专题四：二次函数的图像与性质.doc

专题四 二次函数的图像与性质（一）
【知识梳理】
1．一般地，形如_______的函数叫做二次函数，当a_______ ，b________时，是一次函数．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______．
3．抛物线的开口方向由a确定，当a>0时，开口_______；当a<0时，开口_______；越大，开口越_______．
4．抛物线与y轴的交点坐标为_______．当c>0时，与y轴的_______半轴有交点；当c<0时，与y轴的_______半轴有交点；当c＝0时，抛物线过________．
5．若a_______0，当x＝时，y有最小值，为_______；
若a_______0，当x＝时，y有最大值，为_______．
6．当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧，y随x的增大而_______；当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧．y随x的增大而_______．
7．当m>0时，二次函数y＝ax2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y＝a（x＋m)2的图象；当k>0时，二次函数y＝ax2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y＝ax2＋k的图象．平移的口诀：左“＋”右 “－”；上“＋”下“－”．
【考点例析】
考点一　二次函数的有关概念
　例1已知二次函数y＝x2－4x＋5的顶点坐标为 ( )
A．(－2，－1) B．(2，1)
C．(2，－1) D（－2，1）
考点二　抛物线的平移
　例2 将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ( )
A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3
C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3
考点三 同一坐标系下二次函数与其他函数图象的共存问题
例3　在同一坐标系中°一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是 ( )

考点四 利用二次函数的增减性比较坐标大小
例4设A（－2，y1)，B(1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝－(x＋1)2＋m上的三点，则y1、y2、y3的大小关
系为 ( )
A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2
C．y3>y2>y1 D．y2>y1>y3
【反馈练习】
1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是 ( )
A．直线y＝ B．直线x＝－
C．y轴 D．直线x＝2
2．已知二次函数y＝2(x－3)2＋1，下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为（3，－1）；④当x<3时，y随x的增大而减小．其中说法正确的有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是 ( )
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
4．将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位．所得新抛物线的解析式是________．
5．已知点A(x1，y1)、B（x2，y2）在二次函数y＝（x－1)2＋1的图象上，若x1>x2>1，则y1_______y2．
二次函数的图像与性质（二）
1．二次函数解析式的求法：
(1)若给出抛物线上三点，通常可设一般式：________(a≠0)．
(2)若给宝抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式：________（a≠0），其中点（h，k）为顶点，对称轴为直线x＝h．
(3)若给出抛物线与x轴的两个交点(x1，0)、（x2，0)及其他一个条件，通常可设交点式：_______(a≠0)．其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标．
2．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当给定y的值时，二次函数可转化为一元二次方程，所以我们可ax2＋bx＋c＝_______．
3．当b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有_______交点．
4．当b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）有两个相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有_______交点．
5．当b2－4ac－<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）没有实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴_______交点．
【考点例析】
考点一　二次函数的各项系数与图象之间的关系
例1　已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0；②b2－4ac<0；③4a－2＋c<0；④b＝－2a，其中结论正确的是 ( )
A．①③ B．③④ C．②③ D．①④

考点二　求二次函数的解析式
　例2　 (1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．
①y随x变化的部分数值规律如下表：

②有序数对(－1，0)、(1，4)、(3，0)满足y＝ax2＋bx＋c；
③已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图）．
(2)直接写出(1)中二次函数y＝ax2＋bx＋c的三个性质．

考点三　利用图象求一元二次方程的解
例3二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根．则m的最大值为 ( )

A．－3 B．3 C．－6 D．9
考点四 二次函数图象与坐标轴的交点个数
例4抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
考点五　二次函数图象与不等式的关系
例5如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是 ( )

A．－1<x<5 B．x>5
C． x<－1且x>5 D． x<－1或x>5
【反馈练习】
1．已知抛物线y＝x3－x－1，与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2011的值为 ( )
A．2009 B．2012 C．2011 D．2010
2．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象经过 ( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限

3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x＝－，下列结论中，正确的是 ( )
A．abc>0 B．a＋b＝0
C．2b＋c>0 D．4a＋c<2b
4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为_______．
5．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过B、C两点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围．

课后练习
1.（2017四川省攀枝花市）二次函数（a≠0）的图象如图所示，则下列命题中正确的是（　　）

A．a ＞b＞c
B．一次函数y=ax +c的图象不经第四象限
C．m（am+b）+b＜a（m是任意实数）
D．3b+2c＞0
2．（2017四川省阿坝州）如图，抛物线 （a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程 的两个根是x1=﹣1，x2=3；
③3a+c＞0
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3
⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（　　）

A．4个　　　　　　B．3个　　　　　　C．2个　　　　　　D．1个
3.（2017贵州省黔南州）二次函数的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0正确的有（　　）

A．3个　　　　　　B．4个　　　　　　C．5个　　　　　　D．6个
4.（2017辽宁省盘锦市）如图，抛物线 与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc＞0；②3a+b＜0；③﹣≤a≤﹣1；④a+b≥am2+bm（m为任意实数）；⑤一元二次方程 有两个不相等的实数根，其中正确的有（　　）

A．2个　　　　　　B．3个　　　　　　C．4个　　　　　　D．5个
5.（2017四川省资阳市）如图，抛物线（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x =1，有下列四个结论：①abc＜0，②，③a=-k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确结论的个数是（　　）

A．4　　　　　　B．3　　　　　　C．2　　　　　　D．1
6.（2017四川省广元市）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有 ．

7.（2017山东省莱芜市）二次函数（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣．其中正确的有 （请将结论正确的序号全部填上）
8.（2017贵州省黔西南州）如图，图中二次函数解析式为（a≠0）则下列命题中正确的有 （填序号）
①abc＞0；②b2＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c．

9.（2017辽宁省锦州市）如图，二次函数的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c﹣4；④方程有两个相等的实数根，其中正确的结论是 ．（只填序号即可）．