e值的计算.doc

密 级
公开
学 号
081629

毕 业 设 计（论 文）

e值的计算

院（系部）：
数理系
姓 名：
谢鹏燕
年 级：
2008级2班
专 业：
信息与计算科学
指导教师：
刘伟明
教师职称：
副教授

2012年 5 月 31日·北京

摘 要
是数学中最重要的数学符号之一，称为自然常数，是自然对数的底数。它最先由瑞士数学家欧拉在1727 年使用。
18世纪以来，数学家们在值的计算上不断取得成果。从最初的利用极限的定义计算，到级数、连分数，再到其它各种方法，计算得到的的近似值精度越来越高。
本文在阅读了相关文献的基础上，选择了七种前人研究的经典而又有代表性的方法来介绍值的计算，理论上计算了近似值与真实值的误差和收敛速度，比较了各种方法的精度，分析了各种方法的优缺点，并利用MATLAB软件将各种方法编程，近似计算值，比较结果。在定义的基础上，结合极限的思想，对极限的定义算法进行了改进。通过各种方法，可以了解一定的值计算的历史，掌握计算值的方法和技巧。
值的计算是一项伟大的数学工程，随着数学科学的快速发展，值的计算的方法越来越多。值的计算的理论研究很大程度的促进了数学和其它学科的发展。

关键词：自然常数， 值的计算，近似计算
Abstract
The number e is one of the most important symbols in mathematics. It is called Natural Constant. It is natural logarithm base. It was first used in 1727 by Euler who was a Swiss mathematician.
Since the 18th century, mathematicians obtained lots of achievements in the calculation of e. It is calculated from the initial definition of limit to series, fractions and other methods. The accuracy of the approximation of e was getting higher and higher.
Having read the relevant paper, I select seven kinds of methods which are classical and representative to introduce the calculation of the number e. The paper calculates the deviation between e and its approximation and the convergence rate. It also compares the accuracy of these methods. And it analyzes the advantages and disadvantages of these methods. Also, the paper uses MATLAB to write programs for these methods which will calculate different approximation of e and compares the results. Based on the definition and the thought of limit, it improves the algorithm of the limit of definition. When reading the methods of the calculation of e, we can learn about some history of the research on e more or less and master some methods and skills.
The calculation of e is a great mathematical project. With the rapid development of mathematics, the methods of the calculation of e are developing more and more. The theoretical research of the calculation of e promotes much to the development of mathematics and other disciplines.

Key words：Natural Constant, the calculation of e, the calculation of approximation
目 录
第一章 前言 1
1.1 值计算的意义 1
1.2 值计算的历史背景 1
1.3现有的值计算方法 3
1.4研究的基本内容，拟解决的主要问题 3
第二章 的综合知识 5
2.1极限定义 5
2.2 的无理性和超越性 8
2.3 的发展、应用 11
第三章 计算值的方法 12
3.1 概述 12
3.2 七种计算值的方法 12
第四章 结论与展望 30
参考文献 31
致 谢 32
附 录 33

III

e值的计算
第一章 前 言
1.1 值计算的意义
是数学中最重要的数学符号之一，称为自然常数，是自然对数的底数。
的研究对时代的数学水平有一定的衡量作用，同时，在研究计算值方法的同时，数学家们可以引发新的概念、方法和思想以及新的算法，从而产生新的问题，促进其他领域学科的发展。
至今为止，的大部分研究成果，已经应用到实际中了，比如金融、股票等行业，当然它应用的形式是利用数学模型进行计算以达到预测、分析等的目的。
正因为的作用越来越大，越来越明显，因此，值的计算的研究显得尤为重要，具有实际意义，能促进数学和其它学科甚至社会生产的发展。
在阅读了大量的相关文献之后，发现国内见诸于报刊的关于值的计算的专业论文很少，多数文献提到值的计算时只有定义和级数，最多能提到连分数，少数文献提到计算方法时也是一笔带过，并无解析过程，难求一篇详尽的关于值的计算的文章。基于此，本文欲总结前人的研究成果，对值计算的一些方法进行综述，对各种方法的精度进行理论分析，比较结果，分析各种方法的优缺点，并试图对定义的极限算法进行改进。
1.2 值计算的历史背景
1.2.1 总述
自然常数最先是由瑞士数学家欧拉在1727 年使用的。它是Euler名字的第一个字母，后来人们确定用作为自然对数的底，以此来纪念欧拉。同时人们猜测，用作为自然对数的底的另一个原因是指数的英文拼写为exponential，其首字母是。是个无理数，其值为。
自然常数使用之日起，历经的每个时代都有无数科学家致力于对它的研究。从最初得到的数列的极限作为其定义，欧拉自己还研究出了它的连分数表示法，到利用泰勒展开得到级数进行计算，无不是数学家们的努力成果，再到后现代的研究中， 1980年发现的一种连乘的计算方法，都体现了值的计算方法的发展。
1.2.2 值计算的研究历史
自然常数发现以来，对于它的研究从未停止过。欧拉在研究极限

时，发现这个极限值是存在的，并且不是一个有理数，为了表示这个极限，就将它记作。的使用最早见于1736年欧拉的《力学》著作中。在随后的研究中，欧拉又发现一些连分数可以表示，由于极限计算的收敛速度都相对较慢，欧拉发现连分数计算的收敛速度要快得多。随着指数函数的发现，数学家们迫不及待的利用泰勒级数展开将展成级数的形式，从而得到的级数计算公式，而级数计算的收敛速度较之极限也快得多。17世纪中期，欧拉首先证明是一个无理数。19世纪末，法国数学家埃尔米特和德国数学家林德曼又证明是一个超越数。
19世纪以来，关于的研究不断深入，从原来的对数理论拓展应用到其他理论。数学家们发现，在素数理论，虚数理论，分形理论，级数理论，微积分，数值计算，概率论方面的研究都有很大的作用，甚至在某些尚未证明的猜想上也都有所联系。
在分析学中，比较常用的计算的方法主要有两种，其一是利用极限

另一种方法是利用级数

当值取得足够大时，可以使得到的近似值与的误差足够小。在后续的研究中比较典型有1980年发现的pippengger，是一种幂递减的连乘算法，算法简单且高效，收敛速度较快。
在其它领域的作用越来越多，越来越重要，随着数学的发展，计算的方法将越来越多，并且借助于高级计算机，可以得到的的精确度也越来越高。
1.2.3 近代研究
1854 年，英国数学家桑克斯首次给出的很多位数的小数值，但格莱歇尔指出了在桑克斯的数值中前137 位是正确的，而后面出现了错误，他在纠正了错误之后给出了 的205 位小数值。1884 年，布尔曼算出了 的346 位小数值，并且发现他的计算与桑克斯的前187 位是相同的，而后面却不同。1887 年，阿拉姆算出了以10 为底的的对数的272 位小数值。到了20 世纪60 年代初，已经有人用计算机把算到万位了。
1.3现有的值计算方法
最早计算值的方法是使用定义计算的，对式

而言，整个式子的增加速度随着的增大而减小。此方法计算简单但计算量大，由于收敛速度过慢，导致在开始的阶段计算得到的值精度不够高，后来数学家发现可以使用泰勒级数的迈克劳林展开计算，级数计算值的方法简单高效，只要计算十多个数字之和即可得到相对于极限计算的几千万甚至几亿的精度，因此级数计算值的方法使得值的精度大大的提高。近代研究时计算其值就是使用泰勒级数展开不断增加和式的项数而得到的。欧拉在以后的研究中也逐渐发现一些新的公式，他发现很多连分数可以表示成与有关的代数式，另外还有一些极限也可以逼近，1980年，数学家还发现一个连乘公式可以计算。在后续的研究中，对极限的定义进行了改进，使得原来只有一阶收敛的极限算法提高到了二阶收敛，在改进中受到启发，继续对改进进行理论研究。
1.4研究的基本内容，拟解决的主要问题
1.4.1 研究的基本内容
1）介绍的极限定义、由来、历史和性质。
2）搜集文献，整理值计算研究的成果，将前人研究的方法比如极限、级数等的计算方法作讨论，分析。并且对各种方法进行比较。
3）对各种方法进行编程，借以分析各种方法的精度。
4）对定义的极限算法进行改进，对其收敛的速度作讨论，改进收敛的速度。
1.4.2 解决的主要问题
1）对选择的方法进行误差、精度分析，对可以计算收敛速度的作收敛分析，对不能计算收敛速度（比如连分数）的作数据列表，比较收敛速度，比较各种算法的优缺点。
2）定义的极限算法收敛速度太低，改进其收敛速度，对改进的算法进行理论研究。
3）给出各种算法的MATLAB程序。
第二章 的综合知识
2.1极限定义
2.1.1的出现
1614年，英国数学家纳皮尔是历史上第一位公布对数表的人，瑞士钟表制造者比尔吉于1620年也公布了对数表。他们从出发，凭借天才般的直觉，选择了非常接近1的数作为底数 。比尔吉取，纳皮尔取。在比尔吉的对数中，对应于两个相邻指数和的真数的值分别为

其中对有

比吉尔利用此关系构造了对数表，只要计算出对应于的的值之后，即可在此基础上加上而得到对应于的真数的值。若取

或

得

此时对数的底数为

这个数已经很接近2.718281828…。
的首次发现是通过对一个复利问题的研究，1683年，瑞士数学家雅各布.伯努利研究了这个复利问题，他试图计算出当时的极限。他利用二项式定理，得到这个极限在2～3之间。这是对 的近似值的首次估计，也是数学史上第一次用极限来定义一个数，即

1690年，德国数学家莱布尼茨在给惠更斯的一封信中首次用字母来表示自然对数的底。而现在用来表示自然对数的底应归功于瑞士大数学家欧拉，在俄罗斯彼得堡科学院写的一部手稿中，欧拉建议“将对数为1的数记作，即 (当时的对数是自然对数)，并在书中16次出现代替2.718281828…。符号首次公开出现是在1731年欧拉写给哥德巴赫的一封信中。
另外，有关数 的一个奇妙的式子被视为数学美的一个象征，那就是欧拉公式

其中1是正整数也是实数的基本单位，是虚数的基本单位，0是唯一的中性数，它们都具有独特的地位，最具有代表性。可以说，来源于代数，来源于几何，来源于分析，当初对数的发明者无论如何在二百年前没有想到，数与其它的数居然如此和谐地统一在一个式子中。
2.1.2 极限的存在性
下面就需要证明定义的极限的存在性，即要证明数列

极限的存在性，需要利用分析学的定理，即单调递增且有上界的数列存在极限。
1）单调性证明
根据平均值不等式

于是

整理上述不等式，得

即此数列单调递增。
2）有界性证明
再次利用平均值不等式，当时

整理上述不等式，得

同时

于是

上述不等式是在的条件下推导的，但是由于是单调递增的，因此对同样成立。
即此数列是有上界的。
于是可以确定数列的极限是存在的，且

对此，可以再构造一个数列，其通项为

根据分析学的思想

于是得到

再证数列是递减的，根据上述有界性的证明，任意取一个正整数，对任意的，有

整理上述不等式，得

对比数列和，前者单调递增，后者单调递减，且两者的极限相等，由此可证明如下结论：对任意的和，都有

证明：可利用反证法，若存在和，使得

由于单调递减，故必存在一个正整数，使得

同时

同样的由于单调递增，于是

从而得到

这与

相矛盾。证毕，结论成立。
于是，显然

利用这个结果有助于估计的范围。
2.2 的无理性和超越性
17世纪中期，欧拉首先证明是一个无理数。19世纪末，法国数学家埃尔米特和德国数学家林德曼又证明是一个超越数。所谓超越数是指这个数不是任何整系数方程的根。
证明无理性和超越性的方法有很多，这里各选择其中一种。
1)无理性
利用反证法证明。
要证明为无理数，根据不等式

得

这说明不是一个整数。为了证明是一个无理数，假设是有理数，那么就令，其中、均为正整数。由于不是整数，故。于是

显然等式左边的为整数，而等式左边的第一项也为整数，故等式右边第二项也为整数，此时，因此

这与整数的性质矛盾，故为无理数。
欧拉被认为是第一个证明是无理数的人，但是欧拉采用的是他自己发现的连分数的方法。他已经证明了每一个有理数都能表示一个有限的连分数,他以连分数为基础证明了表示成连分数时是无限的，因此证明了是无理数。
2）超越性
同样利用反证法来证明。
假设不是超越数，那么为某个非零整系数多项式的根
（2-1）
对于任意大于和的素数，构造一个多项式

那么它的次数为,而的阶导数为0，故令：

两边积分

那么

由假设，为方程（2-1）的根：

（2-2）
从的构造上知的阶及阶以上的导数均为整系数多项式且各项系数都能被整除，而及其前阶导数在处都等于0。所以也都是的整数倍。另外，在处的前阶导数均为0，而

不被整除（因为），但在处的、、、…的阶导数均为的倍数，故是一个不被整除的整数。又因为不整除，所以 除第一项不被整除外，其余各项均为的倍数，而0被整除，因而上述和式为不等于0的整数。由于,当在区间上取值时，显然有

从而有

记

则

因为p为固定的正整数，所以

故（2-2）式右边当时以0为极限，而（2-2）式左边总为非0正整数，所以矛盾，因此为超越数。
2.3 的发展、应用
关于 的函数是随着微积分学的产生可以解决变量之间的函数关系而发展起来的。1727 年欧拉在一篇未发表的手稿中引入了作为自然对数的底，于是也正式出现。1748 年欧拉又给出的极限形式，即并且进一步揭示出指数函数和三角函数的联系

这就是著名的欧拉公式，这实际上已经把指数概念推广到了复数领域。
对数的引进对于简化运算有很大好处， 除1 以外的正数都可作为对数的底，由于我们习惯使用十进位小数，因此从实际计算的角度看，采用以10 为底的常用对数是比较方便的。但是对对数函数求导时，若不以作为对数函数的底数，结果将比以作为底数求导的结果复杂得多，这是以简洁为特点的数学所不愿见到的，因此在计算中“自然”地选择了以作底。特别是，反映自然界规律的函数关系， 若是以指数形式或对数形式出现，则必定是而且只能是以 为底的。所以以为底的对数叫自然对数。
正因为如此，在自然科学中有着重要的地位和作用。如原子物理和地质科学中考察放射性物质的衰变规律或地球年龄时要用到，在用齐奥尔科夫斯基公式算火箭速度时要用到，甚至算储蓄最优利息及生物增殖问题时用复利率，也使用到了。
奇迹般地出现，还可举出数学上最值得称道的发现之一的“素数分布定理”。这定理是：从1到任何自然数之间所含素数的百分比，近似等于 的自然对数的倒数，且越大，这个规律越准确。这是被称为“数学王子”的德国数学家高斯在1792 年仅15 岁时发现的，但直到1896 年才被法国数学家阿德玛和大致同时的比利时数学家布散所证明。
在实际中，的应用远多于上述提到的，并且随着数学学科的不断发展，随着经济社会的不断进步，的研究越来越深入，它的作用会越来越大，越来越广泛。
第三章 计算值的方法
3.1 概述
自然常数的计算是从它极限的定义开始的，此方法形式简单，操作方便，但是计算相对复杂，且收敛太慢，涉及的数值太大，在没有计算机而用纯手工计算的年代，很难有突破，因此最早期得到的值精度相对较低。后来得到的级数的方法有了质的飞跃，不仅继承了前一种方法的优点，同时又比极限的方法有更好的收敛性；此种方法只要计算十几项就能得到一个比较精确的结果，正是由于它的简单而收敛性好，因此的近似计算发展的速度提升得很快，以至于在当下的近似值有部分还是通过增加级数的项数来得到的。在后续的研究中也不断得到的计算公式，它的发现者欧拉的连分数也在其中。正是这些计算方法使得值的计算百花齐放，硕果累累，也正是这些理论的发展，才能使得在高级计算机的帮助下得到的的精确度越来越高。
本文选择了七种计算值的方法，第一种为定义的极限算法，第二种为一般极限的算法，第三种为泰勒级数的方法，对这三种方法，本文做了重点分析，计算出了其收敛速度，并进行了误差的理论分析和数据试验。第四种为两个连分数计算值的方法，第五种为1980年研究出的pippengger积的方法，对这两种方法，限于能力，无法计算误差，没有做理论分析，只给出了数据试验，根据数据对比其它算法的收敛速度。第六种方法为定义的极限算法的改进，得到了改进的计算值的公式，并进行了数据试验。在改进的基础上，第七种方法再对改进本身做了大胆猜想，对改进算法做出了理论研究，给出改进算法公式的通项。同时，在此声明后两种方法的理论全为笔者的独立研究成果，鉴于阅读的文献有限，无法保证前人是否已经得到同样的结果，因此视为已有的计算方法。
3.2 七种计算值的方法
3.2.1极限的定义
在发现极限

之初，有相当一部分人认为此极限不存在，因为，无数个大于1的数相乘必然趋近于无穷。但欧拉在计算中发现，当增大时，的值持续增大，但是增大的速度越来越慢，他计算了当时，代数式的值为2.715568521…；当时，代数式的值为2.716923932…；两者相差不到千分之一，可见其值增大的速度非常慢。在后续的研究中发现，当增大时，这个代数值不断增大却不会超过某个值，欧拉得出的结论是，上述极限是存在的，并且极限的值为，是个无理数，即

知道了这个极限是收敛的，对于极限收敛的速度，作一个理论研究。
把值的近似值记作，误差数列记作。对极限算法的误差
（3-1）
利用

得

代入（3-1）式，得
（3-2）
再利用

可得

代入（3-2）式得

（3-3）
由（3-3）式可知，定义的极限计算是一阶收敛的。
再对误差进行理论分析，已知

那么当时，误差；时，；当时，；当时，；当时，。
且可以推得，要使近似值在10位有效数字下无误差，即使得

时，的近似取值。于是

解得

由于此处做了放大处理，因此需要达到近似值在10位有效数字下无误差，的近似取值为。（涉及的数字太大，无法验证）。
利用定义的极限计算值的误差列表如下（取10位有效数字，下同）

表3-1 近似值，误差表

近似值
绝对误差
50
2.691588029
0.026693799
100
2.704813829
0.013467999
500
2.715568521
0.002713307
1000
2.716923932
0.001357896
10000
2.718145926
0.000135901

3.2.2 极限算法
对极限

可以证明此极限的值就是。
1）证明，设

再根据Stolz公式，得

即

2）求其近似值与的误差，得

再求极限

由Stolz定理

将展开得，代入上式

由此得

于是可知利用数列近似计算的收敛速度为。
对此极限进行误差理论分析，由于

那么

那么当时，误差；时，；当时，。
可以推得，要使近似值在10位有效数字下无误差，于是

解得

由于此处做了放大处理，因此要达到近似值在10位有效数字下无误差，的近似取值为。（涉及的数字太大，无法验证）
利用此极限计算值的误差列表如下

表3-2 近似值，误差表

近似值
绝对误差
50
2.566306399
0.151975429
60
2.587110645
0.131171183
70
2.602594691
0.115687137
80
2.614603815
0.103678013
90
2.624211162
0.094070666
100
2.632085323
0.086196505
150
2.656920969
0.061360859

由于此处计算时，涉及到，导致计算到180多时就超过了计算机的计算范围，因此没有得到更精确的结果。
3.2.3 级数算法
利用泰勒级数对指数函数进行迈克劳林展开

令，得

作近似计算时，对

那么误差为

显然，级数计算的收敛速度是阶的。
对级数计算的误差进行理论分析，可以证明

证明，对上式

不等号左右约去一个，得

两边同乘以
（3-4）
即要证明

只需证明（3-4）式。
对任意的

那么
则（3-4）式得

于是
（3-5）
则结论成立。
那么根据上述结论，当时，误差；当时，；当时，。
事实上，此处可以做更精确的误差分析，对于（3-5）式，取前一个不等式

两边同乘以之后，再加上，得

于是对误差

对于此结论，当时，误差；时，；当时，。
可以推得，要使近似值在10位有效数字下无误差，于是

解得

此处作了放大处理，要达到近似值在10位有效数字下无误差，的近似取值为。
经编程验证，当时，此代数式的值就可以达到10位有效数字下无误差。相比于极限计算时以上的精度。以此看来，级数计算的收敛速度要比极限计算的收敛速度快得多。
利用泰勒级数计算值的误差列表如下

表3-3 近似值，误差表

近似值
绝对误差
2
2.500000000
0.218281828
3
2.666666667
0.051615162
4
2.708333333
0.009948495
5
2.716666667
0.001615162
6
2.718055556
0.000226273
7
2.718253968
0.000027860
8
2.718278770
0.000003059
9
2.718281526
0.000000303
10
2.718281801
0.000000027
11
2.718281826
0.000000002

3.2.4 连分数
欧拉后来在研究时，发现几种连分数的方法可以计算其值，比较典型的有两种，其一

其连分数的法则是第个分数符号下的数字为：若可以被3整除，则第个分数符号下的整数为，其余为1。
经编程验证，当时，近似值在10位有效数字下无误差。此方法与级数计算的收敛速度相当，精度相当。
此处难以计算误差数列，故将到之间的近似值和绝对误差列表

表3-4 近似值，误差表

近似值
绝对误差
2
2.750000000
0.031718172
3
2.714285714
0.003996114
4
2.718750000
0.000468172
5
2.717948718
0.000333110
6
2.718309859
0.000028031
7
2.718279570
0.000002258
8
2.718283582
0.000001754
9
2.718281718
0.000000110
10
2.718281835
0.000000006
11
2.718281823
0.000000005
12
2.718281829
0.000000001

其二

其连分数的法则是第个分数符号下的整数为，分子为。
经编程验证，当时，近似值10位有效数字下无误差。此方法比级数计算和第一种连分数计算的收敛速度略快，精度略高。
难以计算其误差数列，将到之间的近似值和绝对误差列表

表3-5 近似值，误差表

近似值
绝对误差
2
2.666666667
0.051615161
3
2.727272727
0.008990899
4
2.716981132
0.001300696
5
2.718446602
0.000164774
6
2.718263332
0.000018496
7
2.718283694
0.000001866
8
2.718281658
0.000000170
9
2.718281843
0.000000015
10
2.718281827
0.000000001

3.2.5 连乘法，Pippenger积
1980年，数学家研究得到一种幂递减连乘的Pippenger积，为的一种计算公式

第个括号内有个数字，其括号内数字为

幂为。
经编程验证，当时，近似值在10位有效数字下无误差。此方法与级数和第一种连分数计算的收敛速度、精度相当。
同样的，此种方法难以计算误差数列，因此将到之间的近似值和绝对误差列表

表3-6 近似值，误差表

近似值
绝对误差
2
2.725344526
-0.007062698
3
2.720050513
-0.001768685
4
2.718724192
-0.000442364
5
2.718392432
-0.000110603
6
2.718309480
-0.000027652
7
2.718288741
-0.000006913
8
2.718283557
-0.000001728
9
2.718282261
-0.000000432
10
2.718281936
-0.000000108
11
2.718281855
-0.000000027
12
2.718281835
-0.000000007
13
2.718281830
-0.000000002

3.2.6 对定义的极限算法的改进
考察不确定数列极限

可以证明此数列的极限值就是。
证明，是的同阶无穷小，于是存在一个常数（），使得

由于

于是

显然

根据夹逼定理，得

证毕，结论成立。
利用定义的极限计算误差的方法，可得
将展开

带入误差式子中，得

（3-6）
在极限中，其收敛的速度是一阶的，因为求得的结果中有一项为，（3-6）式中还有一项（此处把负号带上是为了后面的计算方便），是的等价无穷小。若两项能约去，即取为，则可以得到

为二阶收敛。
那么可得极限

的收敛速度为二阶，从而实现了对极限一阶收敛的改进。
对改进的极限算法进行误差分析。计算
（3-7）
将展开

将上式代入（3-7）式，得

那么对误差

根据上式，那么当时，误差；当时，；当时，；当时，；当时，。
同样的，可以推得，要使近似值在10位有效数字下无误差，于是

解得

此处做了放大处理，因此需要达到近似值在10位有效数字下无误差，的近似取值为。
经编程验证，当时，可以达到近似值在10位有效数字下无误差。相比于定义的计算收敛速度快得多。
利用此改进极限计算值的误差列表

表3.2.6 近似值，误差表

近似值
绝对误差
10
2.714080846
0.004200982
50
2.718103312
0.000178516
100
2.718236863
0.000044966
500
2.718280019
0.000001809
1000
2.718281376
0.000000453

3.2.7 对定义的极限算法的改进启发
受到上述改进算法的启发，继续研究极限
（3-8）
同样的可以证明此极限值为。
证明，存在一个正数，使得

只要，上式成立，于是

证毕，结论成立。
利用定义的极限计算误差的方法，可得

将展开

将上式带入误差式子中，得

（3-9）
由（3-9）式，要使（3-8）的极限收敛速度为三阶，只要（3-9）式括号内的前两项和为0，解得

那么可得极限

的收敛速度为三阶，再次实现了对极限收敛速度的改进。
对改进的极限算法进行误差分析，由（3-9）式，对误差

于是，当时，误差；当时，；当时，；当时，。
同样的，可以推得，要使近似值在10位有效数字下无误差，于是

解得

此处做了放大处理，因此要达到近似值在10位有效数字下无误差，的近似取值为。
经编程验证，当时，可以达到近似值在10位有效数字下无误差。相比于定义的计算收敛速度快得多。
利用此改进极限计算值的误差列表

表3.2.6 近似值，误差表

近似值
绝对误差
10
2.718177262
0.000104566
50
2.718280937
0.000000892
100
2.718281828
0.000000112
500
2.718280019
0.000000001

事实上，对于上述改进定义的算法，可以做进一步理论研究，试着继续考察数列极限

其中 为常数，且，其中为任意有限的正数，，研究上述数列的收敛速度是否能达到阶，即为任意阶收敛。
同样的可以证明此数列的极限值就是。
证明，取，则

（3-8）
由（3-8）式，存在一个常数（）

此时，只要满足，上式成立，即可得

于是

上述不等式左右两边的极限都为，根据夹逼定理
（3-9）
证毕，结论成立。
再证明此不定极限能达到任意有限阶收敛，用数学归纳法，已经证明了时的结论，假设时，极限的收敛速度为阶，要证明时，极限的收敛速度为阶。
当时，利用定义极限计算误差的方法，可得

将展开

由于对（3-9）式的收敛性为阶，因此在首项和之间的所有单项式被约，若合并同类项，可以得到关于的函数式，记作

当时，利用定义极限计算误差的方法，可得

若将展开

将上式中所有含的单项式合并，含有仅有一项为，那么显然可以得到关于的函数，记作

那么，若要（3-9）极限的收敛速度为阶，那么只要

此时可以约去包含的所有单项，再代入到误差公式，得到阶的收敛速度。
证毕，结论成立。
用此理论计算了时的，分别为
，，
观察数列前五项，做出猜想

若猜想成立，那么极限

的收敛速度为阶，为任意正整数，且误差

即可以使（3-9）收敛的速度为任意阶，这取决于的取值。
其实，极限中的正好是的阶泰勒级数的迈克劳林展开式。因此，展开的项数越多，得到的精度越高。
最后，得到定义的极限算法的改进的通项为

其收敛的速度为阶，若要提高收敛的速度，只要增加括号内的项数，即增大的值。
第四章 结论与展望
在查阅了诸多文献之后，第三章论述中选择了七种已有的计算值的方法，对于前三种方法进行重点介绍，从理论上计算了误差，分析了误差，并给出收敛的速度，分析了它们的优缺点。后两种方法限于笔者水平，同时也是计算式子所限，无法从理论上计算误差和收敛速度，只做出了其近似值和误差实际值的列表。在极限定义方法的基础上，论述中给出了一种改进的二阶极限计算方法，此方法在原有定义的基础上进行改进，通过改变极限的通项，并且证明极限值的不变性，利用近似值与真实值之间的误差讨论得到一种新的极限通项，使其收敛速度由一阶上升到二阶，具有一定的实际意义。最后在二阶改进的基础上得到启发，继续对改进理论进行研究，得到改进算法的通项。
从论述中可以看出，前两种极限算法的收敛速度都比较慢，而其后三种计算方法收敛速度都比较快，从比较中很容易看出级数的计算方法是最理想的，其它的方法不是收敛太慢就是计算太复杂。级数的方法不管是在手工计算时期还是在计算机时代都对值的近似计算发展作出了不可替代的作用。最后两种方法是改进的方法，第一种改进方法在定义的收敛速度基础上提高一阶，第二种改进方法是在第一种的启发下得到的，可以得到收敛速度为任意阶的公式。
上述七种方法并不能代表现代对于值近似计算的研究，但是体现了其发展，具有一定的理论价值，在值的近似计算的发展史上占据了不可动摇的理论地位和意义。
当今世界的数学研究在计算机的帮助下已经有了质的飞跃，值的精确度也远远超过了当时的手工计算， 值计算的方法也越来越多，而作为一个数学常用常数，应用的也越来越广泛，可以说值计算的理论研究很大程度的促进了数学和其它学科的发展。
参