紧急医疗救护选址.doc

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我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮
件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。
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日期：2014 年 _8 月 23 日

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紧急医疗救护车选址的问题

摘要

本文根据紧急医疗服务的时间紧迫性的特点，将最大覆盖模型应用于紧急医 疗救护的选址问题上，通过分析给定的时间统计数据，充分分析不同情况对紧急 医疗的需求，紧紧围绕医疗反应时间和紧急医疗覆盖范围的问题，寻求解决医疗 设施分配问题的最优解。决策变量为紧急救护车选址点，目标是使平均响应时间 最小或是尽可能多的覆盖人口。
当医疗救护资源数目充足时，充分考虑救护响应时间，均匀分配救护资源以 确保在出现紧急情况下满足居民的需要。当救护车数目不足时，在考虑响应时间
的基础上，满足尽可能多的人的需要。此外，在满足平时的紧急医疗需要的同时，
本文还考虑了在发生突发性紧急事故情况下的医疗保障问题。基于改进的 MCLP 模型，增大多重医疗保障的区域，从而给出该问题的较优解。
在多种情况的试验中发现该算法具有其对此类选址问题分析的可行性，可以 在各种不同情况的分析计算中找到令人满意的结果。
三台救护车和两台救护车可以实现覆盖所有人，一台救护车最多可以覆盖 59.26%的人口。第四问中给出了应对突发灾难性事件的应对方案。
最后说明该模型的缺点以及需要改进的地方。

关键词：紧急医疗、最大覆盖、选址

一、问题重述

一个城市的应急服务协调机构（ESC）负责安排全市三辆救护车位置，目的 是最大限度地提高紧急呼叫的居民数量，可在 8 分钟内达到指定地点。城市划分 为 6 个区，从一个区域到另一个区域所需的平均时间附录 1。
每个区域 1，2，3，4，5 和 6 的居住人口在附录 2 给出。 建立模型完成下面任务
1，确定这三辆救护车的位置，最大限度的可以在 8 分钟内，到达收到需求电话
的居民位置。可以覆盖所有人吗？如果不是，确定有多少人没有在保障范围之 内？ 2，我们现在只有两辆救护车，其中一辆已经被安排去紧急呼叫的位置；我们应 该如何确定剩余两辆救护车的位置，最大限度的人可以在 8 分钟内到达收到需求 电话的居民位置？可以覆盖所有人？如果不是，确定有多少人没有在保障范围之 内？ 3，两辆救护车已经被安排去紧急呼叫的位置；我们应该如何确定最后一辆救护 车的位置，？可以覆盖所有人？如果不是，确定有多少人没有在保障范围之内？ 4，如果在一个位置，从各个区的许多人遭遇一个突发性灾难性事件，ESC 覆盖 状况怎样？如何应付这些罕见的灾难性事件？
5，除了比赛的格式，准备一个 1-2 页的非技术的概要，概述你的建议和你从模 型分析的发现。

二、问题的分析与准备

我们拥有一定数额的紧急医疗设施，需要将这些设施分配到不同的地区，以 满足各个区域对发生紧急事故时对紧急医疗设备的需求。在分配的过程中，设备 数额有限，我们可能无法均匀分配给每个区域，以确保每个区域自身拥有满足自 身需求的医疗设备。故此我们需要让一个地区拥有一定量的医疗设备同时保障周 边地区对医疗设备的需求。所以我们在分配设备的时候，应该充分考虑紧急医疗 的时间急迫性的问题以及医疗设备所能覆盖的区域范围的问题。所谓紧迫性问题， 就是考虑医疗救护时，救护车能否在规定时间内到达需要紧急医疗的地方并提供 服务。而覆盖范围是指当资源较多时，合理分配而保证资源的最大化利用以及居 民的利益更好地得到保障；当资源不足时，应充分考虑让尽可能多的人享受医疗 服务。
分析附录 1 中的数据。规定从列中的区域到行中的区域为正向，从行中区域
到列中区域为负向，不妨将附录 1 中的数据理解为正向运动的平均时间。由生活 经验易知，两两区域之间可有多种路径和路况，所以“来”和“往”于两区域的
平均时间有差异，即正向运动和负向运动的平均时间不一定相等。而且根据分析，
在两区域间穿行，通过经由其他区域到达目的区域可能会缩短到达时间。例如从 从 6 区域到 4 区域平均时间需要 12 分钟，如果经 5 区域到 4 区域平均到达时间

减少至 6 分钟。为了减少到达时间，救护车在区域间行驶应遵循时间最短原则。 即：

∗ = min{{𝒕
+ 𝒕
},𝒕
} 𝐤∈ {1,2,3,4,5,6}
𝒕









tkj表示救护车从 j 区域到 k 区域的平均时间。
根据附录 1 数据得到救护车在区域间行驶的最短平均时间如下表：

表 1-1：从一个区域到另一个区域所需的最短平均时间

至

从
1
2
3
4
5
6
1
1
8
12
14
10
12
2
8
1
6
16
12
10
3
12
18
1.5
10
6
4
4
16
14
4
1
10
8
5
18
16
6
4
2
2
6
16
18
4
6
2
2

根据以上假设和对表 1-1 数据的分析，得到救护车在 j 处可以在 8 分钟内到 达的区域如表 1-2：

表 1-2：救护车在 j 处可以在 8 分钟内到达的区域

救护车所在位置 j
8 分钟内可以到达的区域
1
1 2
2
1 2 3
3
3 5 6
4
3 4 6
5
3 4 5 6
6
3 4 5 6

三、模型的假设及符号说明

3.1 模型假设

①假设道路时刻畅通，不同时间段对救护车的到达时间没有影响。
②突发性灾难性事件对救护车到达时间没有影响。
③假设每个区域是一个点，救护车从一个区域到另一个区域所需的平均时间即为 救护车在起止点之间运动的平均时间。
④规定一方一次紧急呼叫时仅需要一辆救护车到达该方紧急呼叫的区域。假设不 会出现多于三方同时紧急呼叫的情况。（因为无法同时派出三辆以上的救护车以
同时到达三个以上的区域）

3.2 符号说明

符号
符号意义
J
救护车位置的集合，由下标 j 表示
I
紧急呼叫的位置，由下标 i 表示
𝑡


j 点救护车到达事故点 i 的时间



救护车在 j 点的数量
𝑦={1,
i 区域可以被紧急医疗覆盖

0,

否则
𝑎={1,
地点 i 被设施 j 覆盖


0,

否则
𝑐

需要紧急呼叫的区域的人口
S
为情景集合，由下标 s 表示
𝑡∗

j 点救护车到达事故点的最短时间

四、模型建立与求解

应急服务协调机构（ESC）救护车的位置设置应保证能够使尽可能多的人在 紧急呼叫后 8 分钟内可以接受到紧急医疗服务。本文以最大覆盖选址模型（MCLP） 为基础，只考虑响应时间，在建立应急服务设施现有资源的约束下,如何使最大 数量的人口能被覆盖到，考虑分配救护车的方案。
假定有 m 件医疗服务设施。建立模型：

min∑
∈
【
− ∏
∈
(
− 𝒂

)】 ∗ 𝒄

max∑
∈
∑
∈
𝒄
∗ 𝒂

∗ 𝑿

（1.1）

（1.2）
min ∑
∈
∑
∈

𝒕∗ ∗ 𝒂
（1.3）
s.t ∑𝐗𝐢=m （1.4）
式（1）旨在找到使得到医疗保障人数最多的方案；式（2）是为了使满足
式（1）情况下获得医疗保障的人次达到最高（3）是使到达目的地的时间之和最 小，而这两个目标函数都受限于式（4）即救护车数量。
在（4）式约束下，当（1）的解为 0 时，寻找满足（3）式的最优解。即得
到总的最短响应时间。当（1）的解大于 0 时，即有部分居民无法得到医疗资源 时，在满足（1）取最小值的情况下寻找满足（2）式的最优解即覆盖人口最多。
合理的救护车数量既可以节约成本又可以使全部的区域实现 8 分钟覆盖，为 了寻找最合理的救护车数建立模型如下

=1

min ∑6



（2.1）
s.t 𝑿
+ 𝑿
≥
, （2.2）
𝑿
+ 𝑿
+ 𝑿
+ 𝑿
+ 𝑿
≥
, （2.3）
𝑿
+ 𝑿
+ 𝑿
≥
, （2.4）
𝑿
+ 𝑿
+ 𝑿
≥
, （2.5）
𝑿
+ 𝑿
+ 𝑿
+ 𝑿
≥
, （2.6）
𝑿
∈ {
,
} , ∀
∈
（2.7）

目标函数(2.1) 表示使救护车数量最小。约束条件(2.2)、（2.3）、（2.4）、
（2.5）、（2.6）确保每个区域都可以在 8 分钟内的到紧急医疗服务。约束条件（2.7）
表示 0-1 整数约束。通过 MATLAB 求解得到目标函数的最小值为 2

4.1 问题（1）的模型建立与求解

通过上述问题的解答可知，三辆救护车便可以覆盖 6 个区，使得其可以在 8 分钟内，到达收到需求电话的居民位置。通过 MATLAB 求解得到救护车选址可以 有以下 20 种方法：

{1 , 2 , 5}；{1 ，3 ，5}； {1 ，4 ，5}；{1 ，5 ，6}；
{1 , 2 , 6}；{1 ，3 ，6}； {1 ，4 ，6}；{2 ，3 ，5}；
{2 ，4 ，5}；{2 ，5 ，6}； {2 , 3 ，6}；{2 , 4 ，6}；
{1 ，1 ，5}；{1 ，5 ，5}； {1 ，1 ，6}；{1 ，6 ，6}；
{2 ，2 ，5}；{2 ，5 ，5}； {2 ，2 ，6}；{2 ，6 ，6}；

为了确定这三辆救护车的位置，最大限度的可以在 8 分钟内，到达收到需求 电话的居民位置，建立模型如下：

min ∑
∈
∑
∈

𝒕∗ ∗ 𝒂
(3.1)
s.t ∑
∈
𝑿
=3 (3.2)
∑
∈

𝒂

=
∀
∈
(3.3)
𝑿
≥ 𝒂

(3.4)
𝑿
, 𝒂

∈ {
,
} ∀
∈
, ∀
∈
(3.5)

目标函数(3.1) 表示使响应时间期望值最小。约束条件(3.2) 表示救护车总 共 3 台。约束条件(3.3) 表示事故点 i 最多由一个救护车负责。约束条件(3.4) 表示只有在点 j 上有救护车时，i 点的事故才有可能分配给设救护车 j。（3.5) 表示 0-1 整数约束。
在满足覆盖所有人口的前提下，总响应时间最短的选址方案即为最优方案 所有方案总响应时间如表 4-1：

表 4-1：三台救护车所有选址方案总响应时间

方案
总响应时间
{1 , 2 , 5}
14
{1 , 3 ，5}
18.5
{1 ， 4 ，5}
18
{1 ，5 ，6}
21
{1 , 2 , 6}
14
{1 , 3 ，6}
20.5
{1 ， 4 ，6}
18
{2 , 3 ，5}
18.5
{2， 4 ，5}
18
{2 ， 5 ，6}
21
{2 , 3 ，6}
20.5
{2 , 4 ，6}
18
{1 ，1 ，5}
23
{1 ，5 ，5}
23
{1 ，1 ，6}
23
{1 ，6 ，6}
23
{2 ，2 ，5}
23
{2 ，5 ，5}
23
{2 ，2 ，6}
23
{2 ，6 ，6}
23

即在 1、2、5 区域或者 1、2、6 区域设置救护车可以使救护时间最短，提 高了紧急医疗服务的效率。
通过模型计算得出来的结果，在人口密集且交通不太方便的 1、2 区以及覆 盖区域广的 5 区或 6 区建立救护点安置救护车，完全符合正常生活的需要，具有
其合理性。

4.2 问题（2）的模型建立与求解

问题 2 讨论的是当只有两辆救护车时应如何分配的问题。此时同样可以实现 对全部区域的紧急医疗服务的覆盖，为了使响应时间最短，同样求解上述模型即 可得到最优解。
通过求解模型得到满足全覆盖的两台救护车的分配方案为：
{1 ，5}、{2 ，5}、{1 ，6}、{2 ，6}， 对这些方案的总响应时间进行计算结果如表 4-2 所示：

表 4-2：两台救护车所有选址方案总响应时间

方案
总响应时间
{1, 5}
23
{2, 5}
23
{1, 6}
23
{2，6}
23

由于四种方案的总响应时间相同，决策者可以根据实际情况，添加筛选条件， 从中选出更加合适的方案进行安排布置。

4.3 问题（3）的模型建立与求解

只有一辆救护车时，无法实现对全部区域的紧急医疗服务进行覆盖。在实际 生活中，当资源无法满足所有人的情况下，通常都会采取折中的方式，让尽可能 多的人享有资源，让资源的价值得到最大化的体现。问题（3）就是这样的一类 问题，由于此时没有足够的资源去满足所有需求时，必须在给定投入下最大化的 满足需求。即：
max ∑
∈
𝒄
∗ 𝒚
（4.1）
s.t ∑
∈
𝑿
=

（4.2）
𝒚
≤ ∑
∈

𝒂

∗ 𝑿
∀
∈
（4.3）
𝑿
, 𝒚
∈ {
,
} ∀
∈
, ∀
∈
（4.4）

通过计算，可以得到以下结果：

表 4-3 一台救护车所有选址方案对总人口的覆盖率

救护车所在区域
紧急医疗的覆盖率
1
48.15%
2
59.26%
3
31.48%
4
38.89%
5
51.85%
6
51.85%

不难从表格发现，当式（4.1）取得最大值时对应的 j 应为 2，也即是说在 只有一辆救护车的情况下，将救护车安排在 2 区域紧急医疗能覆盖最大的需求量， 覆盖全市 59.26%的人口。当由于资源的短缺而无法保障所有人利益时，决策者 只能尽可能地保障更多人的利益。1、2、3 区的总人数要比 3、4、5、6 区的总 人数多，将救护车安排在 2 区域可以满足更多人的需求。由此可见，利用模型算 出来的结果跟人的逻辑思维是一致的。

4.4 问题（4）的模型建立与求解

当遭遇灾难性事件时一辆救护车的处理能力很明显不足，需要更多的救护车 到达事故区域参与紧急医疗服务。安排在不同区域的救护车到达同一受灾区域的 时间可能不同。为了应对灾难，应该每个区域至少有两台救护车可以在 8 分钟内 到达。而灾害的发生具有不可预知性，所以应使得每台救护车在满足平时需求时， 紧急呼叫服务覆盖应尽可能多的区域。即：

max ∑
∈
∑
∈
𝒂


（5.1）
s.t ∑
∈
𝑿
=3 （5.2）
（5.3）到（5.7）同（2.2）到（2.6）式
𝑿
, 𝒂

∈ {
,
} ∀
∈
, ∀
∈
（5.8）

求解模型得到当救护车安排在{2，5 ,5}；{2 , 5 ,6}；{2 , 6 ,6}使得二 次覆盖的区域最多。但灾难造成的损失程度往往不仅仅与受灾区域多少有关，往 往与人口密度也有很大关系，如地震、火灾在人口密度大的区域造成的伤害就越 大；如恐怖袭击、交通事故在人口密度大的区域往往发生的概率最大。所以在预 防灾害发生时应考虑各个区域人口的影响。即要使二次覆盖的人口最多。

max ∑
∈
∑
∈
𝒂

∗ 𝒄
（6.1）
s.t 同（5.2）到（5.8）式

当救护车安排在{2，2 ,5}；{2 , 2 ,6}时使得二次覆盖的人口最多。也即 是说，在人口密集处应多设置救护车，当灾难性的突发事件发生时，才能更好地 赶赴现场，满足更多人的医疗需求

五、模型的评价与改进

本文的最大覆盖模型有效解决了多种情况下紧急医疗救护的选址问题，根据 紧急医疗服务的时间紧迫性的特点，围绕救护车响应时间和人口覆盖率，得到紧 急医疗救护车选址问题的最优解。

5.1 模型的优点

1.对采样的数据进行优化处理
2.本文对数据的统计分析，利用了 MATLAB 建立算法程序，操作简单，使用 方便，得到了合理的计算结果。
3.从问题出发，综合分析救护车分配以及紧急医疗问题的实际情况，建立了
数学模型，可根据实际需要实际问题改变模型中的影响因素，使得模型具有更宽 泛的适用性，并通过实际数据的计算检验其合理性，从而可为紧急救护类选址问 题的决策提供有效的依据。
4.利用最大覆盖模型，忽略区域面积大小带来的影响，从而可以很容易地确 定救护车的选用地址，提高效率，更使模型适用于更大面积的救护车选址问题上，
具有较好的普适性。

5.2 模型的缺点

1.由于模型将区域理想化，忽略区域的具体形状大小，无法细致地考虑区域 内部具体的救护车覆盖情况，可能导致区域内部部分无法真正覆盖的情况出现。
2.仅用时间代表距离，无法具体到实际距离和道路情况问题，在一定程度上 减低了模型计算的精确度。
5.3 模型的改进 对于缺点，我们可以将区域细化，将区域分解成更多区域从而减少此类误差
的出现。

六、参考文献

[1]殷代君. 广义最大覆盖模型在应急设施选址中的应用研究[D].山东大学,2007. [2]王国利,胡丹丹,杨超. 高速公路上紧急救援站的选址[J]. 工业工程,2011,04:151-153 [3]求是科技编著.MATLAB7.0 从入门到精通[M].北京市：人民邮电出版社.2006.

七、非技术概要

根据紧急医疗服务的时间紧迫性的特点，在建立最大覆盖模型并将该模型 应用于紧急医疗救护的选址问题上，得出多种情况下医疗设施分配问题的最优解 之后，我们分析了模型，并对紧急医疗救护提出建议。
第一，在对模型求解并得出结果之后我们发现，在具有不同数量的救护车可 供派遣至紧急呼叫的区域时，救护车的选址不同，但多选址在人口数量较大的区
域。灾难造成的损失程度往往不仅仅与受灾区域多少有关，往往与人口密度也有
很大关系，如地震、火灾在人口密度大的区域造成的伤害就越大；如恐怖袭击、 交通事故在人口密度大的区域往往发生的概率最大。所以在预防灾害发生时应考 虑各个区域人口的影响。因此，政府在考虑医疗设施选址的问题时，因优先考虑 在人口密集的区域设立救护车和紧急医疗救护点。
第二，当救护车数量有限时，我们必须通过精确计算，以求最大化地利用有 限的资源覆盖更多的人口，而且灾害的发生地点具有不可预知性，所以应使得每 台救护车在满足平时需求时，紧急呼叫服务覆盖应尽可能多的区域，亦即要考虑 增加人口覆盖率和区域覆盖程度。
第三，在对附录数据的分析中，我们发现，两区域的来和往的平均时间可能 不相等，例如，从 6 区域到 4 区域平均时间需要 12 分钟，如果经 5 区域到 4 区
域平均到达时间减少至 6 分钟。因此，我们规定从列中的区域到行中的区域为正 向，从行中区域到列中区域为负向，表格一中的数据理解为正向运动的平均时间。
由生活经验易知，两两区域之间可有多种路径和路况，所以“来”和“往”于两 区域的平均时间有差异，即正向运动和负向运动的平均时间不一定相等。而且根
据分析，在两区域间穿行，通过经由其他区域到达目的区域可能会缩短到达时间。 为了减少到达时间，救护车在区域间行驶应遵循时间最短原则。 由此，我们确
立了区域之间通行的最短平均时间。建议考虑紧急医疗救护设施的选址时，应考 虑路况和路径等多种因素，选择合理的抵达方式，以缩短反应时间。
第四，除了本模型紧紧围绕的医疗反应时间和紧急医疗覆盖范围等因素外， 若要提升紧急医疗救护的效率和质量，还应综合考虑各方面因素。一方面，救护
车等紧急医疗设备的硬件条件亟待改进，救护站点的救护水平仍需提高；另一方 面，要增进对紧急救护信息的传递、接收和处理的效率和效果，救护车组人员应
较全面地掌握病情或灾情的细节，以便对救护车的派遣做合理的调度，满足尽可 能多的人、更需要紧急救护的人的需要。
我们真诚地希望，我们的思考和结论能对紧急医疗救护反应的改善有所裨益。

附录

附录 1：从一个区域到另一个区域所需的平均时间。

平均旅行时间 (分钟)
区域
1
2
3
4
5
6
1
1
8
12
14
10
16
2
8
1
6
18
16
16
3
12
18
1.5
12
6
4
4
16
14
4
1
16
12
5
18
16
10
4
2
2
6
16
18
4
12
2
2
附录 2：在每个区域的人口数量

区域
人口数量
1
50,000
2
80,000
3
30,000
4
55,000
5
35,000
6
20,000
合计
270,000

附录 3：
%数据预处理 A=[1,8,12,14,10,16;8,1,6,18,16,16;12,18,1.5,12,6,4;16,14,4,1,16,12;18
,16,10,4,2,2;16,18,4,12,2,2]; i=1;
B=[0,0,0;0,0,0;0,0,0;0,0,0;0,0,0;0,0,0;0,0,0;0,0,0;0,0,0];
C=zeros(6); D=[50000,80000,30000,55000,35000,20000];
finish=0;
k=1;
while i==1
i=0; j=1;
for a=1:6
for b=1:6 for j=1:6
if A(a,b)>A(a,j)+A(j,b)
A(a,b)=A(a,j)+A(j,b);

B(k,1)=a;
B(k,2)=j;
B(k,3)=b;

end end end end end
for a=1:6 for b=1:6 if A(a,b)>8 C(a,b)=0;
else C(a,b)=1;
end end
end

%question two E=zeros(21,3); n=1;
for a=1:6 for b=a:6
for k=1:6
i=1;

k=k+1;

end E(n,2)=a;
E(n,3)=b;
E(n,1)=E(n,1)+(C(a,k)|C(b,k))*D(k);

end end
n=n+1;
M=max(E); n=1;
x2=zeros(1,21);
y2=zeros(1,21); M=M(1);
for i=1:21 if E(i,1)==M
x2(n)=E(i,2);
y2(n)=E(i,3);
n=n+1;
end

end

%question 3 F=zeros(6,2); n=1;
for b=1:6 for k=1:6
F(n,1)=F(n,1)+C(b,k)*D(k);
end F(n,2)=b;
n=n+1;
end M=max(F);
n=1;
x1=zeros(1,6); M=M(1);
for i=1:6 if F(i,1)==M
x1(n)=F(i,2);
n=n+1;
end end