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作业3 刚 体
3-1 一飞轮的转动惯量为J，在 t = 0时角速度为，此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度的平方成正比，比例系数k > 0，当时，飞轮的
角加速度 ，从开始制动到时，所经过的时间 t = .
解：由转动定律： 将代入 得
由 解得
3-2 一滑轮半径为10cm, 转动惯量为 ,有一变力 (N)沿切线方向作用在滑轮的边沿上，滑轮所受力矩为 ．如果滑轮最初处于静止状态，则在s后的角速度为 49.5 rad/s．
解：
___rad/s
3-3 如图，滑块A，重物B和滑轮C的质量分别为mA = 50 kg，mB = 200 kg和mC = 15 kg，滑轮半径为R = 0.10 m，，A与桌面之间，滑轮与轴承间均无摩擦，绳质量可不计，绳与滑轮间无相对滑动．求滑块A的加速度及滑轮两边绳中的张力．
A
B
C
题3-3图
解：P110 6.3 （1）
（2）
（3）
（4）
所以 = 7.61 m/s2
= 381 N
= 440 N
3-5 以力F 将一块粗糙平面紧压在轮上，平面与轮之间的滑动摩擦系数为，轮的初角速度为 ，问转过多少角度时轮即停止转动？已知轮的半径为R，质量为m，可视为匀质圆盘，转动惯量为 J = mR2/2；轴的质量忽略不计；压力F均匀分布在轮面上． P115 6.13
题3-5图
粗糙平面
轮
轴
解：以轮心为中心，r为半径，取宽为dr的细环，
细环上压力为 ，
细环上摩擦力为
df对轴的力矩为
总摩擦力矩为
由动能定理 ∴
题3-6图
3-6 已知滑轮对中心轴的转动惯量为J，半径为R，物体的质量为m，弹簧的劲度系数为k，斜面的倾角为，物体与斜面间光滑，系统从静止释放，
且释放时绳子无伸长（如图所示），求物体下滑x距离时的速率．
原题 5－5 解：∵ 仅保守力作功，∴ 机械能守恒
而 ∴
3-7 氧分子对垂直于两氧原子连线的对称轴的转动惯量为1.94，氧分子质量为5.30kg．若氧气中有一个氧分子具有500 m/s 的平动速率，且这个分子的转动动能是其平动动能的2/3．这个分子转动角速度大小为 6.75×1012 (rad/s)．
解：，，，= 6.75×1012(rad/s)
P116 6.14
3-8 一人手执两个哑铃，两臂平伸坐在以角速度旋转的转轴处，摩擦可不计，现突然将两臂收回，转动惯量为原来的1/3，则收臂后的转动动能是收臂前的 3 倍．
解： 收臂后角速度 ，收臂前动能
收臂后动能 ∴题3-11图
3-12 如图所示，一质量m、长 l 的匀质细杆，以O点为轴，从静止在与竖直方向成角处自由下摆，到竖直位置时与光滑桌面上一质量也为m的静止物块（可视为质点）发生弹性碰撞，已知杆对O轴的转动惯量为．求：⑴棒开始转动时的角加速度;
题3-12图
⑵ 棒转到竖直位置碰撞前的角速度及棒中央点C的速度．
⑶ 碰撞后杆的角速度和物块的线速度．
解：⑴ 由转动定律
联立求得 （）
⑵ 棒从角转到竖直位置过程，机械能守恒有：
，
得： ①，
⑶ 棒与物块在弹性碰撞过程中对转轴的角动量守恒，有：
②
由机械能守恒，得： ③
联立 ① ② ③ 式得：
（逆时针反转）
3-13 单摆和直杆等长l，等质量m，悬挂于同一点O，摆锤拉到高度h0（h0 ≤ l ）放开，与静止的直杆作弹性碰撞，已知直杆绕O点的转动惯量，求碰撞后直杆下端可上升的最大高度h．
h0
l
l
m
m
O
题3-13图
解: 碰撞前摆锤速率
设碰撞后摆锤速率，直杆角速率，已知 ，则
碰撞前后角动量守恒
碰撞前后机械能守恒
直杆上升过程机械能守恒
解得
题3-14图
*3-14 一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心O的固定水平轴在铅垂平面内自由转动（转动惯量为 ），开始时杆静止于水平位置．一质量与杆相同的昆虫以速率垂直落到距O点 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示．若要使杆以匀角速度转动，试求昆虫沿杆爬行的速率．P107 6.5
解：设杆和虫的重量均为m，碰后角速度为，虫落到杆上为完全非弹性碰撞（时间很短，重力可忽略），对杆和虫的系统，合外力矩为零，角动量守恒
得
设碰后t时刻，杆转过角，虫爬到距O点为r处，此时杆和虫系统所受合外力矩为
根据角动量定理有
由题设不变，∴
t时刻系统对O的转动惯量为 ，代入上式，有
∴ 为了保持不变，虫的爬行速录应为
作业5 热力学基础
题5-1图
a
b
O
V
2P1
P1
2V1
V1
5-1 一定量理想气体从a (2p1，V1) 状态经历如图直线过程到 b(p1，2V1) 状态，则在ab过程中系统对外作功
A = 3P1V1/2 ，内能改变 = 0 ．
解： 面积，
又因为，所以，
5-4 图示为1摩尔的理想气体的T-V图，ab为直线，其延长线过O点，则ab过程是 等压 过程，在此过程中气体对外作功为 RT0/2 ．
V
T
O
a
b
T0
V0
2V0
题5-4图
原题 9—4
题5-8图
5-8 1 mol理想气体，，进行图示的循环，ab和cd为等压过程，bc和da为等体过程，已知：Pa，L，Pa，L．试求循环的效率．
解： 循环中气体做功
= …… = 1.013 × 102 (J)
=…= 24.4 (K)；=…= 48.8 (K)；
=…= 12.2 (K).
在 da等体过程和ab等压过程中，气体吸热
=…= 659 (J)
∴ 循环的效率 =…=15.4%
5-9 一卡诺热机工作于温度为1000 K与300 K的两个热源之间，如果
⑴ 将高温热源的温度提高100 K，则理论上热机的效率将增加 3 %；
⑵ 将低温热源的温度降低100 K，则理论上热机的效率各增加 10 %．
解：热机工作在1000 K与300 K之间时的效率 =…= 70%
⑴ 高温热源提高100 K时的效率 =…= 73%，提高= 3%；
⑵ 低温热源降低100 K时的效率 =…= 80%，提高= 10%；
5-12 一台电冰箱，为了制冰从260 K的冷冻室取走热量209 kJ．如果室温是300 K，电力做功至少应是多少（假定冰箱为理想卡诺循环致冷机）？如果此冰箱能以0.209 kJ/s的速率取出热量，试问所需电功率应是多少？
解：
此卡诺循环的致冷系数为 =…= 6.5
从冷冻室取走热量209 kJ时，所需电功至少为=…= 3.22×104 J = 32.2 kJ
如果此冰箱以0.209 kJ/s的速率取出热量，所需电功率至少为
= 32.2 w
*5-13 有一套动力装置，用蒸汽机带动致冷机．若蒸汽机锅炉的温度为227℃，用暖气系统作为蒸汽机的制冷器，制冷器温度为57℃；致冷机在温度为7℃的天然蓄水池中吸热，并放给暖气系统．试求每燃烧1 kg燃料（燃烧值为2.00×107 J/kg）所能共给暖气系统热量的理想值．
解：
蒸汽机的效率为 = 34%
从1 kg燃料中吸收的热量为 = 2.00×107 J
对外做功为 =…= 6.80×106 J
因此放入暖气系统的热量为 = 1.32×107 J
致冷机的致冷系数为 = 5.6
它从天然蓄水池中吸热 = 3.81×107 J
每燃烧1 kg燃料所能共给暖气系统的总热量为
=…= 5.81×107 J
作业7 振 动
7-1 固体中相邻原子之间的作用力类似于用弹簧联接的弹力．在常温下，固体中原子振动的频率约为 Hz，某固体中的一个银原子以此频率振动，假设其余原子都不动．已知一摩尔银（有6.02个原子）的质量为 108 g．则原子间的等
效劲度系数为 707 N/m．
P131. 7.4 解：银原子质量 m = 108×10-3/6.02×1023 , = 707 N/m．
7-2 喇叭膜片作简谐振动，频率为 440 Hz，其最大位移为 0.75 mm，则角频率为
880π ；最大速率为 2.07 m/s；最大加速度为 5.73×103 m/s2．
P132. 7.6 解：，；，；
，
7-3 一汽车可视为是被支撑在四根相同的弹簧上，可沿铅垂方向振动，频率为3.00 Hz，车的质量为 1450 kg，设车重均匀的分配在四根弹簧上，则每根弹簧的劲度系数k = 1.288×105 N/m；若有平均质量为 73.00 kg的 5 个人坐在车上，仍定车和人的总重量均分于四根弹簧上，则此时车与人所构成系统的振动频率为v = 2.68 Hz．
P137 7.14 解：四根弹簧并联 ，，_= 1.288×105 N/m
M = 1450 + 73 × 5，_ = 2.68 Hz
(a)
x
t (s)
A
A/2
P
O
1
(b)
x
t (s)
A
O
1
7-4 图(a)、(b)为两个简谐振动的 x ~t曲线，用余弦函数表示振动时，它们的初相位分别是 = - p/3 ，= p/2 ；角频率分别为 = 5p/6 rad/s，= p rad/s；图(a)曲线上P点的相位 = p/3 ，速度的方向为 负 ，加速度的方向与速度的方向 相同 ，达到P点的时刻 t = 0.8 s．
原题 19-4
题7-4图
题7-6图
7-6 一长方形木块浮于静水中，其浸入深度为 h，用手慢慢下压木块，使其浸入深度变为 b，然后放手任其运动．⑴ 试证明：若不计阻力，木块的运动为谐振动，并写出木块运动的动力学（微分）方程；⑵ 求振动的角频率，周期，振幅，初相位，并写出木块的运动学（余弦函数）方程．P138 7.15
解：⑴ 取如图所示的坐标系，
木块在任一位置x处所受浮力为
由平衡条件有
木块所受合力为
木块运动微分方程为
即
∴木块的运动为谐振动．
⑵ 振动的角频率 ， 周期
设木块的运动学方程为
由初始条件 t = 0时 ，，求得
振幅 ， 初相位
∴木块的运动学方程为
*7-14 如图所示，一直角匀质刚性细杆，水平部分杆长为l，质量为m，竖直部分杆长为 2l，质量为2m，细杆可绕直角顶点处的水平固定轴O无摩擦地转动，水平杆的末端与劲度系数为k的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置．试求杆作微小摆动时的周期． P122 7-1
题7-14图
解：设平衡时弹簧伸长，∵细杆系统O的对合外力矩为零，有
当细杆摆到任意角度位置时，弹簧的伸长量为，细杆系统所受合外力矩为
②
∵摆动幅度微小， ∴ ，，，
以上各式与式①一同代入式②，有
由刚体的定轴转动定律，有
细杆对O的总转动惯量为
∴细杆作微小摆动的微分方程为
角频率为 ， 周期为
*7-15 设有两个相互垂直的同频率谐振动 和 ，其中．求合振动的轨迹． P144 7.26
解：
由x方向的振动得 ①
由y方向的振动得
也可写成 ②
将式①和式②平方后相加，有
式中 ，，代入上式并化简，
得合振动的轨迹方程
该轨迹为斜椭圆，如图所示．
作业9 光的干涉
9-1 两束平面相干光都以光强平行地照射到某一表面上，两光合成可能达到的最大强度是 ．
9-2 在双缝干涉实验中，光的波长为600 nm，双缝间距为2 mm， 双缝与屏的间距为3.00 m，在屏上形成干涉图样的明条纹间距为 0.9 mm．
解：双缝干涉相邻明条纹间距为
9-3 在真空中波长为的单色光，在折射率为n的透明介质中从A沿某路径传播到B．若A、B两点相位差为，则此路径AB的光程差为 ．
9-4 在双缝干涉实验中，入射光的波长为，用透明玻璃纸遮住双缝中的一个缝，若玻璃纸中光程比相同厚度的空气的光程大 2.5， 则屏上原来的明纹处变为
暗纹 ．（填明纹、暗纹、无法确定）．
9-5 在双缝干涉实验中，用汞弧灯加上绿色滤波片作光源，两缝间距为0.6 mm, 在2.5 m远处的屏幕上出现干涉条纹，测得相邻两明纹中心距离为2.27 mm．求入射光的波长．
解：相邻两条纹的间距
=mnm
题9-6图
S1
S2
S
9-6 如图所示，在双缝干涉实验中入射光的波长为550 nm，用一厚度为的透明薄片盖住缝，发现中央明纹移动了3个条纹，上移至点，求透明薄片的折射率．
解：当透明薄片盖住一条缝时，光程差将增加 ，正是这一附加光程差使中央明纹移动到原来3级明纹的位置，
即 ，
题9-9图
9-9 一束波长为的单色平行光垂直照射在薄膜上，经上、下两表面反射的两束光发生干涉，如图所示，薄膜厚度为e．
⑴ 若n1n2n3，则两束反射光的光程差 ；
⑵ 若，则两束反射光的光程差 ．
解：⑴ n1n2n3，上表面反射光1有半波损，下表面反射光2没有半波损，
故两束反射光程差为
⑵ 若，上、下两表面反射光均有半波损，光程差为
9-10 一束波长为的单色光由空气垂直入射到折射率为n的透明薄膜上，透明薄膜放在空气中，要使反射光得到干涉加强，则薄膜的最小厚度为 ．
解：上表面反射光有半波损，下表面反射光没有半波损，光程差为
干涉加强条件为 取，
9-11 将单色光垂直照射在空气劈尖上，若将整个劈尖装置由空气放入水中，观察劈尖条纹的变化为 变窄 （填“变窄”或“不变”或“增大”）．
解：由劈尖条纹间距公式 ，劈尖由空气放入水中增大，不变，∴减小．
题9-12图
9-12 在图示的三种透明材料构成的牛顿环装置中，用单色光垂直照射，在反射光中看到干涉条纹，则在接触点P附近形成的圆斑为：右半部 暗 （填“明”或“暗”），左半部 明 （填“明”或“暗”）．
解：在接触点，．在左半边上下表面反射光均有半波损，光程差为0，为明纹．而在右半边，仅上表面反射光有半波损,光程差为,为暗纹.
题9-13图
9-13 如图所示，用波长为的单色光垂直照射折射率为的劈尖膜（）观察反射光干涉，从劈尖顶开始，第2条明纹对应的薄膜厚度为_______．
解：劈尖膜仅下表面反射光有半波损．∴ 得
9-14 为了测量由两平板玻璃构成的空气劈尖的微小夹角,用波长为589 nm的平行光垂直照射空气劈尖,测得反射光的等厚干涉条纹的间距mm．⑴求劈尖的夹角；⑵接着在该空气劈尖中充满待测液体，再测得干涉条纹间距mm,求液体的折射率．
解：⑴ 劈尖等厚干涉条纹间距
空气劈尖 ，劈尖的夹角一般很小，
rad
⑵ 充液后 mm ，但和都保持不变，设待测液体的折射率为，则
9-15 牛顿环装置中平凸透镜的曲率半径R = 2.00 m，垂直入射的光波长，让折射率为n = 1.461的液体充满平凸透镜和平板玻璃之间形成的环形薄膜间隙中．求：⑴ 充以液体前后第10暗环条纹半径之比是多少？⑵ 充液之后此暗环的半径（即第10暗环的r10）为多少？
解：⑴ 第K条暗环半径为
∴
即由空气到液体牛顿环半径变小，条纹向中心收缩．
⑵ mm
9-16 白光垂直照射到空气中一厚度为380 nm的肥皂水膜上，问肥皂水膜表面呈现什么颜色？（肥皂水的折射率看作1.33）．
解：从肥皂膜两表面反射的两条光线的光程差 ，
当，时，反射光最强，解得相应波长 ，
已知，，在白光范围400 ~ 760 nm内，只能取和，
相应波长为（红色），（紫色）所以肥皂水膜表面呈紫红色．
9-17 在折射率的照相机镜头表面镀有一层折射率的MgF2增透膜，若此膜可使波长nm的光透射增强，问此膜的最小厚度为多少？
解：，上、下两表面反射光均有半波损，光程差为
为使给定波长的透射光增强，要求该波长光反射光干涉相消，应满足条件
取，对应膜的最小厚度
9-18 在迈克尔逊干涉仪的一条光路中，放入一折射率为，厚度为d的透明薄片，放入后，这条光路的光程改变了 ．
作业11 光的偏振
11-1 一束部分偏振光由自然光和线偏振光相混合而成，使之垂直通过一检偏器．当检偏器以入射光方向为轴进行旋转检偏时，测得透过检偏器的最大光强为I1，最小光强为I2，如果所用检偏器在其透光轴方向无吸收，则入射光中自然光的强度
为 2I2 ；线偏振光的强度为 I1 - I2 ．
原23-3题
11-2 两偏振片的偏振化方向的夹角由45o转到60o，则转动前后透过这两个偏振片的透射光的强度之比为 2 ．
原23-5题，解：，，……
11-3 一束光强为I0的自然光光波，通过三个偏振片P1，P2，P3后，出射光强为．已知P1和P3偏振化方向相互垂直，若以入射光为轴转动P2，使出射光强为零，P2最少要转动角度为 45° ．
解：自然光通过光强为；通过光强为；
再通过光强为．算得
若以入射光为轴，转动P2使出射光强为零，P2最少要转动角度为45º.
11-4 要使一束线偏振光通过偏振片后振动方向转过，至少需要让这束光通过__2__块理想偏振片，在此情况下，透射最大光强是原来光强的__1/4__倍．
解：至少需2块．线偏振光通过光强 ，
通过光强 ∴
11-5 光强度为I0的自然光投射到一组偏振片上，它们的偏振化方向的夹角是：P2与P3为、P2与P1为．则透射光的光强为多大？将P2拿掉后又是多大？
图(a)
解：如图(a)示，通过第一偏振片P1后光强为
通过第二偏振片P2后光强为
通过第三偏振片P3后光强为
图(b)
去掉第二偏振片P2后有两种情况：
⑴如图(a)示，P1、P3正交
有
⑵如图(b)示， P1与P3夹角为
有
题11-6图
I
11-8 当一束自然光在两种介质分界面处发生反射和折射时，若反射光为完全偏振光，则折射光为 部分偏振 光，且反射光和折射光之间的夹角为 90° ．
题11-9图
1
2
11-9 一束自然光自空气射入一块平面玻璃上（如图所示），设入射角等于布儒斯特角i0，则在界面2的反射光是
振动方向⊥入射面的线偏振 光．
原23-2题
11-10 自然光以55°角从水中人射到另一种透明媒质表面时，其反射光为线偏振光，已知水的折射率是1.33，则上述媒质的折射率为 1.9 ；透入到媒质的折射光的折射角是 35° ．
原23-1题
11-11 某种透明媒质对于空气的全反射临界角为45°，光从空气射向此媒质的布儒斯特角为 54.7° ．
解：若临界角为，由反射定律，∴
再由布儒斯特定律，∴
11-12 水的折射率为1.33，玻璃折射率为1.50，当光由水中射向玻璃而反射时，起偏振角为多少？当光由玻璃射向水面反射时，起偏振角又为多少？
解： 设水的折射率为，玻璃的折射率为，当光由水射向玻璃反射时，
由布儒斯特定律，
若光由玻璃射向水面被反射，则起偏角为
11-13 晶体内不发生双折射的方向 称为晶体的光轴；主平面由 光线与光轴 构成． （原23-7题）
11-14 主折射率为no=2.0，ne=1.5的单轴晶体，一平面单色自然光由空气入射到晶体表面，光轴方位以及入射光的方向分别如图(a)、(b)、(c)、(d)所示．试用惠更斯作图法分别画出这四种情形中o光和e光的光路及振动方向．
光轴
题11-14图(a)
解：，
(a)作图步骤：① 作AB⊥BD，令，
② 在晶体内以A点为圆心，作半径为的半圆，及半长轴为，半短轴为的半椭圆，两者相切于光轴处．
③ 自D点引半圆的切线，切点为O点，连接AO并延长即为o光光线；
④ 自D点引半椭圆的切线，切点为E点，连接AE并延长即为e光光线；
⑤ o光振动⊥o主平面，为“●”振动；e光振动在e主平面内，为“—”振动．
⑥ 由晶体出射的所有光线均与入射光线平行.
题11-14图(b)
光轴
(b)作图步骤：
① 在晶体内分别以A点和D点为圆心，作半径为（可任取）的半圆，及半长轴为，半短轴为的半椭圆，两者相切于光轴处．
② 作两半圆的公切线，切点为O，连接AO并延长即为o光光线；
③ 作两半椭圆的公切线，切点为E，连接AE并延长即为e光光线；
④ o光振动⊥o主平面，为“●”振动；e光振动在e主平面内，为“—”振动．
⑤ 由晶体出射的所有光线均与入射光线平行．
题11-14图(c)
∷光轴
(c)作图步骤：① 作AB⊥BD，令,
② 在晶体内以A点为圆心，分别作半径为和的半圆.
③ 自D点引半圆的切线，切点为O点，连接AO并延长即为o光光线；
④ 自D点引半椭圆的切线，切点为E点，连接AE并延长即为e光光线；
⑤ o光振动⊥o主平面（o光线与光轴组成的面），为“—”振动；e光振动在e主平面（e光线与光轴组成的面）内，为“●”振动．
⑥ 由晶体出射的所有光线均与入射光线平行．
(d)作图步骤：① 作AB⊥BD，令，
题11-14图(d)
光轴
② 在晶体内以A点为圆心，作半径为的半圆，及半长轴为，半短轴为的半椭圆，两者相切于光轴处．
③ 自D点引半圆的切线，切点为O点，连接AO并延长即为o光光线；
④ 自D点引半椭圆的切线，切点为E点，连接AE并延长即为e光光线；
⑤ o光振动⊥o主平面，为“●”振动；e光振动在e主平面内，为“—”振动．
⑥ 由晶体出射的所有光线均与入射光线平行．
*11-15 如图所示的渥拉斯顿棱镜用方解石（no=1.6584，ne=1.4864）制成，并且顶角．⑴ 试求当一束自然光垂直入射时，从棱镜出射的两束线偏振光的夹角，并示意画出光路及偏振态．⑵ 若渥拉斯顿棱镜改用石英（no=1.54424, ne=1.55335）制成，求两线偏振光的夹角．
自然光
光轴
光轴
A
B
C
D
题11-15图
解：
∵两块棱镜的光轴垂直，∴在界面AC处，ｏ光和ｅ光发生了转化． 而且在第二棱镜中两光均遵从折射定律．
o光
e光
e光
o光
自然光
光轴
光轴
A
B
C
D
∵，∴垂直振动是光密→光疏，光线远离法线；而 平行振动是光疏→光密，光线靠近法线；当两光线出晶体时，均是光密→光疏，均远离法线 ．
AC面上 ①
光轴
光轴
②
CD面上 ③
④
⑤
⑴ 将 no=1.6584, ne=1.4864 代入上述式子，可求得：
52.086°，39.329°；10.566°，9.432°；19.998° = 20°0′
⑵ 将 no=1.54424, ne=1.55335 代入上述式子，可求得：
44.665°，45.339°；0.520°，0.524°；1.044° = 1°2.6′
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