常微分方程在数学建模教学中的应用研究.pdf

专 题 研 究 数学学习与研究 常微分方程在数学建模教学中的应用研究常常常常常微微微微微分分分分分方方方方方程程程程程在在在在在数数数数数学学学学学建建建建建模模模模模教教教教教学学学学学中中中中中的的的的的应应应应应用用用用用研研研研研究究究究究范 斌（商丘医学高等专科学校，河南 商丘）【摘要】常微分方程是数学的分支之一，也是高等数学体系的重要组成部分，与人们日常生产、生活有着紧密的内在联系，不仅在生物学、物理学等学术领域上有广泛运用，还与电子科技、信息技术等领域息息相关数学建模的目的在于分析规律、抓住问题矛盾的同时找出解决问题的办法，而在此过程中，常微分方程就是数学模型求解的重要工具文章对数学模型进行了阐述，提出了常微分方程在数学建模教学中的应用方法和策略，以供参考【关键词】常微分方程；数学建模；教学应用数学建模是指用数学语言描述实际问题和实际现象，从问题矛盾点入手，梳理解决问题的流程和方法微分方程则是为了解决实际性问题，在特定条件下生成的未知数方程式，因此，对微分方程的研究有助于解决实际问题，也能推动其他学科、应用领域的发展想要完成高质量的数学建模，就要将复杂的问题进行简化处理，将抽象化的概念、内容转化为合理的数学结构，找出分析对象特有的数学规律与内在特征，建立相应的数量关系，以此完成解决实际问题的任务流程一、数学模型概述想要了解数学建模就要先明确数学模型的概念数学模型意在借助数学工具描述生活中的实际情况或是学术领域的事件，并对事物后续发展做出方向性预测，找出规划事物发展路径，发挥指导现实生活的作用数学建模则是利用数学模型和数学知识解决实际问题的方法与渠道，以生活中常见的问题和学术领域的问题为中心，以微分方程、运筹学等为工具实现问题的解决比如，为反映市区中心道路交通而模拟出的交通图就是数学模型，规划、绘制道路交通的过程就是数学建模的过程生活中有很多常见的数学模型，比如在小学数学教学中，计算不规则图形的面积就要用到图形分割等数学模型；在高数教学中，计算复杂的不规则图形面积需要建立相应的定积分数学模型；在统计学中，分析彩票中奖概率问题需要整合多种数据，建立图表类的数学模型等由此可知，学习建立数学模型的方式方法可以为解决生活中的现实问题提供极大助力在科学技术快速发展的时代背景下，先进信息技术的出现与发展彰显出数学与自然科学、工农业生产建设等方面的渗透与融合从现实角度出发，人们的生产、生活、学习、工作会遇到各种问题，若想解决这些问题，就要针对某一对象进行全面分析，获得定量结果，进而找出解决问题的路径与方法由此可见，探索微分方程在数学建模教学中的应用，能够为人们生活以及学术研究领域的发展提供助益二、构建常微分方程模型的步骤与方式观察微分方程的发展历史，可以清楚地看到它与物理学、天文学、日新月异的科学技术之间的紧密关联牛顿在探索宇宙的奥秘时，便是借助微分方程来推导出宇宙中恒星的轨道，而勒维烈和亚当斯则是在当时还没有发现海王星的情况下，使用微分方程推导出它的运行轨道这些事实说明微分方程具有极强的力量，它能帮助我们更好地理解自然当一个微分方程中只包含一个自变量时，就被称为常微分方程，也可以简单地称为微分方程它能够更好地反映客观现实世界中物质与能量之间的相互作用，明确展示物质的运动规律许多数学模型都满足微分方程的关系，因此，求解常微分方程可以加深人们对未知函数特性的理解（一）利用已知定律建立模型已知定律包含各个学科现有的定理或定律公式，如数学学科的傅里叶级数，物理学科的万有引力定律等，这些都是数学建模重要的基础性工具（二）利用导数的定义建立模型导数在微积分中扮演着至关重要的角色，它的定义如下：（）（）（）如果函数能够通过微积分来推导，那么它们就可以被看作是在特定时间点上的瞬时变化率导数是数学建模中常用的一种数学模型，在建模期间，我们可将导数视为瞬时变化率，用以解决实际问题站在物 专 题 研 究 数学学习与研究 理学的角度，“衰变”和“边际”都可用来探讨速率、增长、放射性等问题，而“边际”还可以用来解决实际问题在教学环节，若遇到相关问题或具有这些关键词的问题时，教师就要引导学生关注哪些研究对象处于变化状态、哪些规律适用于建立数学模型以“文物内部放射性物质分析”为例，通过对放射性物质的分析，可确定文物的年代这种方法是通过研究放射性物质裂变特征来确定实际物品的年代与空间，在此现实问题中，时间与空间呈正相关关系对此，可使用常微分方程展示两者关系，即，其中，时，时间和空间之间的差值被称为衰减系数，与放射性物质的本身有着紧密联系，当解出 时，这个时间和空间之间的差值被称为待定系数，即将 作为待定系数，根据最初的假设可以确定这些古迹或文物的历史时间，继而完成对其时间与空间的探索（三）利用微元法建立模型通过微元法构建的微分方程需要优先明确微元关系，再利用其他函数与定理等数学工具进行解决当所计算的变量满足与其所处的范围有关的条件，即该范围是可加的，便可以使用微元法来建立数学模型根据特定的情况，我们可以从一个特定的范围内挑选一个自变量，然后根据一系列的数学公式计算出这个范围的一些参考点的大致数值，即将其视为连续函数在 数值处（）与 的乘积，再对等式两边同时进行积分运算，就可以得出变量 的具体数值这种数学建模方式在解决实际问题的过程中运用频率较高，比如，在数学空间几何中，用微元法计算曲线弧长、旋转曲面面积，在物理学科中计算变力做功等（四）模拟近似在解决复杂问题的过程中，对于固定规律、现象不清楚时，则可以尝试用近似模拟的方式建立常微分方程在建设该数学模型的过程中需要对相关的问题进行分析，提出合理性的假设，明确所要研究的问题内容简单来说，建立近似模拟期间，需要对相关性质进行全面分析，并在此基础上对相同情况进行对比与分析，检查建立的模型是否与实际情况相符，若没能满足相关条件，则要对模型进行进一步完善与修改三、数学建模的过程（一）数学建模利用数学语言建模需要保证数学语言能够表述出实际现象的具体情况，其中不仅包含自由落体等自然现象，还包含价值倾向等抽象的概念现象以及外在形态与内在机制等简单来说，数学建模更倾向于将单纯的数学知识转变为对物理知识、化学知识甚至社会学知识等在日常生活中，人们要想描述出具体、真实的现象，所采用的手段较为丰富，如常见的录音、录像等手段，但数学建模期间，由于数学语言具备逻辑性强、客观性强等特点，便要求使用数学语言的过程中要能体现出与生活实际相吻合，并保障整个描述过程的客观性与严谨性教学期间，教师可创设生活化情境，帮助学生了解数学建模的概念、意义和作用例如，当一名驾驶员想要将货物从甲地运往乙地时，他可能会面临一个数学问题：哪一条线路能够保证总路程最短？在现实生活中，驾驶员难以做到亲自走过每一条线路，而是会利用交通路线图进行仔细比较，从而确定最佳的运输路线在此情境中，交通路线图就是数学建模的表达方式数学建模的过程就是将现实问题优化处理的过程，这种优化处理可以是抽象问题的简化，也可以是复杂问题的感性化处理建立数学模型应优先对各项数据进行分析和调查，观察所收集数据存在的内在联系与特征，找出问题中的矛盾点所在，而后结合实际情况，对问题中的数量关系进行处理，用数学定理、公式等完成问题转化数学建模对学生的要求较高，不仅要做到扎实掌握数学基础知识，拥有丰富的想象能力，还要建立相对完善的知识架构所以，教师在引导学生使用常微分方程建立数学模型的过程中，应结合当前育人导向，重点培养学生的数学建模意识和数学建模能力，为学生后续发展提供助力（二）数学建模的步骤教师在教学数学模型期间需要做好充分准备，提供合理的假定，根据具体情况创造出一个精细、有序、可靠的模型，以便让学生在遇到复杂的情况时可以更好地应用模型解决问题尽管构建模型时并不总是按照某种特定的方式来进行，但仍然需要考虑多种元素，尽量排除不相干元素的影响，比如数据的分析、计算、预测、推理、决策等除此之外，教师在指导学生使用常微分方程构建数学模型期间，应考虑到数学工具的多样性和复杂性在解决问题的过程中，数学工具的使用是不固定且多样化的，这就代表着对于同一个问题可以建设出多种模型，建模的方式方法、解决问题的方式方法也有所差异，再加上多种元素的结合，最终形成了多种多样的数学模型从这个角度出发，在非特定情况下，数学模型具有多样性，这就意味着教师、学生在建模专 题 研 究 数学学习与研究 的过程中应掌握一定的数学问题处理技巧，具备丰富的想象能力，注重建模方式的使用，保障建模过程的客观性、准确性模型准备为保障数学建模的准确性，教师应当全面了解相应问题的背景、目的以及所涉及的学科知识，积极利用互联网或图书馆等渠道获取建模所需的资料和信息，以便更加深入地探索和研究模型建立模型建立即通过使用模型假定的方法，利用现有的知识与收集的资料，运用合理的数学方法深入探索变量之间的联系及其相互作用与此同时，模型建立应该着重关注以下几点第一，明确变量的类别，正确运用数学工具处理实际问题中的变量，特别是确定性的变量微积分、微分方程、线性规划、非线性规划、图论和计算机网络技术、投资增长、插值等都可以作为解决数学模型的工具在涉及随机变量的情况下，可以使用概率、统计、随机性存储、对策、决策以及随机微分方程这些工具此外，由于数学学科分支众多，且彼此间有着密切的联系，所以在选择具体数学工具的同时还要考虑到不同的实际情况以及个性化需求，再根据个人的兴趣和专业背景来选择适合的方法第二，把握问题的核心，努力简化问题处理的路径和方法第三，关注使用的方法是否符合实际情况和具体需求，充分发挥数学建模的作用第四，使用高精度的建模方法，以便更好地解决实际问题的复杂情况模型求解为提高数学模型求解的质量和效率，教师可积极引进先进的数字技术，对已建立的数学模型进行更深入的分析，以便更好地探索问题本质，找出解决问题的方案教师应积极利用这些计算机软件，用更为便捷的方式求解数学模型，比如，现阶段常见的数学工具软件 等模型检验在求得数学模型的解之后，需要对模型进行分析和检验，通过模型分析评估模型的准确性、可靠性、可操作性以及灵活性比如，在完成数学模型检验后，教师需要指导学生将结果与之前的预测进行对比，明确两者是否一致，若一致，则表明建立的模型是成功的；若不一致，则需重新分析数学模型，并进行必要的修改由于数学模型是在特定假设条件下建立的，它们可能与实际情况存在较大差异，所以需要进行修正以确保模型的准确性在这个过程中，教师需要指导学生仔细检查简化和假设是否合理，如果不合理，需要进行修正并建立新的数学模型，该过程需要不断重复，直到满足要求为止（三）数学建模示例分析随着时间的推移，细菌的数量呈正比增长，如果在 小时内，细菌的数量从 增加到，那么在接下来的 小时里，细菌的增长总数会是多少？问题的第一句话提供了一个普遍适用的事实，即在任何时刻该事件都成立，可用（）表示，通解为；第二句话则提供了一系列特定时刻的信息，表示总数的常数我们可以通过第二句话提供的信息进行计算，即（），（），（），（）（其中 表示时间），因此，（）()，即 小 时 后 增 长 总 数为 结 语目前，数学模型已被运用到社会各个领域，以满足对定量分析、优化决策等方面的需求它既能帮助人们更好地理解客观事物的运动轨迹，又可以揭示客观事物之间的复杂联系，以及客观事物的变化趋势常微分方程作为常见的数学工具，已被越来越多的研究者所采纳和认可，其能够满足人们日益增长的对精确度、准确性、可靠性的要求正因如此，实施数学建模教学期间，教师应着重关注对常微分方程的应用，帮助学生更好地使用该工具【参考文献】赵碧蓉常微分方程课堂教学研究与实践教育教学论坛，（）：周辉，王文师范专业认证背景下“常微分方程”课堂教学探析：以合肥师范学院为例合肥师范学院学报，（）：闫永芳新课改背景下数学专业常微分方程教学模式构建探析延边教育学院学报，（）：靳艳飞，谢文贤，许勇常数变易法在线性非齐次常微分方程求解中的重要注解高等数学研究，（）：涂强，陈立，向妮，等打造线上线下混合式“金课”：以“常微分方程”课程为例科教导刊，（）：何婷婷，范建华，罗振国地方师范院校数学专业课程思政实践路径：以“常微分方程”课程为例教育教学论坛，（）：