹点属于投影面，故各迹点就将直线分为居于不同分角的几部分。

§2－3　直线的实长及其对投影面的倾角
一、直线的实长及其对投影面的倾角
那么怎样求得一般位置直线的实长及其与投影面的倾角呢？我们将借助直角三角形的方法。
求一般位置直线的实长和倾角，不如特殊位置的直线（投影面平行线和垂直线）直观、易解，只有利用直角三角形法。
利用直线的某一投影（如水平投影ab）和直线两端点与这个投影面坐标差（如Δz）求一般位置直线的实长及与投影面夹角的方法称为直角三角形法。现以下例说明具体的求解步骤。
    例4： 如图(a)所示，已知直线AB 的两面投影ab和a'b'，求直线AB 的实长及与水平面夹角a 的实大。
    分析：以水平投影ab 和Δz 为两条直角边构成直角三角形，其斜边是直线AB的实长，Δz 的对角反映直线与水平面夹角a 的实大，如图(b)。

结论：当用直角三角形法求线段的实长及其对某投影面的倾角时，应以线段在该投影面上的投影长度为一直角边，以线段两端点到该投影面的距离差为另一直角边，构建直角三角形。直角三角形的斜边为线段的实长，斜边与投影长度的夹角即为空间直线对该投影面的倾角。
构造直角三角形的四个条件为：斜边、两直角边和锐角，即线段的投影长，两点坐标差、真长及倾角。
用直角三角形法求线段的实长及其对某投影面的倾角时，应注意：
①求直线的真长，只要以它的任一投影的长度为一直角边，作出相应的直角三角形即可；若需求直线对某一投影面的倾角，则必须以直线在这个投影面上的投影长度为一直角边作行营的直角三角形。
②在H、V两面体系中，只有当直线上所有点的x坐标都相等时，亦即为侧平线、铅垂线、正垂线时，α+β＝90°；其余各种情况，α+β≠90°。同样，在V、W两面体系中，只有当直线上所有点的z坐标都相等时，亦即为水平线、侧垂线、正垂线时，γ+β＝90°；其余各种情况，γ+β≠90°。
例5：已知直线AB长30cm，试补全其水平投影ab。
注意：一定要理解该法的原理，从而才能通过做题掌握其方法。

二、已知直线的实长和倾角求解有关的定位和度量问题
用直角三角形法不仅可以求作直线的真长和倾角，也可以反过来由已知直线的真长和倾角求解有关的度量和定位问题。
举例讲解。（略）

§2－4　各种位置直线的投影特性
在三投影面体系中，根据直线对投影面的相对位置，可分为：投影面平行线和投影面垂直线（特殊位置直线）、一般位置直线。
2.1、一般位置直线
定义：对H、V、W面都处于倾斜位置的直线。
一般位置直线的α、β、γ都大于0°且小于90°；其三个投影为斜线，小于空间线段的实长，也不反映直线对投影面的倾角。
投影特性：三个投影都仍为直线，且都小于线段的实长；三个投影都倾斜于投影轴，且不能反映直线对投影面的倾角。
2.2、投影面平行线
定义：平行于某一投影面、倾斜于另两个投影面的直线。它有三种情况：
水平线：平行H面，倾斜V、W面；
正平线：平行V面，倾斜H、W面；
侧平线：平行W面，倾斜V、H面。
同时，直线对H、V、W面的倾角分别为α、β、γ表示。
左图中：正平线为SA、SC，s’a’、s’c’为实长，与OX、OZ的夹角分别反映与H、W面的倾角，水平投影和侧面投影分别平行于OX、OZ轴，不反映实长。
水平线：AB、BC。
侧平线：SB。
通过讲解，总结平行线的投影特性：
（1）、在所平行的投影面上的投影反映线段的真长及另外两个投影面的倾角。
（2）、直线段的另两个投影分别平行于相应的投影轴，长度缩短。
2.3、投影面垂直线
定义：垂直于某一个投影面，而平行于另两个投影面的直线。它有三种情况：
铅垂线：⊥H，∥V和W；
正垂线：⊥V，∥H和W；
侧垂线：⊥W，∥V和H。
右图中：
铅垂线：AB
正垂线：AC 积聚为点，并垂直于
侧垂线：AD 相应的座标轴，且反映实长。
总结出其特性：
（1）、在所垂直的投影面上的投影积聚成一点。
（2）、在另两个投影面上的投影反映真长，且分别垂直于相应的投影轴（平行于投影轴）。

§2－5　两直线的相对位置
我们在“点的投影”中讨论过空间两点的相对位置，即前后、左右、上下关系。空间两直线的相对位置，利用中学时学到的几何知识，知道有平行、相交和交叉三种情况。平行、相交两直线都位于同一平面上，是共面直线；交叉两直线彼此既不平行，又不相交，它们不在同一平面上，为异面直线。
一、两直线平行
根据绪论中讲到的平行投影的基本性质，即正投影的平行性，可知：若空间两直线互相平行，则其同面投影互相平行，且两平行线段长度之比等于其同面投影长度之比。
P26图2.32中：AB∥CD，则ab∥cd，a′b′∥c′d′。也知a″b″∥c″d″,且AB:CD=ab:cd= a″b″:c″d″。
反之，若两直线的同面投影分别平行且成定比，则该两直线在空间必平行。
证明：ab∥cd 平面abBA∥平面cdDC;
又a′b′∥c′d′ 平面a′b′BA∥平面c′d′DC。
平面abBA与平面a′b′BA相交于AB
AB∥CD
平面cdDC与平面c′d′DC相交于CD

一般情况下，根据直线的任意两个同面投影是否平行，即可确定该两直线是否平行。但当两直线同时平行于某一投影面时，即对于平行于同一投影面的两直线，最好要有一组是被平行的投影面上的投影，这样便于检验两直线是否平行。
对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。
在投影图上判别两直线是否平行时，若两直线处于一般位置，则只需判断两直线的任何两个同面投影是否平行即可确定，如下图中由于直线AB、CD均为一般位置直线，且a'b'∥c'd'、ab∥cd，则AB∥CD。

否则，则通常还需根据两直线在所平行的投影面上的投影是否平行来确定（或根据定比性判断）。
例6   试判断AB与CD直线是否平行。
    分析：若两直线同时平行于某一投影面时，则还必须判断两直线在所平行的那个投影面上的投影是否相互平行来确定。如下图所示，直线AB、CD为两条侧平线，虽然a'b'∥c'd'、ab∥cd，但还要通过判断侧面投影，知a"b"∥c"d"，从而判定AB∥CD。

例7   试判断AB与CD直线是否平行。

    分析：若两直线同时平行于某一投影面时，则还必须判断两直线在所平行的那个投影面上的投影是否相互平行来确定。如下图所示，直线AB、CD为两条侧平线，虽然a'b'∥c'd'、ab∥cd，但还要通过判断侧面投影，知a"b"与c"d" 相交，从而判定AB与CD不平行。

二、两直线相交
相交两直线的同面投影都分别相交；并且，同面投影的交点是同一点的投影。反之，亦然。

一般情况下，两直线在空间是否相交，根据两面投影就可以直接判断，如下图所示。但如果两直线中有一条直线平行于某一投影面，则要加以判断。

例8  已知两直线AB、CD相交，试补全投影。

    分析：从图(a)可知，a'b' 与c'd' 相交于k'，利用相交两直线的投影规律就可求得cd 。即过k' 作c' c 的平行线交ab 于k，连ck 并延长求得d 。

三、两直线交叉
在空间既不平行，也不相交的两直线称为交叉两直线。交叉两直线的投影不具备平行或相交两直线的投影特性。
交叉两直线的同面投影有的相交，有的平行；或者同面投影都分别相交，但同面投影的交点不是同一点的投影，不符合点的投影规律。此时，两直线投影的交点实际上是两直线对投影面的重影点，按照重影点检定它们的可见性。

交叉两直线有一个投影或两个投影平行：
交叉两直线可能有一个或两个投影平行，如图所示，但不会有三个同面投影平行。

两直线在三个投影面上的同面投影有四种模式：
① 各组同面投影都分别互相平行。（平行）
② 有的同面投影相交，有的同面投影平行。（交叉）
③ 各组同面投影都分别相交，且同面投影的交点是同一点的投影。（相交）
④ 各组同面投影都分别相交，但同面投影的交点不是同一点的投影。（交叉）
交叉两直线中重影点的分析：
如图中水平投影ab 和cd 的交点1(2)，其实是AB 直线上的I 点与CD 直线上的II 点对水平投影的重影点。同理，3'(4')是CD 直线上的III 点与AB 直线上IV 点对正面投影的重影点。根据重影点可见性的判别方法可知，水平投影中，位于AB 线上的I 点可见，而位于CD 线上的II 点不可见，即投影为1(2)。正面投影中，位于CD 线上的III 点可见，而位于AB 线上的IV 点不可见，即投影为3'(4')。

§2－6　一边平行于投影面的直角的投影
投影特性共有三点：
1、当直角的两边都与投影面不平行时，在该投影面上的投影不是直角。
2、当直线的两边都与投影面平行时，在该投影面上的投影仍是直角。
3、当直角的一边平行于投影面，另一边倾斜与投影面时，在该投影面上的投影仍是直角（直角投影法则或定理）；而另一边垂直于投影时，在该投影面上的投影称为一条直线。
直角投影法则或定理的三个条件：①空间两直线垂直，②一边平行于投影面，③投影仍互相垂直。由任意两个条件，即可推出第三条成立。
因此，得出逆定理：若两直线在某投影面的投影互相垂直，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线必定互相垂直。
另外：若两直线互相垂直，它们在某投影面上的投影也互相垂直，则此两直线中至少有一条直线平行于该投影面。
讲教材例2－6、例2－7。

§2－7　直线的投影变换
直线由两点确定，求直线的投影变换，只需求出直线上两个点的投影变换，连接起来就得到该直线的投影变换后的投影。
前面已经讲过，设置新投影轴必须遵循的原则是：新投影面一定要垂直于原有两面体系中的一个投影面。故在投影图上，新投影面的设置，就表现为新投影轴的设置。下面看该问题的几种情况。
1．把一般位置直线变为投影面平行线
其方法就是使建立的新投影轴平行于空间直线，利用正平线或水平线的投影特性，从而得到线段的实长及其与投影面的夹角。
如图所示，直线AB在H／V体系中是一般位置直线。如何变换投影面使AB变成平行线呢?
变换V面为V1面，并使 V1∥AB。那么，直线AB在H／V1体系中就成为平行线（正平线）。AB的新投影a1¢ b1¢必反映实长；a1¢ b1¢与O1 X1轴的夹角必等于AB本身对H面的倾角a。
作图步骤：
（1）引新轴O1 X1∥ab；
（2）作出两端点A和B的新投影，得到a1¢ b1¢。
AB在V1面上的投影反映实长和a角。

（a） (b) (c)
图　把一般位置直线变为投影面平行线
如果变换H为H1，并使H1∥AB ，那么AB在H1／V体系中也成为平行线（水平线）。
作图步骤如图所示（略），AB在H1面上的投影反映实长和b角。因此,若求a，则应变换V面，若求b，则应变换H面。
注：O1X1只需与ab平行，它们间的距离对于求AB的实长是没有影响的。
把一般位置直线变为投影面平行线的作图方法小结：
（1）将一般位置直线变换成新投影面的平行线只需进行一次变换。
（2）新投影轴应平行于直线的某一投影（X1//ab或X1//ab）。
2.将投影面平行线变换为投影面的垂直线
只需要建立一个新的投影面与该平行线垂直。
若为正平线，新投影面应垂直于V面，变为铅垂线；若为水平线，新投影面应垂直于H面，变为正垂线。
3．把一般位置直线变为投影面垂直线
如果让某