二元一次不等式组及线性规划问题.doc

二元一次不等式组与简单的线性规划问题
学习目标： 1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.
3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
活动一：二元一次不等式(组)表示平面区域
知识梳理
二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)判断不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域，可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax＋By＋C的正负．当C≠0时，常选用原点(0,0)．
对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，
①Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0________的区域；
②Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0________的区域．
(2)画不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域时，其边界直线应为虚线；画不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域时，边界直线应为实线．画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界”、原点定“域”．
习题演练：
1. 在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是_____________

2.如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．　

活动二：线性规划应用
线性规划的有关概念
(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组．
(2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．
(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题．
(4)可行解：满足____________的解(x，y)．
(5)可行域：所有________组成的集合．
(6)最优解：使____________取得最大值或最小值的可行解．
3．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)作出目标函数的等值线．
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定__________．

习题演练：
1. 设变量x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最大值为________．
2. 若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m＝________.
3. 已知α，β是方程x2＋ax＋2b＝0的两个根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a，b∈R，则的最大值为________.
例题讲解
例1. 例 已知满足以下约束条件　，
（1）设，求的取值范围；（2）设，求的取值范围；
（3）设，求的最小值．

上述例题条件不变，探求下列各式的取值范围：
变式训练一：
（1）已知，求的取值范围；

（2）已知，求的最小值．

变式训练二：
（1）已知，求的最小值；

（2）已知，求的取值范围．

变式训练三：
（1）已知，求的取值范围；

（2）已知，求的取值范围；

（3）若目标函数取得最小值时的最优解有无数个，则实数的值为 ；

（4）若目标函数仅在点处取得最小值，则实数的取值范围为 ；

（5）若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为 ．

[类题通法]
1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有：
(1)截距型：形如z＝ax＋by. 求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝.
注意：转化的等价性及几何意义．
例2.（ 线性规划的实际应用）
某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，求租金最小值.

二元一次不等式组与简单的线性
规划问题作业
1. 若点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则实数a的取值范围是________．

2．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为________．
3．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给
定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为______________．

4．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为________．

5．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于________元．

6．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是________．

7．已知实数x、y同时满足以下三个条件：①x－y＋2≤0；②x≥1；③x＋y－7≤0，则的取值范围是______________．
8．设不等式组表示的平面区域为M，若函数y＝k(x＋1)＋1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是____________．

9. 已知
求：(1)z＝x＋2y－4的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(3)z＝的范围．

10. 预算用2 000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？

3. 基本不等式及其应用
学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
知识梳理：1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：__________.
(2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥______ (a，b∈R)．
(2)＋≥____(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)2____.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为__________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：____________________________________.
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当______时，x＋y有最____值是______(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当______时，xy有最____值是________(简记：和定积最大)．
【活动1】
1. 函数y＝x＋(x＞0)的值域为________．
2. 已知x＜0，则f(x)＝2＋＋x的最大值为________．
3. 若x>1，则x＋的最小值为________．
4. 已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；
5. 当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．
6. 函数y＝(x>1)的最小值是________．
7. 设x,y的最小值为_______

【活动2】
1. 已知0<x<1，则x(1－x)取得最大值时x的值为________．
2. 已知0<x<，则x(4－3x)的最大值为________；
3. 已知且，则的最大值是
【活动3】
1. 已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为________．
2. 已知x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则z＝＋的最小值为________．
3. 设且,则的最小值是
4. 已知:且,那么的最大值是
5. 已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．
6. 正数x，y满足＋＝1.(1)求xy的最小值；(2)求x＋2y的最小值．

7. 若求的最小值.

1、已知，求的最小值.

2、已知且，求的最小值.

3、已知且+1，求的最值.

4、已知且+1，求的最小值.

5、已知且＋＝1，求xy的最小值.

6、已知a>b>c，且＋≥恒成立，求k的取值范围.

8. 已知正数x，y满足＋＝1，则x＋y的最小值为________．

9. 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．

10. 若x，y∈(0，＋∞)，x＋2y＋xy＝30.
(1)求xy的取值范围； (2)求x＋y的取值范围．

11. 设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．

12. 若实数满足，则的最大值是____________.

13. 设为实数，若则的最大值是 .

14. 已知实数满足：，且，则的最小值
为__________．

3. 基本不等式及其应用作业
1．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为________．

2．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．

3．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是______．

4．一批货物随17列货车从A市以a km/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400 km，为了安全，两列车之间的距离不得小于2 km，那么这批货物全部运到B市，最快需要________h.
5．设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by (a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为________．

6．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．

7．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．

8．常数a，b和正变量x，y满足ab＝16，＋＝.若x＋2y的最小值为64，则ab＝________.

9. 已知函数f(x)＝x＋(p为常数，且p＞0)若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．

10. 已知函数f(x)＝log2(x－2)．若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值是________．

11. 经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y＝(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

11