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2010高一第二学期数学期末单元复习材料
一、解三角形：
知识清单
常用的主要结论有：
⑴大边对大角:.
⑵底×高=(其中是内切圆半径)

⑶(正弦定理) ⑷(余弦定理)
典型例题
例1．正弦定理与余弦定理
在中，若 ，则 ．
变式1：在中，若a=6，，，则__________．
变式2：在中，若 ，，，则此三角形的周长为__________．

变式3：已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a=4，b=5，S=5，求c的长度．

例2.三角形中的几何计算
在中，，，的平分线交过点且与平行的线于点．求的面积．

变式：在中，已知内角，边.设内角,面积为．
⑴ 求函数的解析式和定义域；
⑵求的最大值．

例3．解三角形的实际应用
某观察站B在城A的南偏西的方向，由A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B31km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B，D间的距离为21km，这个人还要走多少路才能到达A城？

巩固练习：
1．在中，则BC =
2．在中，若，，，则
3．在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝

4．在中，角所对的边分别为，若，，，
则
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =，
且
(1) 求角C的大小； （2）求△ABC的面积.

6．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（1）求tanC的值; （2）若最长的边为1，求b．

二、数列：
等差数列知识清单
1、等差数列定义： 或
2、等差数列的通项公式：；
说明： 为递增数列，为常数列， 为递减数列
3、等差中项的概念： ，，成等差数列
4、等差数列的前和的求和公式：
5、等差数列的性质：
（1）在等差数列中，对任意，，，；
（2）在等差数列中，若，，，且，则；
（3）设数列是等差数列，且公差为，
（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①奇偶； ② ；
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①偶奇；②．
6、数列最值
（1），时，有最大值；，时，有最小值；
（2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；
②若已知，则最值时的值（）可如下确定或
练习：
1．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为
2．设是公差为正数的等差数列，若，，则
3．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 项
4．等差数列共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n=
5．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝
6．设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn．

等比数列知识清单
1．等比数列定义：：
2．等比数列通项公式为：
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则
3．等比中项：两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项
4．等比数列前n项和公式
当时， 或；当q=1时，（错位相减法）
5．等比数列的性质
①；
②对于等比数列，若，则.
③若数列是等比数列，那么，，成等比数列
练习：
1．在等比数列中,,则
2．和的等比中项为
3． 在等比数列中，，，则＝　　　　　　
4．在等比数列中,和是方程的两个根,则
5. 在等比数列，已知，，则＝　　　　　　
6．设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q．

数列通项与求和知识清单
1．数列求通项与和
（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an= 。
（2）求通项常用方法
①作新数列法　　②累差叠加法　　③累商叠乘法　　④倒序相加法
⑤裂项求和　　　⑥并项求和　　　⑦错项相消法
练习：
1．求

2．已知数列和，设，求数列的前项和

典型例题
一、有关通项问题
1、利用求通项．
例：数列的前项和．（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？

变式题1、数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．

变式题2、已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．

2、解方程求通项：
例：在等差数列中，（1）已知；

（2）已知；

(3)已知．

二、有关等差、等比数列性质问题
例：一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为

变式：等比数列的各项为正数，且

三、数列求和问题
例：已知是各项不为零的等差数列，其中，公差，若,求数列前项和的最大值．

变式：在等差数列中，，，求的最大值．

例：（1）已知数列的通项公式为，求前项的和；

（2）已知数列的通项公式为，求前项的和．

三、不等式：
知识清单：
如果a,b∈{x|x是正实数}，那么≥（当且仅当a=b时取“=”号）.
注：当a、b为正数时,（当且仅当a = b时取“=”号）
即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数
特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.
练习：
1．如果，那么，下列不等式中正确的是
（A） （B） （C） （D）
2．设a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是
A.a+c>b+d B.a－c>b－d C.ac>bd D.
3．若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是
4．不等式的解集是
5．若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），比较PQ R的大小．

典型例题
例1、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
变式１：设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围．

变式2：解关于x的不等式

例3、求的最大值，使满足约束条件．
变式：点（－2，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是______

例４、（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

变式1：函数y =＋的值域为

变式2：设x≥0, y≥0, x2+=1,则的最大值为　　　　　　　　　

例５、要制造一个无盖的盒子，形状为长方体，底宽为2m，现有制盒材料60m2，当盒子的长、高各为多少时，盒子的体积最大？

四、直线和圆：
知识清单：
1、直线的倾斜角：范围
如：直线的倾斜角的范围是__ __
2、直线的斜率：
（1）定义： ＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；
（2）斜率公式： ；（3）直线的方向向量
如：实数满足 ()，则的最大值、最小值分别为______

3、直线的方程：
（1）点斜式： ,它不包括垂直于轴的直线；
（2）斜截式： ,它不包括垂直于轴的直线；
（3）两点式： ，它不包括垂直于坐标轴的直线；
（4）截距式： ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线；
（5）一般式：任何直线均可写成(A,B不同时为0)的形式．
如（1）经过点（2，1）且方向向量为=(－1,)的直线的点斜式方程是___________；
（2）直线，不管怎样变化恒过点______；
（3）若曲线与有两个公共点，则的取值范围是_______；

(4)过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条．
4.设直线方程的一些常用技巧：
（１）与直线平行的直线可表示为；
（２）与直线垂直的直线可表示为．
5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：
（1）点到直线的距离；
（2）两平行线间的距离为。
6、直线与直线的位置关系：
（1）平行（斜率）且（在轴上截距）；
（2）相交；　　　　　提醒：（1）与平行并不等价
（3）重合且；
⑷直线与直线垂直．
如（1）设直线和，当＝_______时∥；
当＝________时．
（2）两条直线与相交于第一象限，则实数的取值范围是__；

（3）设分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线与的位置关系是____；
7、对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：
如（1）已知点与点关于轴对称，点P与点N关于轴对称，点Q与点P关于直线对称，则点Q的坐标为_______；
（2）已知直线与的夹角平分线为，若的方程为，那么的方程是___________；
（3）点Ａ（４，５）关于直线的对称点为Ｂ(－2,7)，则的方程是_________；
（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线:3x－4y+4=0反射，如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________；

8、圆的方程：
⑴圆的标准方程：
⑵圆的一般方程：
特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆
如（1）圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为____________；
（2）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________；
（3）如果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是；

（4）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____；
9、点与圆的位置关系：已知点及圆，
（1）点M在圆C外；
（2）点M在圆C内；
（3）点M在圆C上
如：点P(5a+1,12a)在圆(x－１)２＋y2=1的内部,则a的取值范围是______
10、直线与圆的位置关系：直线和圆
有相交、相离、相切，可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法：相交； 相离；相切；
（2）几何方法：圆心到直线的距离，则相交；相离；相切．
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷．
如（1）圆与直线，的位置关系为____；
（2）若直线与圆切于点，则的值____；
（3）直线被曲线所截得的弦长等于 ；
（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 ；
（5）已知圆C：，直线L：．①求证：对，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程．

11、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为，半径分别为，则（1）当时，两圆外离；（2）当时，两圆外切；（3）当时，两圆相交；（4）当时，两圆内切；（5）当时，两圆内含．
12、圆的切线与弦长：
(1)切线：
①过圆上一点圆的切线方程是：，
②从圆外一点引圆的切线一定有两条，
设A为圆上动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为________；

（2）弦长问题：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；
13.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!
⑴已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，③圆心到直线l:x-2y=0的距离为，求该圆的方程.

O
x
y
Q
A
B
P
M
⑵如图，已知⊙M：x2+(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，⑴如果，求直线MQ的方程；
⑵求动弦AB的中点P的轨迹方程．

五、算法、统计、概率：
典型例题
例1．已知两个单元分别存放了变量的值，试交换这两个变量的值.
解：S1
S2

S3
例2．设计计算的一个算法.
解：（1）自然语言： (2 ) 流程图：
S1 ；

S2 ；
S3 ；
S4 ；
S5 如果I小于99，那么转S3；
S6 输出S.
（3）伪代码：

N
开始
结束
输出S

Y
For I From 1 To 99 Step 2

End For
Print S

例3．设计满足的最小整数的算法.
解：（1）自然语言： (2 ) 流程图：
S1 ；
S2 ；
开始

输出I
Y

S3 如果，那么，
，重复S3；
S4 输出I；
（3）伪代码：

While

N
End While
N
Print I

结束

例4．已知函数试写出计算y值的一个算法.
解：(1)伪代码 (2 ) 流程图：
Read x
If Then

Else If Then
Else

开始
输入x

End If

Print y

输出y

练习
结束
1． 下面是的流程图，图中的①②分别是（ ）
A．①② B. ①②
C．①② D. ① ,②
开始

End While
Print x

②

①

Y

N

输出s

结束

２．执行上述程序后的值是　　　　　　　　　
总体分布的估计：
直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，
小矩形的面积表示频率
样本平均数：
样本方差：；
方差和标准差用来衡量一组数据的波动大小，数据方差越大，说明这组数据的波动越大．
提醒：若的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为．
已知数据的平均数，方差，则数据的平均数和标准差分别为
随机事件的概率，其中当时称为必然事件；当时称为不可能事件P(A)=0；
等可能事件的概率（古典概率）：:P(A)=m/n;
如： 设5件产品中有2件次品，3件正品，求下列事件的概率：
① 从中任取2件都是次品；
②从中任取2件恰有1件次品；
③从中先后有放回地任取2件至少有1件次品；
④从中依次取2件恰有1件次品．

互斥事件(不可能同时发生的):P(A+B)=P(A)+P(B);
如：有A、B两个口袋，A袋中有4个白球和2个黑球，B袋中有3个白球和4个黑球，从A、B袋中各取两个球交换后，求A袋中仍装有4个白球的概率．

对立事件(A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一发生):P(A)+P()＝1;
1.一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率

2.右图为80辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图,
则时速在的汽车大约有 　　 辆

3.把一根匀均匀木棒随机地按任意点拆成两段,则“其中一段的长
度大于另一段长度的2倍”的概率为

4．对一质点的运动过程观测了4次，得到如表所示
的数据，则刻画y与x的关系的线性回归方程为
x
1
2
3
4
y
1
3
5
6

5．在100ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出20ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是 　　
6． 袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是 　　 ．

7．如图，四边形为矩形， ，，以为圆心，1为半径作四分
之一个圆弧，在圆弧上任取一点，则直线与线段有公共点的概率
是

8．在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM>AC的概率是 　　 ．
9．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了_________件产品．
10．若以连续掷两次毂子，分别得到点数 m、n，作为点p的坐标，则点p落在圆x2+y2=16内的概率是__________．
11. 某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有两名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是　　　　　　　　　　．
S←0
For I from 1 to 11 step 2
S←2S+3
If S>20 then
S←S-20
End If
End For
Print S

12. 如图，伪代码运行后的输出结果S=

易错题:
1、已知：在⊿ABC中，，则此三角形为 三角形．
2、在中，，,若这个三角形有两解，则的取值范围是 ．
3、数列中，，则其通项公式为 ．
4、等差数列{an}{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若，则= ．
5、在数列中，， ，则 ．
6、，且数列｛an｝是单调递增的，则实数λ的取值范围 ．
7、一个各项均正的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比 ．

8、在△ABC中，内角A、B、C依次成等差数列，且AB=8，BC=5，则△ABC的内切圆的面积为 ．

9、等差数列中，，且从第5项开始，每项都为正数，公差d的取值范围为 ．
10、过点A（1，2）作直线，使它在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线的条数是 ．

11、数列1，（1+2），（1+2+22）…的前n项和 ．

12、直线过定点，且与以为端点的线段PQ相交，则的斜率的取值范围是 ．

13、设是正项等比数列，公比q=2，且，则 ．

14、等比数列{}的前三项为则________．
15、过点P（1,2）引一直线，使它与两点A（2,3）、B（4,－5）的距离相等，
则直线的方程为 ．

16、已知直线，为使这条直线不过第二象限，
则实数的取值范围是 ．

17、已知三条直线及，
当 时，这三条直线不能构成三角形．

18、等比数列中，，则 ．

19、顶点，两边AB、AC上的高CD、BE所在直线方程分别是 和，则点坐标是　　　　　　　　　　．

20、点A（1，3），B（5，－2），点P在x轴上使|AP|－|BP|最大，则P的坐标为 ．

21、是等差数列，，则使的最小的的值是 ．

22、把正整数按上小下大、左小右大的原则排成
如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
…………………………

………………………
设（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从
上往下数第i行、从左往右数第j个数，
如＝8．若＝2006，
则i、j的值分别为________ ，__________．
23、不等式的解集为 ．
24、若且函数，则的最小值为 ．

25、又，则的范围是 ．

26、一直变量满足约束条件，若目标函数(其中)仅在点处取得最大值,则的取值范围为 ．

27、已知，若恒成立，则实数的取值范围为 ．
28、当时，恒成立，则的取值范围是 ．

29、若关于的方程有实数解，则实数的取值范围为 ．

30、过点的直线与曲线有两个公共点，则直线的斜率的取值范围为　　　　　　　　．

31、已知点与点在直线的两侧，则下列说法:
（1）； （2）有最小值，无最大值；
（3）恒成立；
（4）,时, 则的取值范围为．
其中正确的是 （把你认为所有正确的命题的序号都填上）．

32、三位同学合作学习，对问题“已知不等式对于恒成立,求的取值范围”提出了各自的解题思路.
甲说：“可视为变量，为常量来分析”.
乙说：“寻找与的关系，再作分析”.
丙说：“把字母单独放在一边，再作分析”.
参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数的取值范围是 ．
33、过点作直线与圆交于M、N两点，若=8，
则的方程为 ．

34、已知圆，直线过定点，若与圆相切，则的方程
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