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高中数学集合复习学案
§01. 集合
高考要求
集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用 本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用
重难点归纳
1 解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题
2 注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论
一、知识结构:

二、知识回顾：
1. 定义：
一般地，把研究的对象统称为 ；
把一些对象组成的 叫做集合（简称为 ）。
2. 表示：
列举法：把集合中的元素 ，并用 括起来表示集合的方法叫做列举法，如{a，b，c}。
描述法：用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的 ，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 。形式为：P={x∣P(x)}.如：
图：在数学中，经常用平面上 代表集合，这种图称为图。
常用数集：复数集 ，实数集 ，有理数集 ，整数集 ，自然数集 ，正整数集 （或 ）。
3. 分类： 、 、 。
4. 元素的性质：
：必居其一；
：不写{1，1，2，3}，而是{1，2，3}，集合中元素互不相同；
：如{1，2，3}={3，2，1}。
5.关系：
（1）．元素与集合的关系：
如果是集合的元素，就说 集合，记作 ；
如果不是集合的元素，就说 集合，记作 ；
（2）．集合与集合的关系：
①子集：定义：一般地，对于两个集合，，如果集合中的 ，则称集合是集合的子集。
B
A
B，A
表示 记作： ；Venn图: 或

性质：对任何集合有 ， 。
B
A
②真子集：定义：若，但存在 ，则称集合是集合的真子集。
表示 记作： ；Venn图:
性质：若，则 ， 。A ；
B，A
③集合相等：定义： ，则称集合与集合相等。
表示： ； Venn图:
性质： 。
④空集：把 的集合叫做空集，用 表示。
对任何集合A有，若则A。
注意：
6. 子集的个数
若，则A的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为 个， 个和 个。
7．交集：
①．定义：一般地，由 的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。
A
B

②．表示：数学符号；
数学式；Venn图:
③．简单性质：

8．并集：
①．定义：一般地，由所有 的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。
A
B
②．表示：数学符号；
数学式；Venn图:
③．简单性质：

9．全集与补集：
①．定义：一般地，如果一个集合含有我们所要研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集，记作 ；
对于一个集合，由全集中 组成的集合称为 的补集；
U
A
②．表示：数学符号；
数学式；Venn图:
③．简单性质：
， ， 。
10．集合的另外性质：
⑴．
⑵．
⑶．
11．有限集的元素个数
定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.
基本公式：

(3) card(ðUA)= card(U)- card(A)
三、典型例题
例1设A={(x，y)|y2－x－1=0}，B={(x，y)|4x2+2x－2y+5=0}，C={(x，y)|y=kx+b}，是否存在k、b∈N，使得(A∪B)∩C=，证明此结论

例2 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人 问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

例3已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0} ，B={(x,y)|x－y+1=0且0≤x≤2} ，如果A∩B≠，求实数m的取值范围

四、学生巩固练习
1 集合M={x|x=，k∈Z}，N={x|x=,k∈Z}，则( )
A M=N B MN 　C MN D M∩N=
2 已知集合A={x|－2≤x≤7}，B={x|m+1<x<2m－1}且B≠，若A∪B=A，则( )
A －3≤m≤4 B －3<m<4　　C 2<m<4 D 2<m≤4
3 已知集合A={x∈R|ax2－3x+2=0,a∈R}，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是_________
4 x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1}，B={(x,y)| =1，a>0，b>0}，当A∩B只有一个元素时，a,b的关系式是_________
5 集合A={x|x2－ax+a2－19=0}，B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0}，求当a取什么实数时，A∩B 和A∩C=同时成立
6 已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn，设集合A={(an,)|n∈N*}，B={(x,y)| x2－y2=1，x，y∈R}
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
(2)A∩B至多有一个元素；
(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠
7 已知集合A={z||z－2|≤2，z∈C}，集合B={w|w=zi+b,b∈R}，当A∩B=B时，求b的值
8 设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}
(1)求证 AB ；
(2)如果A={－1，3}，求B

五、高考真题再现：
1．(2009山东卷文理)集合,,若,则的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
2．（2009浙江理）已知是实数，则“且”是“且”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2010山东文数(7)）设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的
（A）充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
4．（2010山东文数（1））已知全集，集合，则=
A. B.
C． D.
5．（2010山东理数1.）已知全集U=R，集合M={x||x-1|2},则
（A）{x|-1<x<3} (B){x|-1x3} (C){x|x<-1或x>3} (D){x|x-1或x3}
6．（ 2011山东理1.）设集合，，则
（A） (B) (C) (D)
7．（2011山东理5.）对于函数,“的图象关于y轴对称”是“=是奇函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要
8．（2011山东文（1））设集合 ={x|(x+3)(x-2)<0}， ={x|1≤x≤3},则
（A）[1,2) （B）[1,2] （C）( 2,3] （D）[2,3]
9．（2011山东文（5））已知a，b，c∈R，命题“若=3，则≥3”，的否命题是
（A）若a+b+c≠3，则<3
（B）若a+b+c=3，则<3
（C）若a+b+c≠3，则≥3
（D）若≥3，则a+b+c=3。
10．（2011天津理9．）设集合，．若，则实数必满足（　　）．
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．