串并联可靠性模型的应用及举例.doc

上海电力学院
选修课大型作业

课程名称：机电系统可靠性与安全性设计　
报告名称：串并联可靠性模型的应用及举例
院　　系：　　 能源与机械工程学院　
专业年级：　 动力机械 140101　　
学生姓名：　 潘广德　　　　　
学 号：　 14101055　　　　
任课教师：　 张建平教授　　

2015年4月28日
浅谈串并联可靠性模型的应用并举例
摘要
详细阐述了机械可靠性工程中串并联可靠性模型的应用，并详细的举例说明。系统可靠性与组成单元的数量、单元可靠性以及单元之间的相互联接关系有关。以便于可靠性检测，首先讨论了各单元在系统中的相互关系。在可靠性工程中，常用可靠性系统逻辑图表示系统各单元之间的功能可靠性关系。在可靠性预测中串并联的应用及其广泛。必须指出，这里所说的组件相互关系主要是指功能关系，而不是组件之间的结构装配关系。
关键词：机械可靠性 串联 并联 混联 应用 举例
0前言
学技术的发展，产品质量的含义也在不断的扩充。以前产品的质量主要是指产品的性能，即产品出厂时的性能质量，而现在产品的质量已不仅仅局限于产品的性能这一指标。目前，产品质量的定义是：满足使用要求所具备的特性，即适用性。这表明产品的质量首先是指产品的某种特性，这种特性反应这用户的某种需求。概括起来，产品质量特性包括：性能、可靠性、经济性和安全性四个方面。性能是产品的技术指标，是出厂时产品应具有的质量属性，显然能出厂的产品就赢具备性能指标；可靠性是产品出厂后所表现出来的一种质量特性，是产品性能的延伸和扩展；经济性是在确定的性能和可靠性水平下的总成本，包括购置成本和使用成本两部分；安全性则是产品在流通和使用过程中保证安全的程度。在上述产品特性所包含的四个方面中，可靠性占主导地位。性能差，产品实际上是废品；性能好，也并不能保证产品可靠性水平高。反之，可靠性水平高的产品在使用中不但能保证其性能实现，而且故障发生的次数少，维修费用及因故障造成的损失也少，安全性也随之提高。由此可见，产品的可靠性是产品质量的核心，是生产厂家和广大用户所努力追求的目标。
1串联系统可靠性模型的工作原理
如果一个系统中的单元中只要有一个失效该系统就失效，则这种系统成为串联系统。或者说，只有当所有单元都正常工作时，系统才能正常工作的系统称为串联系统。
设系统正常工作时间（寿命）这一随机变量为t，则在串联系统中，要使系统能正常工作运行，就必须要求每一个单元都能正常工作，且要求每一单元的正常工作时间都大于系统正常工作时间t。假设各个单元的失效时间是相互独立的，按照概率的乘法定理和可靠性定义：系统的失效概率是各个单元失效概率的乘积。所以，串联系统的可靠度与单元数量及单元的可靠度有关。
串联系统的失效率是各单元失效率的总和。由于可靠性预测主要是系统正常工作期或者偶然失效期，一般可以认为系统的失效率和个单元的失效率均为常量。串联系统由各单元之间串联组成，串联单元越多则系统可靠度越低，系统可靠度低于系统中最薄弱单元的可靠度。因此，如果最薄弱单元的环节能承受的最大载荷或者最危险环境，就认为系统是成功了。
电子系统经常由许多许多电子组件串联组成，已完成一些职能，研究这些模型的可靠性有重要意义，本例中首先建立串联系统可靠性的数学模型，在寻找最佳参数组合的过程中运用了遗传算法（Genetic Algorithm 以下简称GA），并进行了计算机仿真，仿真结果表明，使用GA求解串联系统的可靠性具有良好的性能。
2 串联系统的可靠性问题的数学模型
考虑一个由N级串联组成的系统，系统的可靠性可以认为是系统成功运行的概率，进一步假设N级之间彼此独立，则此概率可取为N级中每级可靠性分析中的乘积，系统每一级均由一特殊组件构成，组件可能受到损坏，为提供系统可靠性，通常每级引入一个或几个组件备份，但在工程实际中，通常对成本，重量等有所考虑，故需确定每一级组件的备份数，才能使系统整体可靠性为最大，且满足约束条件限制，下面将给串联系统可靠性问题的数学模型[1]。
假设每级至少使用一个组件，对于 ，令1+X是第j级组件数，假设每级至少使用一个组件,对于j=1,… … ,N,令1+Xj是第j级组件数,又令Pj(Xj)是使用(1+Xj)个组件时第j级成功运行的概率即第j级的可靠性,令C j是第j级组件的单位成本,Wj是第j级组件单位重量,C是最大允许成本W是允许重量。故串联系统的可靠性问题即为寻找每级组件[2] 。
备份数目的最优值X1,X2,… … ,Xn,使由P1(X1)P2(X2)… …Pn(Xn)所表示的串联系统的可靠性为最大,且满足成本约束C1X1+C2X2+ … … +CnXn≤C和重量约束W1X1+W2X2+ … … +WnXn≤W。因此,串联系统可靠性的数学模型为max Z′= ΠNJ=1Pj(xj)s.t　　Nj=1CjXj≤C∑Nj=1WjXj≤W其中Xj且Xj为整(j=1,2,… … ,N)。记　ZΔln Z′=lnπNJ=1Pj(xj)=N。
j=1 lnPj(XJ)ΔNj=1φj(Xj)由于y=ln x(x>0)是单调递增函数,故上述数学模型等价于maxZ′=Nj=1φj(Xj) s.tNj=1CjXj≤CNj=1WjXj≤W其中Xj≥0且Xj为整数(j=1,2,… … ,N)。此模型较前述模型的计算量要小,故应考虑它为所表示的串联系统可靠性的数学模型。
3遗传算法
遗传算法(GA)是本世纪60年代后期和70年代初期由美国密歇根大学的约翰·霍兰(John.Holland)教授.根据模拟自然系统中基本规律“适者生存,子承父性”所提出的一种智
能化方法,可以解决非线性反演问题。该方法的主要特点是使用二进制编码技术,对点群进行搜索,利用遗传因子保证寻找速度和避免陷入局部最优。构造遗传算法的步骤如下:1)参数编码,即将n个参数X1,X2,… … ,Xn采用二进制编码。2)随机地在可行解域内生产m个候选解组成初始种群。3)以目标函数作为适值函数,计算种群中各个体的适应值。4)按照预定交换率P,在群体中随机抽取数与候选解进行交换运算,交叉因子可任选4种常见交叉因子(部分匹配pox因子,顺序ox因子,循环cx因子和正则un因子之一)。5)按一定概率Pm在一代中随机抽取n个个体,对这些个体运用整体变异,部分变异,逐位变异和倒位变异等手段进行变异。6)在新一代中随机抽去一个个体,将上一代中最好个体补充上,保证最好个体无条件遗传。7)判断是否得到最佳参数值或是否达到预定迭代次数。若是,停止运算,输出最好结果;否则,转第3)步。3　计算机仿真及结果分析下面我们给出一个3级串联系统可靠性数学模型的算·49·例。max5x21+4x1-3x22+4x22+x3+x23 s.tx1+3x2+x3≤04x1+2x2+2x3≤15[6]。
其中Xi≥0且Xi为整数(i=1,2,3)。采用遗传算法寻求最优参数过程如下:
1)首先确定x1,x2,x3的取值范围:0≤xi≤[154];0≤x2≤[103];0≤x3≤[152]采用二进制方法对X1,X2,X3编码,二进制位串长度为7并采取级联编码方案产生。
2)群体中随机抽取4个候选解组成初始种群,如由计算机随机选取初始群体位串分别为:0000000,0111000,0010000,1100000。
3)分别计算初始群体中各个体的适值为0,36,10,57。由于第一个群体位串的适值最小,故用适值最大的初始群体取代,从而选择产生了新的种群{1100000,0111000,0010000,1100000}。
4)随机选择交配对象和交换点进行交换,结果如下:(其中位串交换点位置及交配过程中交配对象的选择均由计算机随机决定)。选择出的位串交配对象新群体。
(虚竖线为交换点位置)(随机选择) [7]
110┆000 2 1101000
011┆100 1 0110000
0┆010000 4 1010000
1┆100000 3 0100000
再次选择出的位串交配对象新群体(虚竖线为交换点对象)(随机选择)
11000┆00 2 1100000
11000┆00 1 1100000
101┆1000 4 1010000
110┆0000 3 1101000
5)采取逐位变异法将位串1100000变异为1100001,即设最优参数组合[3]X1=3,X2=0,X3=1,目标函数最优值Z=59。计算机仿真结果表明,只经过三次选择交配和一次逐位变异即搜索出参数的最佳组合和目标函数的最优值,可见该遗传算法求解串联系统的可靠性问题是非常有效的。得出以下结论，文在遗传算法的思想基础上,采用了逐位变异等变异手段,实现函数寻优过程,从而解决了串联系统的可靠性问题,在工程实际应用中也有一定的利用价值。
4并联系统可靠性模型的工作原理
组成系统的单元仅在全部发生故障后，系统才失效，这样的系统称之为并联系统。具有n个单元并联系统的逻辑图和电路中的并联图相似。并联系统只要有一个单元不失效就能使系统正常工作。
设并联系统失效时间随机变量为t，在并联系统中，中有每个单元的失效时间都达不到系统所要求的工作时间，系统才会失效。因此，系统的失效概率就是单元全部同时失效的概率。设各个单元的失效时间随机变量互为独立，利用乘法定理便可以算出失效概率，并可以计算并联系统的可靠度，这里不再赘述。经过分析后得出以下结论：
（1） 并联系统的失效概率低于各单元的失效概率。
（2） 并联系统的平均寿命高于各单元的平均寿命。并联系统的各单元服从指数寿命分布，该系统不再服从指数寿命分布。
（3） 并联系统的可靠度大于各单元的可靠度的最大值。
（4） 随着单元数的增加，系统的可靠度增大，系统的平均寿命也随之增加，但随着单元数目的增加，新增单元对系统可靠性及寿命提高的作用越来越不明显。
5并联系统可靠性分析的重要方向及其确定方法
5.1并联系统失效概率估算的重要方向
为表达方便, 设所研究的并联系统中基本随机向量被转化为标准正态随机向量x= [x1,…,xn]。
即xi～N(0,1) (i= 1,…,n)。假设并联系统的m个失效模式的极限状态函数为gi(x) (i = 1,…,m)。
则系统失效域F可表示为F=∩mi= 1Fi=∩mi= 1{x∶gi(x)< 0} (1) 式中,Fi= {x∶gi(x)< 0}为第i个失效模式所定义的失效域。并联系统的失效概率P(s)F则可表示为P(s)F=∫…∫F f(x)dx(2)。
式中,f(x)为基本随机变量的联合概率密度函数。从(2)式可知,失效域F中概率密度f(x)越大。
其对失效概率的贡献越大。对比单模式的情况,可以将失效域F中f(x)达到最大值的点定义为并联系统的设计点,则原点到设计点的方向则构成了重要方向,将此重要方向用α表示。
5.2　并联系统重要方向α的确定
由于马尔可夫链可以高效模拟感兴趣区域的样本[6],因此本文采用马尔可夫链模拟确定重要方向α。其基本思路是用马尔可夫链获取并联系统失效域中样本点,利用系统失效域中条件样本点,可以确定并联系统的重要方向。对于联合概率密度函数为f(x)的随机向量,其落在失效域内的样本点的密度函数可以表示为q(x|F),且满足如下关系式：q(x|F)=IF(x)f(x)/P(s)F(3)
式中,IF(x)是失效域的指示函数,当x∈F时,IF(x)= 1;否则,IF(x)= 0。马尔可夫链通过建议分布和Metropolis-Hastings准则,可以快速获得密度函数为q(x|F)的样本点[7],其步骤如下:
(1)初始状态x0的确定
由马尔可夫链的原理可知,其初始状态x0应服从密度函数q(x|F)。即使以不服从q(x|F)的x0作为初始状态,以q(x|F)作为平稳分布的马尔可夫链模拟样本也近似服从q(x|F),这就使得初始状态的选取变得简单。一般的做法是采用工程经验或简单数值方法求得失效域中的一个点作为x0。
(2)马尔可夫链的第j个状态xj的确定
首先依据马尔可夫链理论选取n维空间的均匀分布作为建议分布f(x′|xj-1)[8]。然后,由建议分布产生马尔可夫链的第j个备选状态x′,并由式(4)的Metropolis-Hastings准则确定马尔可夫链的第j个状态xjxj=x′m in(1,r)≥Random [0, 1]xj-1m in(1,r)< Random [0, 1](4)式中,Random [0, 1]表示在[0, 1]区间上产生的均匀分布的随机数,r=q(x′|F)/q(xj-1|F)。该准则表明,马尔可夫链以概率m in(1,r)接受x′作为链的下一个状态,以概率1 -m in(1,r)拒绝转移到x′,即链仍处于状态xj-1。
(3)重复步骤(2),直到产生N个马尔可夫状态[4]　
Xj (j= 1,…,N)。
(4)计算重要方向α
对所有马尔可夫状态xj(j= 1,…,N)进行正则化,即计算单位向量xj/‖xj‖,然后求得所有单。
位向量的平均向量,从而得到重要方向α,指向最有可能失效点。α=1N∑Nj=1 xj‖xj ‖(5)。
图1是由马尔可夫链样本确定重要方向的简单示意图,图中的灰点表示马尔可夫链的初始点x0,黑点表示由马尔可夫链模拟的并联系统失效域中的条件样本xj(j= 1,…,N),这些样本不仅用来确定重要方向α,而且也将作为失效概率估算的线抽样的样本。图1　利用马尔可夫链获取重要方向T2　马尔可夫链线抽样方法将上节获得的重要方向α正则化,可得到单位向量eT。eT=α/‖α‖x(6)以上节并联系统失效域中的马尔可夫链样本作为线抽样的样本,并联系统可靠性分析的线抽样方法的抽样方式见图2。基于文献[2]给出的单模式线本文提出了解决多模式并联系统失效概率的马尔可夫链线抽样方法,与Monte Carlo法相比,所提方法的抽样效率大大提高,计算量有明显的下降,且本文方法将求解重要方向和失效概率的估算融为一体,充分利用了马尔可夫链条件样本信息,更好地提高了计算效率。所提方法显然适用于隐式非线性的极限状态方程,有很广泛的适用范围。此外,对于含有非正态随机变量的系统,还可以先将非正态随机变量转化为标准正态随机变量后,再运用本文方法求解失效概率。[5]
6结论
串并联系统模型在机械可靠性工程中有着重要的应用。串联系统由个单元之间串联组成，串联单元越多则系统可靠度越低，系统可靠度低于系统中最薄弱单元的可靠度。所以，假如最薄弱单元环节能承受的最大载荷或最危险环境，就认为系统是成功的。并联系统的单元效率为常数时，并联系统的失效率不再是常数，而是时间的函数，也就是说并联系统单元寿命服从指数分布时，并联系统的寿命数据不再是指数分布。在并联系统中，只有每个单元的失效时间都达不到系统所需要的工作时间时，系统才失效。以此，系统的失效概率就是单元全部同时失效的概率。随着单元数n的增多及单元可靠度R的增大，系统可靠度将迅速增大。并联系统对航天系统的可靠性与长寿命有重要作用，为了提高可靠性往往采用单元并联的方法。并联系统由重复的组件，也称为工作贮存系统。并联系统的失效率是组件全部同时失效的概率。
参考文献
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2015年4月28日