高一下学期数学讲义c.doc

数学辅导讲义
学员姓名： 吴尚 年 级：高一 教师：刘裕
课 题
第五章 三角比—解斜三角形
授课时间：4月22日上午10：00—12：00

教学目标

掌握求三角形的面积。正弦定理、余弦定理、扩充的正弦定理，解斜三角形。

重点、难点

正弦定理和余弦定理与其他数学知识的综合运用。

考点及考试要求

从近两年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，主要考查到用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系，诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图像和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题。
教学内容
一、基础知识点：
定义：已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
（1） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．
正弦定理的变形公式： ①，，；
②，，；
③；
④．
[理解定理]
« 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，
即存在正数k使，，；
« 等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
« 直角三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（a）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）
（b）锐角之间的关系：A＋B＝90°；
（c）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。
« 斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。
（a）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（b）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
。
（R为外接圆半径）
（2）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即

从余弦定理，又可得到以下推论：

[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
注意：若ABC中，C=，则，这时
（由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。）
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解；
（3）若，则无解。

由余弦定理可知

（注意：）
（3）三角形面积公式：．
（4）总结解斜三角形的要求和常用方法.
« 利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：
①已知两角和任一边，求其它两边和一角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角.
« 应用余弦定理解以下两类三角形问题：
①已知三边求三内角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角.

【例题讲解】
例题1.正余弦定理
已知锐角△ABC的三内角A、B、C的对边分别是.且.
(1)求角A的大小;
(2)求的值.
解: (1)由已知:
∴ ∴锐角△ABC ∴
(2)原式=
=
=
例题2. 在中，内角所对的边长分别是, 已知，.
（1）求的值；
（2）若为的中点，求的长.
解：（1）且，∴．
∴
．
（2）由（1）可得．
由正弦定理得，即，解得．
在中，， ，∴．
例题3:面积计算
(1).已知中,,边上的中线的长为7,求边的长;
(2).已知中,,求面积的最大值.

解：⑴在中，，
在中，

⑵∵，∴，
.
∴，
∴．
当且仅当时取得等号．
例题4：形状判定
在 中，若，则此三角形是（ ）
（A）等腰三角形 （B）直角三角形
（C）等腰直角三角形 （D）等腰或直角三角
（本章节知识点考点分类）
一、求解斜三角形中的基本元素
是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．
例1. 中，，BC＝3，则的周长为（ ）
A． 　　　　　 B．
C． 　　　　　　 D．
例2(2005年全国高考湖北卷) 中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值．

二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．

例3 在中，已知，那么一定是（ ）
A． 直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形

评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断，⑵统一化为边，再判断．

三、 解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
例4 在中，若，，，则的面积S＝_________
分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式S＝AB•AC sinA即可解决．

四、求值问题
例5 在中，所对的边长分别为，若满足条件和，求和的值．
分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．

五、 正余弦定理解三角形的实际应用
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：
（一.）测量问题
例6 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。
图1
A
B
C
D

（二.）遇险问题
例7.某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？
解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上。 在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7.5。
这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。

西
北
南
东
A
B
C
30°
15°
图2

（本章节知识点易错题分析）
例题1　在不等边△ABC中，a为最大边，如果，求A的取值范围。
错解：∵。则
，由于cosA在（0°，180°）上为减函数
且
又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°。
辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。

例题2　在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。
错解：由正弦定理，得
即
。
∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。
辨析：由，得2A＝2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。

例题3　在△ABC中，A＝60°，b＝1，，求的值。
错解：∵A＝60°，b＝1，，又，
∴，解得c＝4。
由余弦定理，得
又由正弦定理，得。
∴。
辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。

例题4　在△ABC中，，C＝30°，求a＋b的最大值。
错解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。
由正弦定理，得
，

又∵
∴。
故的最大值为。
辨析：错因是未弄清A与150°－A之间的关系。这里A与150°－A是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。

例题5　在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°，求A。
错解：由余弦定理，得

∴。
又由正弦定理，得
而。
辨析：由题意，∴。因此A＝150°是不可能的。错因是没有认真审题，未利用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。

例题6　在△ABC中，，判断△ABC的形状。
错解：在△ABC中，∵，由正弦定理
得
∴
∴A＝B且A＋B＝90°
故△ABC为等腰直角三角形。
辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义，导致结论错误。

例题7　若a，b，c是三角形的三边长，证明长为的三条线段能构成锐角三角形。
错解：不妨设，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。
。
由于a，b，c是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有，即。
∴长为的三条线段能构成锐角三角形。
辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。

【实战演练】
1.求解下列三角形：
（1）；（2）；
2．已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于( )
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
3．已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，则A∶B∶C等于( )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶1
C．1∶3∶2 D．3∶1∶2
4．在△ABC中，若_________。
5.在中,若,则( )
A、 B、 C、 D、
6．在△ABC中，若则△ABC的形状是_________。
7.．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )
A．9 B．18 C．9 D．18
8．在△ABC中，若，则其面积等于（ ）
A． B． C． D．
A
C
B
9.如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？（sin15°=0.26, cos15°=0.97， ）

A