第八章综合达标测试.doc

第八章

(本卷满分150分，考试用时120分钟)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是
A.≤α＜π　　　　　　 B.＜α＜π或0≤α≤
C．0≤α≤ D.≤α＜或＜α＜π
【解析】　直线AB的斜率k＝＝1－m2≤1，又直线l的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α＜0或0≤tan α≤1，所以＜α＜π或0≤α≤，故选B.
【答案】　B
2．(2011·安庆模拟)在平面直角坐标系中，与点A(1,1)的距离为1，且与点B(－2，－3)的距离为6的直线条数为
A．0 B．1
C．2 D．无数条
【解析】　∵|AB|＝5，
∴以A为圆心，半径为1的圆(x－1)2＋(y－1)2＝1与以B为圆心，半径为6的圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝36内切．
∴与A距离为1，与B距离为6的直线只有过两圆切点并与两圆都相切的一条直线．
【答案】　B
3．已知三条直线x－y＝0，x＋y－1＝0，mx＋y＋3＝0不能构成三角形，则m的取值集合是
A．{1，－1} B．{1，－1，－7}
C．{1，－1,7} D.
【解析】　三条直线不能构成三角形的情况有：一是其中两条互相平行，二是三条直线交于一点，∴有两条平行时m＝±1.
过同一点时，由得，
代入mx＋y＋3＝0得m＝－7，
∴m＝±1或m＝－7.
【答案】　B
4．(2010·广东)若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
【解析】　设圆O的方程为(x－a)2＋y2＝5(a<0)，
则O到直线x＋2y＝0的距离
d＝＝＝，
∴a＝－5.
∴圆O的方程是(x＋5)2＋y2＝5.
【答案】　D
5．双曲线－＝1的焦点坐标是
A．(1,0)，(－1,0) B．(0,1)，(0，－1)
C．(，0)，(－，0) D．(0，)，(0，－)
【解析】　c2＝a2＋b2＝2＋1，∴c＝.
∴焦点为(，0)，(－，0)，选C.
【答案】　C
6．(2010·杭州模拟题)若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的倾斜角的取值范围是
A. B.
C. D.
【解析】　圆x2＋y2－4x－4y－10＝0整理为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，∴圆心坐标为(2,2)，半径为3.要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则圆心到直线的距离应小于等于，∴≤，∴2＋4＋1≤0，∴－2－≤≤－2＋.
∵k＝－，∴2－≤k≤2＋，直线l的倾斜角的取值范围是，选B.
【答案】　B
7．直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是
A．[1,5)∪(5，＋∞) B．(0,5)
C．[1，＋∞) D．(1,5)
【解析】　由直线y＝kx＋1知，直线过定点(0,1)，要使对任意k，直线与椭圆有公共点，则点(0,1)在椭圆上或椭圆内部，∴m≥1，又m≠5.选A.
【答案】　A
8．(2011·诸城模拟)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r等于
A. B．2
C．3 D．6
【解析】　双曲线渐近线为y＝±x，
圆(x－3)2＋y2＝r2的圆心为(3,0)．
∵圆与渐近线相切，
∴＝r，∴r＝.
【答案】　A
9．(2010·揭阳模拟)已知a＞b＞0，e1，e2分别为圆锥曲线＋＝1和－＝1的离心率，则lg e1＋lg e2的值
A．大于0且小于1 B．大于1
C．小于0 D．等于0
【解析】　由题意，得e1＝，
e2＝(a＞b＞0)，
∴e1e2＝＝ ＜1，
∴lg e1＋lg e2＝lg(e1e2)＝lg＜0.
【答案】　C
10．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若＝，·＝48，则抛物线的方程为
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝16x D．y2＝4x
【解析】　由＝及||＝||知在Rt△ACB中，∠CBF＝30°，|DF|＝＋＝p，
∴AC＝2p，BC＝2p，AB＝4p，
·＝4p·2p·cos 30°＝48，
∴p＝2.
抛物线方程为y2＝4x.
【答案】　B
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共计25分．把正确答案填在题中的横线上)
11．(2010·全国Ⅱ改编)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点．若＝3，则k＝________.
【解析】　由e＝＝ ＝得
a＝2b，a＝c，b＝.
由得(3＋12k2)y2＋6cky－k2c2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝.①
y1y2＝.②
由＝3得y1＝－3y2.③
联立①②③得k＝.
【答案】　
12．两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P、Q两点，若点P坐标为(1,2)，则点Q的坐标为________．
【解析】　∵两圆的圆心分别为(－1,1)，(2，－2)，
∴两圆连心线的方程为y＝－x.
∵两圆的连心线垂直平分公共弦，
∴P(1,2)，Q关于直线y＝－x对称，
∴Q(－2，－1)．
【答案】　(－2，－1)
13．(2011·广东六校联考)已知椭圆C的中心在坐标原点，椭圆的两个焦点分别为(－4,0)和(4,0)，且经过点(5,0)，则该椭圆的方程为________．
【解析】　由题意，c＝4，且椭圆焦点在x轴上，
∵椭圆过点(5,0)．∴a＝5，
∴b＝＝3.∴椭圆方程为＋＝1.
【答案】　＋＝1
14．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x2－＝1的右焦点重合，则p的值为________．
【解析】　双曲线x2－＝1的右焦点为(2,0)，
由题意，＝2，∴p＝4.
【答案】　4
15．(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为__________．
【解析】　解法一　x＝3代入－＝1，y＝±，不妨设M(3，)，右焦点F(4,0)，∴|MF|＝＝4.
解法二　由双曲线第二定义知，M到右焦点F的距离与M到右准线x＝＝1的距离比为离心率e＝＝2，∴＝2，|MF|＝4.
【答案】　4
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(12分)(2010·六安模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在直线y＝x＋4上，半径为2的圆C经过原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)求经过点(0,2)且被圆C所截得弦长为4的直线方程．
【解析】　(1)设圆心C(a，a＋4)，则圆的方程为：
(x－a)2＋(y－a－4)2＝8，
代入原点得a2＋(a＋4)2＝8，解得a＝－2，
故圆C的方程为：(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)①当直线斜率不存在时，直线方程为x＝0，
由，得，
弦长为|y1－y2|＝4满足题意．
②当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋2，
由，得(1＋k2)x2＋4x－4＝0，
Δ＝16＋16(1＋k2)＞0，
由题意得＝，
即4k2＝4k2＋4，方程无解．
综上可知，直线方程为x＝0.
【答案】　(1)(x＋2)2＋(y－2)2＝8　(2)x＝0
17．(12分)中心在原点，一个焦点为F1(0，)的椭圆截直线y＝3x－2所得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程．
【解析】　设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由F1(0，)得a2－b2＝50.把直线方程y＝3x－2代入椭圆方程整理得(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0.设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系得x1＋x2＝，又AB的中点的横坐标为，∴＝＝，∴a2＝3b2，与方程a2－b2＝50联立可解出a2＝75，b2＝25.故椭圆的方程为＋＝1.
【答案】　＋＝1
18．(12分)(2010·株洲模拟)已知一椭圆经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．
(1)求椭圆方程；
(2)若P为椭圆上一点，P、F1、F2是一个直角三角形的顶点，且|PF1|＞|PF2|，求|PF1|∶|PF2|的值．
【解析】　(1)∵9x2＋4y2＝36，∴a＝3，b＝2，c＝，与之有共同焦点的椭圆可设为＋＝1(m＞0)，代入(2，－3)点，解得m＝10或m＝－2(舍)，
故所求方程为＋＝1.
(2)①若∠PF2F1＝90°，则|PF2|＝＝＝，
∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2－＝，
于是|PF1|∶|PF2|＝2.
②若∠F1PF2＝90°，
则，
令|PF1|＝p，|PF2|＝q，得
⇒p2＋(2－p)2＝20.
∵Δ＜0，∴无解，即这样的三角形不存在．
综合①②知|PF1|∶|PF2|＝2.
【答案】　(1)＋＝1　(2)2

19．(12分)(2010·课标全国)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
【解析】　(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a.l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，
所以|AB|＝|x2－x1|＝，
得a＝，故a2＝2b2.
所以E的离心率e＝＝＝.
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝＝＝－c，y0＝x0＋c＝.
由|PA|＝|PB|得kPN＝－1.
即＝－1，得c＝3，从而a＝3，b＝3.故椭圆E的方程为＋＝1.
【答案】　(1)　(2)＋＝1
20．(13分)如图，已知直线l与抛物线x2＝4y相切于点P(2,1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为(2,0)．

(1)若动点M满足·＋||＝0，求点M的轨迹C；
(2)若过点B的直线l′(斜率不为零)与(1)中轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间)，试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．
【解析】　(1)由x2＝4y得y＝x2，∴y′＝x.
∴直线l的斜率为y′|x＝2＝1，
故l的方程为y＝x－1，∴A(1,0)．
设M(x，y)，则＝(1,0)，＝(x－2，y)，
＝(x－1，y)，
由·＋||＝0得
1×(x－2)＋y×0＋＝0.
整理，得＋y2＝1.
(2)由l′的斜率存在且不为0，
设l′方程为x＝my＋2①
将①代入x2＋2y2＝2，并整理得，
(m2＋2)y2＋4my＋2＝0，由Δ＞0得m2＞2.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
∴②
令λ＝，则λ＝③
联立②，③得，消去y2得：
＝＝，
又m2＞2，∴∈(0,1)，∴∈(4,8)．
即.
又∵0＜λ＜1，解得3－2＜λ＜1.
【答案】　(1)＋y2＝1　(2)3－2＜λ＜1
21． (14分)(2010·江西)如图，已知抛物线C1：x2＋by＝b2经过椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的两个焦点．

(1)求椭圆C2的离心率；
(2)设点Q(3，b)，又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△QMN的重心在抛物线C1上，求C1和C2的方程．
【解析】　(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，
所以c2＋b×0＝b2，即c2＝b2.
又a2＝b2＋c2＝2c2，所以椭圆C2的离心率e＝.
(2)由(1)可知a2＝2b2，椭圆C2的方程为
＋＝1.
联立抛物线C1的方程x2＋by＝b2得：2y2－by－b2＝0，
解得：y＝－或y＝b(舍去)，
所以x＝±b，
即M，N.
所以△QMN的重心坐标为(1,0)．
因为重心在C1上 ，所以12＋b×0＝b2，得b＝1.
所以a2＝2.
所以抛物线C1的方程为x2＋y＝1，
椭圆C2的方程为＋y2＝1.
【答案】　(1)　(2)x2＋y＝1　＋y2＝1

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