基于积分的储油罐的变位识别与罐容表标定模型.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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日期： 2010-9-12

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用积分法研究储油罐的变位识别与罐容表标定模型
摘要

本文主要处理储油罐变位识别问题，用积分的方法建立了多种情况下与罐容表有关的数学模型，并分析油罐纵向倾斜和横向倾斜时对罐容表的影响，综合计算出罐内油位高度和储油量的对应变化情况，给出了一个可行的罐容量标定表。
针对问题一：由于小椭圆型储油罐在没有变位时，根据储油罐液体的高度可以用积分法求出液体的体积，即罐内储油量，从而求出了储油罐内液体在一定的的深度时与之相对应的体积。同时用附件一所给的未变位时的油位高度与罐内储油量去检验，得到相对误差为。我们还根据题目中所给的无变位进油时的数据拟合出油位高度与罐内储油量的关系式。同时用无变位出油的数据去检验，得到相对误差为，比前一种方法更贴近实际。当储油罐以纵向倾斜角度a变位时，我们分七种情况讨论了储油罐内液体的体积v与油位高度的关系，并用积分法求出了它们的函数关系，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。并运用题中所给的数据对其进行了检验，验证了罐容表标定值的可行性。
针对问题二：我们分了三种情况从易到难讨论储油罐可往纵向倾斜角度为a和横向偏转角度为b时变位对罐容表的影响。当只考虑储油罐横向偏转时，可以根据几何知识算出偏转前与偏转后油位高度的函数关系式。当只考虑储油罐纵向偏转时，我们讨论了七种情况并用积分法分别求出了罐内储油量与油位高度和纵向倾斜角度a的函数关系式。当纵向和横向同时偏转时，我们假设储油罐先发生纵向偏转，然后发生横向偏转，并用了不同的两种积分方法分别求的罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）的关系式。最后根据附件2中的数据运用多项式拟合罐内储油量与油位高度，a，b的关系式，比较两个式子，可近似求出 ,。从而可以求出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值,同样运用数据对其进行检验.
最后，论文对问题一和问题二建立的数学模型进行了误差分析和检验，并对该模型的全面性，可行性，实用性进行了评价，为了减小模型的误差，我们定义了修正因子，并算出了修正后的油罐体内液体的体积。由于实际问题的复杂性，我们只对卧式储油罐进行了较深的研究，对于如何解决其它类型储油罐的变位识别与罐容表标定有待进一步的研究。

关键词： 变位识别 罐容表 积分法 多项式拟合 修正因子

1 问题的重述
加油站一般都配有采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据的“油位计量管理系统”。它通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
由于地基变形等原因会使使用一段时间后的储油罐的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变位从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
需要我们用数学建模方法研究并解决与储油罐的变位识别，罐容表标定有关的两个问题。
问题一：为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图所示的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.1度的纵向变位两种情况做了实验，实验数据在附件中。要我们建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
问题二：对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。再利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据我们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验我们模型的正确性与方法的可靠性。

2 问题的分析
储油罐罐内油位高度和储油量的变化情况是通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）来计算的，从而要求标定的罐容表具有很高的
精确度和很好的稳定性。但由于地基变形等原因会使使用一段时间后的储油罐的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变位从而导致罐容表发生改变，需要定期对罐容表进行重新标定。
需要我们解决的问题就是储油罐的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变位时求出罐内油位高度与储油量的对应关系。由于题中给出关于储油罐的多个示意图和罐体无变位与变位时进出油与高度的关系，我们既可以根据图形的几何关系写出它们之间的函数关系式并用积分法化简求解，也可以用数据拟合它们的函数关系式。

2.1问题一的分析：
由于问题一是要求罐体无变位和倾斜角为a=4.1度的纵向变位时罐内油位高度与储油量的对应关系。对于无变位时，我们根据图形的几何关系写出它们之间的函数关系式并用积分法化简,再用Matlab软件进行求解，同时用题中所给的数据进行检验。
我们还运用题中给的无变位时进油和罐体储油量这组数据进行拟合分析，得到罐内油位高度与储油量的对应关系式以及它们的图像，并用出油量和罐体储油量的数据进行检验，使误差更加小，更切合实际。
对于倾斜角为a=4.1度的纵向变位时，在油品注入整个储油罐的过程中，随着油位高度的不断升高，会出现七种临界状态。我们先用积分法化简再用matlab软件求出它们的临界值，然后根据它们的临界值分阶段确定出罐内油位高度与储油量的对应关系式。从而得出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

2.2问题二的分析：
由于罐体在受到地基变形等不同因素的影响，罐体会发生不同方向的变位，特别是纵向偏转和横向偏转会使罐内储油量与油位高度发生改变。我们分别讨论了纵向倾斜角度和横向偏转角度变位罐内储油量与油位高度的关系，并进一步讨论了罐体同时偏转时的情况。
当罐体只有横向偏转时的理想状态下，我们根据体积与面积的积分关系建立了积分法，同时求出了罐体内液体体积与液面高度和横向偏转角度b的函数关系。当罐体只有只纵向偏转时的理想状态下，我们同样分为七种情况分别讨论罐体内液体体积与液面高度和纵向倾斜角度a的函数关系，并用积分法进行化简求解。
最后，我们讨论纵向和横向同时偏转的情况，在假设罐体先纵向偏转，再横向偏转的情况下，我们运用两种不同的方法分别求出了罐内储油量与油位高度，纵向倾斜角度a和横向偏转角度的关系式。并用多项式拟合算出近似的和的值，最后根据以上的关系式用积分法求出了罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

4 模型的假设及其符号的说明

4.1模型的假设
① 假设储油罐内壁的厚度可以忽略不计；
② 假设变位后，往储油罐注油的初始值为零；
③ 假设罐中的油受到温度热胀冷缩的影响忽略不计；
④ 假设不会因地基变形等影响使罐体的形状发生变化；
⑤ 假设探针在油罐中所占的体积可以忽略不计；
⑥ 假设题中所给的数据真实可靠。
4.2符号的说明

储油罐中油的体积，单位

储油罐中在椭圆柱体部分的油的体积，单位

储油罐中变位侧（左侧）球冠体部分油的体积，单位

储油罐中右侧球冠体部分的油的体积，单位

储油罐椭圆截面长轴半径，单位

储油罐椭圆截面短轴半径，单位

储油罐中油位探针测得的液体的深度，单位

储油罐变位时与水平线的倾角，单位

储油罐中油位探针与地平线垂直线的倾角，单位

储油罐中球冠体半径，单位

储油罐中横截面圆的半径，单位

储油罐中左侧面被油覆盖的深度，单位

储油罐底面的长度（圆柱体的长度），单位

储油罐中右侧面被油覆盖的深度，单位

储油罐横截面的面积，单位

误差修正因子

5问题一模型建立与求解
5.1罐体无变位时与罐容表有关的数学模型的建立与求解
5.1.1方法一 ：几何方法

(0,2b)
(a,b)
(-a,b)
y=h

（0，0）
图1罐体的横截面椭圆的坐标系

在罐体无变位时，储油罐水平放置，储油罐内油品的体积与油品液面高度存在函数关系。某一液面高度下，罐内油品体积

根据积分的概念，体积元素

为罐体在某一高度液面的截面面积
罐体的横截面为椭圆（如图1所示），以(0,b)为坐标原点建立直角坐标系可得椭圆的方程式为

从而可得到由表示的的方程式

由体积对进行积分可得

化简整理可得

代入数据,,可得

运用matlab软件编程可得到所求解的理论上的储油量与罐内油位高度的对应关系，为了检验它的准确性，我们通过实际数据拟合出来它们的另一条关系曲线。如图2所示

图2用几何算法得到油的容量与高度的关系图和实际数据关系图

从图像上看这两条曲线非常趋近，同样用matlab编程可得到它们的平均相对误差，为。
5.1.2方法二：数据拟合法
根据题目给出的进油时罐体内油的体积和油位高度两组数据可以用Excel软件拟合出它们的一次函数关系式并作出图像。关系式为

图3拟合得到的油的容量与高度的关系图

然后用出油时罐体内油的体积与油位高度的数据去检验它的准确性。可以看出，=0.9967，契合度比较好。同样用matlab可以得到它的平均相对误差为，比用几何关系得到的模型误差更小，而且易于实际操作。
5.2罐体纵向变位倾斜角时与罐容表有关的数学模型的建立与求解。
在油品注入整个储油罐的过程中，随着油位高度的不断升高，会出现七种临界状态，因此可以得到七种临界情况下油品的体积与高度的值。
5.2.1第一种情况下罐内油位高度与储油量的对应关系

图4第一种情况下油罐中油品的体积

由于罐体变位倾斜，探针和罐体的内壁的距离，罐体里的油的体积从0开始增大，如图4示，当油平面达到时，在此过程中，油的深度没达到探针到罐体地面的位置，所以，。
则罐体内油的体积为.

我们建立了积分模型求体积，首先可求得横截面椭圆的面积.

（0，-b）-
(0,b)

(-a,b)
(a,b )

图5变位时椭圆截面的直角坐标系

可得到

从而可求得

化简整理可得

对其求定积分可得到这时油品的体积

当时，代入数据并用matlab软件编程可得升。这说明，在探油针测得的液体高度为0时，油罐内的液体最大体积可为1.7升。
5.2.2第二种情况下罐内油位高度与储油量的对应关系

图6第二种情况油罐中油品的体积

在第一种情况后接着往油罐注油时，慢慢地会出现油品液面与地面所成的角度刚好为，在这段过程中，油位高度的范围为。在临界状态时，即当时，罐体左边的横截面为同样是小半椭圆，椭圆的面积的求法和第一种情况一样，并且得到的截面积公式都时相同的。
从而可求得

代入数据并用matlab软件编程同样可得。这说明在油罐内，未变位的一侧（即所在地面未下陷的一侧）的罐壁未接触到液体之前，储油罐内的液体最大体积为151.2升。
5.2.3第三种情况下罐内油位高度与储油量的对应关系

图7第三种况下油罐中油品的体积

继续往油罐注油，会出现罐体液面高度刚好与左边的截面椭圆的半轴相等的状态，即最左端截面为半椭圆，在这段过程中，油位高度的变化范围为。对于临界状态当 时我们可以求得与其相对应的罐体中油品的体积。
首先可用相似比例关系求得与的关系式

然后再由体积对截面积进行积分可得：

代入数据并用matlab软件编程同样可得升
5.2.4第四种情况下罐内油位高度与储油量的对应关系

图8第四种情况下油罐中油品的体积

当油位高度刚好等于时，这时左边的液面（即变位的一侧）高度大于时，此时左边的接触液体横截面为该罐壁的大半，右边的为小半椭圆时， 由相似三角形的比例关系可得

由椭圆的对称性可得大半椭圆的截面积可以用整个椭圆的面积减去与它对称的小半椭圆的面积
即
其中
则此时的油的体积为：

则代入公式就可以求出结果为1797.2升。
5.2.5 第五种情况罐内油位高度与储油量的对应关系

图9第五种情况下油罐中油品的体积

当罐体左边横截面都为大半椭圆，右边刚好为半椭圆时
此时m ，时，
罐体内油的体积为

由matlab软件可求得。
5.2.6 第六种情况罐内油位高度与储油量的对应关系

图10第六种情况下油罐中油品的体积

当罐体左边的横截面为一个椭圆时
即时，

得到的结果为升。这说明在变位的一侧其罐壁在全部被液体接触的瞬间，罐内的最大油量为3956.7升。
5.2.7第七种情况罐内油位高度与储油量的对应关系

图11第七种情况下油罐中油品的体积

当注入罐体中油的深度大于探针在罐体的探针的长度时，探针不会再随着体积的增大而增大了，而是体积增大时探针的深度不变，即时。储油罐中油品的体积就要等于整个圆柱的体积减去DEF的体积，而DEF的体积又与第一种情况很相似。
则此时罐内液体的体积为：

得到的结果为升。此时，罐内液体的深度已经达到了最大值，为1.2m，。但在未变位的一侧还留有一些空隙。与第一种情况当h=0时有对称性。
最后总结整个过程中罐体内油位高度与储油量的对应关系
(1) 当时,那么
对应积分模型为：
(2)当,
对应积分模型为：

(3)当,
对应积分模型为：

(4)当,
对应积分模型为：

其中

(5)当时,

(6)当

（7）当时,

根据上面的模型和公式，可以用MATLAB编程综合各个模型画出罐体内油位高度与储油量的对应关系图（本图只考虑了三种主要模型，全局图可模仿此法计算得到）。

图12油位高度与储油量的对应关系图

5.3罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值
(1)当时，体积的标定值为1.7L.
（2）当m时体积的标定值为1797.2L.
(3)当m时体积的标定值为3959.5L.
(4)其它可用上面的模型或结合matlab软件求解，程序见附录，下面是多种情况综合得到的结果.（只选取结果的一部分，为h在[0,730]范围内与V的对应关系）。

表一：当小椭圆油罐变位4.1度时的容量表

油罐内油的深度/cm
油罐内油的容量/
油罐内油的深度/cm
油罐内油的容量/
0
0.0017
37
0.85
1
0.0019
38
0.8882
2
0.0028
39
0.9268
3
0.0046
40
0.9657
4
0.0077
41
1.005
5
0.0121
42
1.0446
6
0.0181
43
1.0846
7
0.0258
44
1.1248
8
0.0353
45
1.1654
9
0.0467
46
1.2062
10
0.0601
47
1.2472
11
0.0756
48
1.2886
12
0.0934
49
1.3301
13
0.1135
50
1.3719
14
0.137
51
1.4139
15
0.1579
52
1.456
16
0.1803
53
1.4983
17
0.2041
54
1.5408
18
0.229
55
1.5835
19
0.2549
56
1.6263
20
0.2819
57
1.6692
21
0.3098
58
1.7112
22
0.3386
59
1.751
23
0.3682
60
1.796
24
0.3986
61
1.839
25
0.4297
62
1.8822
26
0.4615
63
1.9255
27
0.494
64
1.969
28
0.5272
65
2.0125
29
0.561
66
2.0562
30
0.5953
67
2.0998
31
0.6302
68
2.1435
32
0.6656
69
2.1872
33
0.7016
70
2.2308
34
0.738
71
2.2743

5.4问题二模型的建立与求解
5.4.1 储油罐只有横向偏转时模型的建立与求解：
当罐体没有横向变位时，储油罐可以看做卧式圆筒形容器，则储油罐可以分成两部分，即圆筒部分体积和封头曲面部分体积，则储油罐内油的体积为
由圆筒内油的体积与油的深度的函数关系，可建立积分模型。
液体淹没圆筒横截面高度为的微面积为：

而 这部分液体的微体积为：
则代入字母化简得：

封头曲面内液体体积与液面高度的函数关系为：
则联立方程可得出：
将带入上面的积分式内
有：
又由于：
则：
横向偏转时：

图14 油罐体横向倾斜时截面

5.4.2当罐体纵向变位时，可以考虑七种情况，分别对这七种建立模型与求解：：

(1) 第一种情况：罐体中的液面没达到探针的位置，则油的体积可以分为两部分，即罐体可以分两部分为：在圆柱内的液体的体积和在左球冠体内。

圆的方程与液面建立方程：

则

根据积分定理，可得；
用积分公式解得：
则再对面积积分，可得
圆柱为液体的体积，则

左球冠体内液体的体积可用上面求的式子算
其中（）
则

(2) 第二种情况，左边的液体达到封头曲面内，而右边没有达到。则
圆柱为液体的体积：
则左球冠体内液体的体积： 其中

(3) 第三种情况，左右两边的液体达到封头曲面内，而且两边都是小半圆时，
则圆柱为液体的体积：
其中
这时左边封头曲面的油的体积为： 其中
右边封头曲面的油的体积为： 其中
则罐体内油的总体积为:

(4) 第四种情况，左右两边的液体达到封头曲面内，且左边达到大半圆，右边为小半圆时：
圆柱体内的油的体积为：

其中
这时左边封头曲面的油的体积为： 其中
右边封头曲面的油的体积为： 其中
则罐体内油的总体积为:

(5) 第五种情况，左右两边的液体达到封头曲面内，且两边都达到大半圆时：
圆柱体内的油的体积为：
这时左边封头曲面的油的体积为： 其中
而右边封头曲面的油的体积为： 其中
则罐体内油的总体积为:

(6)第六种情况为左边的封头曲面被油覆盖满时：
这时圆柱体内的油的体积为：
左边封头曲面的油的体积为： 其中
而右边封头曲面的油的体积为： 其中
则罐体内油的总体积为:

(7) 第七种情况为注入罐体内的油的体积的深度超过探针在罐体里的长度时：
这时罐体内油的体积为：

其中
5.5 横向和纵向的混合偏转时，模型的建立与求解
现在讨论罐体的横向和纵向的混合偏转，假设罐体偏转时首先纵向变位，再横向变位。有上面的讨论可知，纵向变位有七种情况，横向变位有一种情况。则针对罐体的混合偏转，可讨论七种情况。我们选择其中的一种情况来求罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。
方法一： 混合偏转时，我们先考虑纵向偏转，假设罐体里的油的体积为第三种情况，即两边都是小半圆时，建立体积与油位高度及变位参数的积分数学模型。
则圆柱体内的油的体积为：
其中
这时左边封头曲面的油的体积为： 其中
右边封头曲面的油的体积为： 其中
则罐体内油的总体积为:
然后，讨论罐体横向偏转，在体积不变的情况下，求出在未进行横向偏转时油的深度与体积的函数关系，
即 ，
再用几何关系，求出横向偏转后探针在油里的长度与未进行横向偏转时油的深度的关系式，
即
联立，可得体积与横向偏转后探针在油里的长度和a和b的函数关系式。
方法二：
假设混合偏转时首先发生纵向变位
当左右两边都是小半椭圆时
由相似三角形的比例关系可得

对与两边的球冠体的体积求解可做适当的简化，具体的做法时将液面简化为与截面垂直。 然后分别对它们构造左右两半球都相等的与椭球体。椭球体的标准方程式为

截面积
对其积分可得到体积为

又因为

由题已知条件可知 ，
左边球冠体积为当时
代入上面的数据和公式得

同理可得右边球冠体的体积为

接下来球中间圆柱体的体积，首先求得截面积为

对其积分可得到体积

可以根据下面的公式来算这个积分

那么整个的储油罐内油的体积为

其中是关于，的函数
当再发生横向变位时

将代入上述体积方程，可得到与，，的关系式。并由此编程可近似计算出，的值。它们是：。
下图是用excel软件对附件2中的一些数据的处理，表示的是油增量与油罐内油的深度净增量的关系。也可以用多项式拟合得出该图像的函数。

图15 油罐中油增量与深度增量的关系

我们用附件中的部分数据，拟合出油罐中油量与油位高度的函数关系，即：

根据此函数关系，我们可以近似计算出在纵向倾斜和横向倾斜混合状态下的罐容表，表单如下：

表二 混合倾斜状态下的罐容表：（间隔为10cm）
油罐内油的深度/cm
油罐内油的容量/
油罐内油的深度/cm
油罐内油的容量/
90
16.4296
330
79.7704
100
19.0688
340
82.4096
110
21.708
350
85.0488
120
24.3472
360
87.688
130
26.9864
370
90.3272
140
29.6256
380
92.9664
150
32.2648
390
95.6056
160
34.904
400
98.2448
170
37.5432
410
100.884
180
40.1824
420
103.5232
190
42.8216
430
106.1624
200
45.4608
440
108.8016
210
48.100
450
111.4408
220
50.7392
460
114.080
230
53.3784
470
116.7192
240
56.0176
480
119.3584
250
58.6568
490
121.9976
260
61.296
500
124.6368
270
63.9352
510
127.276
280
66.5744
520
129.9152
290
69.2136
530
132.5544
300
71.8528
540
135.1936
310
74.492
550
137.8328
320
77.1312
560
140.472

6 模型的误差分析和检验
6.1误差分析：
① 由于储油罐内有探油针，输油管，进油管等有碍于模型建立的准确性的物质的存在，所以根据建立的模型求解，难免与题中所给数据有一定误差。
② 由于编程软件的精度限制，以及题中数据量的庞大，所以计算得到的数值与实验中所测量的实际值有一定偏差。
③ 由于测量工具的精确性限制，附件中的数据也难免有细微的偏差，与我们建立模型求解的结果有误差。
④ 由于储油罐壁有一定的厚度，而且其壁面也不一定非常光滑没有腐蚀，这些都是影响数据精确性的原因。因此这些因素造成的误差在所难免。

6.2检验：

6.2．1储油罐未变位时的情况
第一问首先在储油罐未变位的情况下建立了一般模型并作图与原数据对比，并运用excel软件对所给数据进行了单相式拟合。我们现在知道，拟合出的函数消去了一些误差。现在我们用这个模型计算油罐未变位时与在附件中未用到的出油数据的标准差。
现在随机取出一些未用到的数据进行分析。分析情况见下表：

表三 对数据进行误差分析
累加进油/l
油位高度/mm
剩余容量/l
拟合容量/mm
差值
相对误差
相对误差平方
1902.72
619.08
2066.19
2049.76144
16.42856
0.007951
6.32E-05
1952.72
607.21
2016.19
2003.84828
12.34172
0.006121
3.75E-05
2002.72
595.35
1966.19
1957.9738
8.2162
0.004179
1.75E-05
2052.72
583.48
1916.19
1912.06064
4.12936
0.002155
4.64E-06
2102.72
571.61
1866.19
1866.14748
0.04252
2.28E-05
5.19E-10
2152.72
559.72
1816.19
1820.15696
3.96696
0.002184
4.77E-06
2202.72
547.82
1766.19
1774.12776
7.93776
0.004494
2.02E-05
2252.72
535.90
1716.19
1728.0212
11.8312
0.006894
4.75E-05
2302.72
523.95
1666.19
1681.7986
15.6086
0.009368
8.78E-05
2352.72
511.97
1616.19
1635.45996
19.26996
0.011923
0.000142
2402.72
499.96
1566.19
1589.00528
22.81528
0.014567
0.000212
2452.72
487.90
1516.19
1542.3572
26.1672
0.017259
0.000298
2502.72
475.80
1466.19
1495.5544
29.3644
0.020028
0.000401
2552.72
463.65
1416.19
1448.5582
32.3682
0.022856
0.000522
2602.72
451.43
1366.19
1401.29124
35.10124
0.025693
0.00066
2652.72
439.15
1316.19
1353.7922
37.6022
0.028569
0.000816
2702.72
426.80
1266.19
1306.0224
39.8324
0.031458
0.00099
2752.72
414.36
1216.19
1257.90448
41.71448
0.034299
0.001176
2802.72
401.84
1166.19
1209.47712
43.28712
0.037118
0.001378
2852.72
389.22
1116.19
1160.66296
44.47296
0.039844
0.001588
2902.72
376.49
1066.19
1111.42332
45.23332
0.042425
0.0018
利用所求的误差因子，根据标准误差的公式：

这时的误差为2.21%，在可接受范围内。所以本问的模型可以使用。
6.2.2储油罐变位时的情况
在油罐发生变位时，我们以4.1度的变位为例进行分析。
在上面的模型建立和求解中，我们分别建立了七个模型来覆盖整个油罐的各种液体的深度和油量的关系。我们依然利用实际实验值和建模型所得数据的比较来检验模型是否正确。
第一种情况是在变位了的油罐中，油位探针所得的h=0。这时没有参考数据来检验模型的正确与否，但这种情况与油罐的油位探针所得的h=1.2时的油参照作用，我们结合这两个模型

知道在h=0时，最大为1.7L，和在h=1.2时，为3959.5L。我们又知道，这两种方案是对称的，也就是这两种方案的值之和即为正常情况下油罐的容油量。现在计算油罐的正常容油量，。所以相对误差为：3.62%，在可接受的误差范围。我们可以接着用这种方法研究剩余的模型，其误差大致均在3%左右。这里不再赘述。我们直接看由各个模型总结而形成的罐容表。用excel数据拟合能力拟合出1cm阶梯下的容量表与我们用模型建立的容量表作对比即可。我们用图形来表示他们的区别和联系，更直观。

在第二问的球冠型储油罐中,我们用积分法求出的油罐中液体的体积与液体在油罐内的高度以及横向倾角,纵向倾角的函数关系式.我们可以利用附件中给出的实验数据进行误差分析,来确定模型是否准确.该问题与上面我们对椭圆形储油罐的检验方法相同,先用建立的函数求解出相应数据并与原数据对比,再用多项式拟合函数法作出与原数据的对比图.这种方法可以检验出所建立函数的实际应用是否与现实数据相符合,也即是是否与附件中的数据相吻合.

7 模型的评价与改进方向

7.1．1模型的评价
优点：该模型对同一个问题运用多种方法求解和检验，得到的数据更加可靠，结果更切合实际。该模型考虑了整个油品注入储油罐的过程，随着油位高度的不断升高，会出现七种临界状态，然后根据它们的临界值分阶段确定出罐内油位高度与储油量的对应关系式，具有很好的完整性和全面性。

缺点：尽管该模型只是研究了卧式储油罐的变位对罐容表的影响，但仍然具有扩展性和实用性，对研究其它类型的储油罐的变位识别和罐容表标定的研究仍然具有重要的参考价值和指导意义。

7.2 模型的改进方向
由于在对小椭圆形柱油罐未变位时所建立的模型经检验有3.37%的误差，为了提高模型的准确度，我们提出了修正因子（为消除或减少模型误差，对未修正测量结果所乘的数值因子）的观点去修正原来的模型，使之更适合实际中的应用。因为我们知道整体上建模所得数据与原数据有3.37%的误差，所以现在令，与原来的模型结合即可。即是：

这样就可以有效的减少误差。这种做法也可以推广到很多其他的模型，本文中的其他积分模型也同样适用。又由于本文中建立的模型主要是题目中罐体以纵向和横向变位从而导致罐容表发生改变，所以，进行模型的推广时，我们可以考虑可以加入更多的不同因素从各个方向对油罐体的影响，并相应的产生罐容表的改变，可使模型更具有实用价值。本文的模型还可以推广到罐体的封头曲面为椭球形时，可以建立相应的数学模型，正可适用更多的数学模型。
当小椭圆形柱油罐发生变位时，这里我们也可以用以下方法简化模型的建立与求解。当罐体发生倾斜角为a=4.1度的纵向变位时，求椭圆截面面积时也可以为变量进行积分。这样用积分法求椭圆截面面积时不用分大半椭圆和小半椭圆，那么求储油罐中油量的体积时可分三种情况：

就行了。这种方法可能要比分七种情况简单。

8 参考文献
[1] 韩中庚，数学建模方法及其应用 [M]， 北京： 清华大学出版社， 2007。
[2] 周一仓，数学建模实验 [M] ，西安：西安交通大学出版社，2007。