2-2-1-直线的点斜式方程(导学案)(原卷版).docx

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2.2.1直线的点斜式方程
导学案
地 位：
本节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
学习目标：
1.掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程,培养数学抽象的核心素养.
2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系，培养数学抽象的核心素养.
3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题，强化数学运算的核心素养.
学习重难点：
重点：掌握直线方程的点斜式并会应用
难点：了解直线方程的点斜式的推导过程．

自主预习：
1. 本节所处教材的第 页.
2. 复习——
①　 直线的倾斜角：
②　 直线的斜率：
3. 预习——
点斜式方程的定义：

斜截式方程：

两直线平行、垂直关系的判断：
新课导学

学习探究
（一）新知导入
笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”。 在笛卡尔之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。他站在方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。

笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了“解析几何学”。

（二）直线的点斜式方程
知识点1 点斜式方程
【探究1】我们知道给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中给定一个点P0x0,y0和斜率k就能唯一确定一条直线，也就是说这条直线上任意一点坐标(x,y)与点P0的坐标x0,y0和
斜率k之间的关系是完全确定的，那么这一关系如何表示呢？

◆直线的点斜式方程
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
点斜式
点P(x0，y0)
和斜率k

y－y0＝k(x－x0)
斜率存在的直线

【点睛】1.点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.
2.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.
3.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0;当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴的方程是x=0.

【做一做1】 (教材P62练习2改编) 直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　　)
A．2　　　　　　 B．－1
C．3 D．－3
【做一做2】经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ）
A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)
C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)

知识点2 斜截式方程
【探究2】1．经过定点(0，b)且斜率为k的直线l的方程如何表示？
2．直线y＝kx＋b在y轴上的截距b是直线与y轴交点到原点的距离吗？它的取值范围是什么？
3．一次函数的解析式y＝kx＋b与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？
◆直线的斜截式方程
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
斜
截式
斜率k和在y轴上的截距b

y＝kx＋b
斜率存在的直线

【点睛】 1.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程．
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它的横截距和纵截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距,如直线y=2x-1的斜率k=2,纵截距为-1.
【做一做1】直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于(　　)
A．2,3 B．－3，－3
C．－3,2 D．2，－3
【做一做2】直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
知识点3 两条直线平行、垂直的判断
【探究3】设直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，根据上一节判断直线平行、垂直的结论，回答下列问题：
(1)当k1＝k2时，l1与l2一定平行吗？
(2)l1⊥l2的条件是什么？

◆对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
(1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠_b2；(2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
【做一做1】(教材P61例2改编)已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
【做一做2】直线的倾斜角为_______，经过点且与直线垂直的直线的斜截式方程为_____
（三）典型例题
1.直线的点斜式方程
例1.根据下列条件，求直线的方程：
(1)经过点A(2,5)，斜率是4；
(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；
(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直．

【类题通法】求直线的点斜式方程，关键是求出直线的斜率，所以，已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标，均可求出直线的方程．特别注意：斜率不存在时，可直接写出过点(x0，y0)的直线方程x＝x0.
【巩固练习1】求出经过点P(3,4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形．
(1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直．

2.直线的斜截式方程
例2.　求满足下列条件的直线方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距为－1；
(2)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

【类题通法】1.截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零．
2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．

【巩固练习2】直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为________．

3.直线平行、垂直
例3.(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2，①平行？②垂直？
（2）已知点A(3,3)和直线l的斜率k＝.求：
(1)过点A且与直线l平行的直线方程l1；
(2)过点A且与直线l垂直的直线方程l2.

【类题通法】已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2.
(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2.
(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
【巩固练习3】(1)求经过点(1,1)且与直线y＝2x＋7平行的直线方程；
(2)求经过点(－1,1)且与直线y＝－2x＋7垂直的直线方程．

（四）操作演练 素养提升
1.过点M(－3,1)，斜率为2的直线方程是(　　)
A．y＝2x＋7　　　　　　 B．y＝2x－7
C．y＝－2x＋7 D．y＝－2x－7
2.直线y＝2x＋1在x轴上的截距为(　　)
A．－ B.
C．－1 D．1
3.已知直线l1：y＝x＋a，l2：y＝(a2－3)x＋1，若l1∥l2，则a的值为(　　)
A．4 B．2
C．－2 D．±2
4.与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　)
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4

课堂小结
1. 通过这节课，你学到了什么知识？

2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？

学习评价
【自我评价】 你完成本节导学案的情况为（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差

【导学案评价】 本节导学案难度如何（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差

【建议】 你对本节导学案的建议：

课后作业

完成教材：第61页 练习 第1，2，3,4题
第67 页 习题2.2 第2,3,4，9题