第二讲三大模型辅助线.doc

第二讲三大模型辅助线
模块一手拉手模型

△ACD、△CBE为等边△，A、C、B共线△ACD、△CBE为等边△，AC、BC夹角任意

△ACD、△CBE为顶角相同的等腰△ △ACD、△CBE可绕公共点任意旋转

例题
1. 如图，等腰Rt△OAB,等腰Rt△OCD, ∠AOB=∠COD=90º，M、N分别是AC、BD的中点，求证：①∠1=∠2; ②AC⊥BD; ③ON=OM; ④△OMN是等腰直角三角形。

2.如图1,图2,图 3,在△ABC中,分别以AB、AC为边，向外作正三角形，正方形，正五边形，BE、CD相交于O。
如图1，求证：△ABE≌△ADC；
如图1，∠BOC=；如图2，∠BOC=；如图3,∠BOC=；
如图4，已知AB、AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC、AE是以AC为边向外所作正n边形的一组邻边，BE、CD的延长线相交于点O。如图4，∠BOC=（用含n的式子表示），并根据图4证明你的猜想。

3.如图，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角度到△ADE的位置，设BC与DE交于M
点，连接AM,求∠AMD的度数。

4.如图，△ABC中，∠ACB=90º，∠CAD=30º,AC=BC=AD,CE⊥CD,且CE=CD，连接BD、
DE、BE,
求证：
①∠ECA=165º;
②BE=BC;
③AD⊥BE;
④=1.

模块二夹半角模型(旋转构造全等三角形)

正方形ABCD中, ∠EAF=45º,则DF＋BE=EF ;正方形ABCD中, ∠EAF=45º,则DF－BE=EF

已知：∠A=60º, ∠BDC=120º, ∠MDN=60º,DB=DC
则：CN＋BM=MN 或 CN－BM=MN

已知：∠B＋∠D=180º,AB=AD,∠EAF=α,∠BAD=2α，则：BE＋DF=EF

（含勾股定理）
5.如图，已知正方形ABCD中，∠EAF=45º,（1）求证：BE+DF=EF,（2）若连接BD交AE于M，交AF于N，求证：BM²+DN²=MN².

6.如图，在直角坐标系中，A（4,0）、B（0,4）、D（0,1），若E(x，4),EB⊥OB于B，且满足∠EAD=45º，试求线段EB的长度。

7.在四边形ABCD中，AC=AB,DC=DB,∠CAB=60º,∠CDB=120º,E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF.
（1） 在图1中，求证：DE=DF;
（2） 在图1中，若G在AB上且∠EDG=60º，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；
（3） 运用（1）(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90º,∠CAB=∠CAD=30º,E在AB上,DE
⊥AB,且∠DCE=60º，若AE=3，则BE的长为（）。

8.已知如图，五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180º.求证：（1）AD平分∠CDE，（2）∠BAE=2∠CAD。

模块三三垂直模型

已知：直线m经过等腰Rt⊿ABC的直角顶点A，过两锐角顶点作m的垂线段
则：△ABE≌△CAF

B、C、D、F四点共线，Rt⊿ABC≌Rt⊿DEF;AB⊥DE。
9.如图，△ABE和△ACD为等腰直角三角形，AM⊥BC于M，MA交ED于N，求证：EN=DN.

10.已知：AD∥BC,∠ABC=∠CDE=90º,CD=DE,AD=2，BC=3，求S△EAD。

11.如图，已知P(2，2),BC⊥AP.求证：（1）求OM+OC的值；⑵求OB－OA的值。

12.已知等腰Rt△ABC,∠BAC=90º,AD=CF,AE⊥BD,BD、EF交于点G，
求证：△DFG为等腰三角形。

13.如图，等腰Rt△ABC中，∠B=90º,点P在BC上，以AP为腰在△ABC外侧作等腰Rt△APQ,连PQ交AB于N，连CQ交AB于M. P在边BC上。
⑴若CP=2BP，求的值。⑵若CQ平分∠ACB，求的值。

14.已知：Rt△ABC,BC=a,AC=b,AB=c,正方形ABDE、BCHI、ACGF,⑴求六边形DEFGHI的面积；⑵探索EF、GH、DI能否构成三角形的三边？若能，请求出该三角形的面积与△ABC面积的关系；若不能，请说明理由。