【优化指导】2015高考数学总复习 第5章 第2节 平面向量基本定理及向量的坐标运算课时跟踪检测 理(含解析).doc

【优化指导】2015高考数学总复习 第5章 第2节 平面向量基本定理及向量的坐标运算课时跟踪检测 理（含解析）新人教版

1．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设＝m ＋n ，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足(　　)

A．m>0，n>0　　　　　　　　 B．m>0，n<0
C．m<0，n>0　　　　 D．m<0，n<0
解析：选B　由题意及平面向量基本定理易得在＝m ＋n 中，m>0，n<0.故选B.
2．(2014·湖北三校联考)已知点A(1,3)，B(4，－1)则与同方向的单位向量是(　　)
A.　　　　 B.
C.　　　　 D.
解析：选A　因为点A(1,3)，B(4，－1)，所以＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，故||＝＝5，因此与同方向的单位向量是＝(3，－4)＝，故选A
3．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，1)　　　　 B．(1，＋∞)
C．R　　　　 D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
解析：选D　若点A，B，C能构成三角形，
则向量，不共线．
∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.故选D.

4．(2014·郑州一中检测)如图，平面内有三个向量，，OC,\s\up6(→))，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝2，||＝，||＝2，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则(　　)

A．λ＝4，μ＝2　　　　 B．λ＝，μ＝
C．λ＝2，μ＝　　　　 D．λ＝，μ＝
解析：选C　设与，同方向的单位向量分别为a，b，依题意有＝4a＋2b，又＝2a，＝b，则＝2 ＋，
所以λ＝2，μ＝.故选C.
5．(2014·锦州质检)若α，β是一组基底，向量r＝x α＋y β(x，y∈R)，则称(x，y)为向量r在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为(　　)
A．(2,0)　　　　 B．(0，－2)
C．(－2,0)　　　　 D．(0,2)
解析：选D　由已知a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)，设a＝λm＋μn＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)，所以解得所以a＝0m＋2n，所以a在基底m，n下的坐标为(0,2)．故选D.
6．(2014·辽宁实验中学模拟)△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量p＝(1，－)，q＝(cos B，sin B)，p∥q且bcos C＋ccos B＝2asin A，则C＝(　　)
A．30°　　　　 B．60°　　　　
C．120°　　　　 D．150°
解析：选A　由p∥q，得－cos B＝sin B，所以tan B＝－，∴B＝120°，∵bcos C＋ccos B＝2asin A，由正弦定理得sin Bcos C＋sin C cos B＝2sin2A，即sin A＝sin(B＋C)＝2sin2A，因为sin A≠0所以sin A＝，∴A＝30°，∴C＝180°－A－B＝30°，故选A.
7．(2014·临川一中月考)已知A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋k ，当点P在第三象限时，k的取值范围为__________________．
解析：(－∞，－1)　设P(x，y)，则＝＋k ，即(x－2，y－3)＝(3＋5k,1＋7k)，所以，由得，k<－1，故所求范围为(－∞，－1)．
8．(2014·天津月考)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
解析：－1　a＋b＝(2，－1)＋(－1，m)＝(1，m－1)．
因为(a＋b)∥c，所以1×2－(－1)×(m－1)＝0，即2＋m－1＝0，解得m＝－1.

9．如图，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，若∥且⊥，则四边形ABCD的面积S为______．

解析：16　由＝(4＋x，y－2)，∥，
得x(y－2)－y(4＋x)＝0所以x＋2y＝0.　　 ①
由⊥，得(x－2)(6＋x)＋(y－3)(y＋1)＝0⇒x2＋y2＋4x－2y－15＝0.　　②
由①②解得或.
当x＝－6，y＝3时＝＋＝(0,4)，＝＋＝(－8,0)，此时S＝||·||＝16；
当x＝2，y＝－1时＝＋＝(8,0)，＝＋＝(0，－4)，此时S＝||·||＝16.
10．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m ＋ ，则实数m的值为________．

解析：　因为＝＋＝＋k
＝＋k (－)＝AB＋k
＝(1－k)＋，
且＝m＋，
所以1－k＝m，＝，
解得k＝，m＝.
11．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)，
(2)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)
＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴解得
(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，
2b－a＝(－5,2)．
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，
解得k＝－.
12．(2014·许昌模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)记m＝(sin C＋sin(B－A)，2)，n＝(sin 2A,1)，若m与n共线，求△ABC的面积．
解：(1)由余弦定理及已知条件，
得a2＋b2－ab＝4，①
absin C＝，即ab＝4.②
由①②，得
解得
(2)因为m∥n，所以sin C＋sin(B－A)－2sin 2A＝0，
所以sin(A＋B)－sin(A－B)＝4sin Acos A，
所以sin Bcos A＝2sin Acos A.
当cos A＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝.
所以S△ABC＝absin C＝.
当cos A≠0时，得sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a.
所以
解得所以S△ABC＝absin C＝.
综上△ABC的面积为.

1．(2014·吉林实验中学模拟)在△ABC所在的平面上有一点P，满足＝＋＋.若△ABC的面积为12 cm2，则△PBC的面积为________cm2.
解析：4　由＝＋＋得＋＝－所以＝2 即|PA|＝2|BP|，所以S△PBC＝S△ABC＝4(cm2)．

2．如图，正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点．设＝α ＋β (α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．

解析：[3,4]　当P与C重合时，＝2 ＋，此时α＋β＝3；当P在直线EC上时，因E，P，C，共线，所以α＋β＝3；当P与D重合时，＝2 ＋2 ，α＋β＝4.所以α＋β的范围是[3,4]．

3．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动．若＝x ＋y ，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．

解析：2　设∠AOC＝α，α∈(0°，120°)由
，
得
∴x＋y＝2[cos α＋cos(120°－α)]＝cos α＋sin α
＝2sin≤2.所以x＋y的最大值为2.
4．(2014·广东六校联考)已知a＝(sin θ，cos θ)，b＝(，1)．
(1)若a∥b，求tan θ；
(2)若f(θ)＝|a＋b|，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边分别为a，b，c，且a＝f(0)，b＝f，c＝f，求·的值．
解：(1)∵a∥b，∴sin θ－cos θ＝0，
∴sin θ＝cos θ所以tan θ＝.

(2)由条件知a＋b＝(sin θ＋，cos θ＋1)，
∴f(θ)＝|a＋b|＝
＝ ＝
∴a＝f(0)＝ ＝，
b＝f＝＝，
c＝f＝ ＝3，
在△ABC中，由余弦定理的推论知cos A＝＝＝，
∴·＝||·||·cos A＝bccos A＝.

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