高三理科班数学附加题速成：参数极坐标.doc

高三理科班数学附加题速成教材 参数极坐标
（一）基础知识
1.极坐标定义：M是平面上一点，表示OM的长度，是，则有序实数实数对,叫极径，叫极角；一般地，，。

2.常见的曲线的极坐标方程
（1）直线过点M,倾斜角为常见的等量关系：
正弦定理，；
（2）圆心P半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理；
（3）圆锥曲线极坐标：，当时，方程表示双曲线；当时，方程表示抛物线；当时，方程表示椭圆.提醒：极点是焦点，一般不是直角坐标下的坐标原点。
极坐标方程表示的曲线是 双曲线
3.参数方程：
（1）圆的参数方程：
（2）椭圆的参数方程：
（3）直线过点M,倾斜角为的参数方程：即，
即注：，据锐角三角函数定义，的几何意义是有向线段的数量；
如：将参数方程为参数化为普通方程为 将代入即可，但是；
如：直线为参数被圆截得的弦长为____直线为，弦长.
4. 极坐标和直角坐标互化公式： 或，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.
（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合.
（2）将点变成直角坐标，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。
5. 极坐标的几个注意点：
（1）极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点(极点)
如：已知圆的参数方程为 （为参数），若是圆与轴正半轴的交点，以圆心为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点的圆的切线的极坐标方程。
如：已知抛物线，以焦点F为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求抛物线的极坐标方程。即。
（2）对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识不足
如：已知椭圆的长轴长为6，焦距,过椭圆左焦点F1作一直线，交椭圆于两点M、N，设,当α为何值时，MN与椭圆短轴长相等？
（3）直角坐标和极坐标一般不要混合使用：
如：已知某曲线的极坐标方程为。（1）将上述曲线方程化为普通方程；（2）若点是该曲线上任意点，求的取值范围。

（二）基本计算
1.求点的极坐标：有序实数实数对,叫极径，叫极角；如：点的直角坐标是，则点的极坐标为 提示：都是点的极坐标.
2. 求曲线轨迹的方程步骤： （1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P；（3）写出等式；（4）根据几何意义用表示上述等式，并化简（注意：）；（5）验证。如：长为的线段，其端点在轴和轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，垂足为，求点的轨迹的极坐标方程（轴为极轴），再化为直角坐标方程.
解：设点的极坐标为，则，且，，∴点的轨迹的极坐标方程为.由可得， ∴其直角坐标方程为.
3.求轨迹方程的常用方法：
⑴直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹最基本的方法.
⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回方程
⑶代入法(相关点法或转移法).
如：从极点作圆的弦,求各弦中点的轨迹方程.解:设所求曲线上的动点的极坐标为,圆上的动点的极坐标为由题设可知,,将其代入圆的方程得:.
⑷定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义,则可由曲线定义直接写出方程.
⑸交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将、均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.
4.参数和极径的几何意义的运用：表示OM的长度；几何意义是有向线段的数量；
如：已知过点的直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于A B两点，则AB最小值为 提示：设倾斜角为，则或AB=，，则， 令，所以，，注意：本题可以取倾斜角的补角为
如 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，求线段的长度.
解：对此抛物线有，所以抛物线的极坐标方程为，两点的极坐标分别为和，， ， ∴.∴线段的长度为16.
如一颗慧星的轨道是抛物线，太阳位于这条抛物线的焦点上.已知这慧星距太阳千米时，极半径和轨道的轴成角.求这颗慧星轨道的极坐标方程，并且求它的近日点离太阳的距离.解：以太阳的位置为极点，轨道的轴为极轴，建立极坐标系，设轨道的极坐标方程为，因为时，，∴， ∴，∴轨道的极坐标方程为，当时，.∴这颗慧星轨道的极坐标方程为，它的近日点离太阳的距离为千米.
5.参数方程的应用----求最值：
如：已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。.（2） .
如：在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值.解：设椭圆的参数方程为， 当，即时，，此时所求点为.

典型例题
1．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为．
（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解（1）⊙O1的直角坐标方程为；⊙O2的直角坐标方程为．
（2）．
2．求直线被圆截得的弦长．
解 2．

3．在极坐标系中，直线的方程为，求点到直线的距离．
解 2．
说明 设计极坐标的问题，一般采取首先将极坐标转化为直角坐标，得出结论后再转化为极坐标．

4．已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：．
（1）将直线的参数方程化为普通方程，⊙C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）判断直线和⊙C的位置关系．
解（1）直线的普通方程为；⊙C的直角坐标方程为．
（2）直线和⊙C相交．

5．已知椭圆的极坐标方程为，点，为其左，右焦点，直线的参数方程为．
（1）求直线l和曲线C的普通方程；
（2）求点，到直线的距离之和.
解（1）直线普通方程为；曲线的普通方程为． （2）

6．已知M椭圆（a>b>0）上在第一象限的点，A（a，0）和B（0，b）是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值。
解．
说明 重点掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，特别是将极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程；理解记忆几个简单图形的极坐标方程以及直线、圆及椭圆的参数方程，并会简单应用圆、椭圆的参数方程解题．
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