第13讲-直线与圆、圆与圆的位置关系(解析版).docx

第13讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

1.直线与圆的位置关系
(1) 三种位置关系

(2) 根据d与r的关系判断(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径.)
u 相离⇔没有公共点 ⇔ d>r;
u 相切⇔ 只有一个公共点 ⇔ d=r;
u 相交⇔ 有两个公共点 ⇔ d<r.

(3) 联立方程求判别式的方法
联立直线方程与圆的方程A x+B y+C=0 x2+y2+D x+E y+F=0求解，通过解的个数来判断：
u 当Δ>0 时，直线与圆有2个交点，直线与圆相交；
u 当Δ=0 时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；
u 当Δ<0 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离.
(4) 圆上一点到圆外一直线的距离
若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，
r为圆半径，则PEmin=P1F=d−r，PEmax=P2F=d+r.

2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0)，圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).
位置
关系
方法
公切线
条数
几何法:圆心距d与r1,r2的关系
代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1+r2
无解
4
外切
d=r1+r2
一组实数解
3
相交
|r1-r2|<d<r1+r2
两组不同的实数解
2
内切
d=|r1-r2|(r1≠r2)
一组实数解
1
内含
0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)
无解
0

1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.
无论两圆外切还是内切,将两圆方程(方程等号右边是0的形式),左右两边直接作差,消去x2,y2得到两圆的公切线方程.
3.两圆相交时公共弦的性质
圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 (D12+E12-4F1>0)与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 (D22+E22-4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).

【题型 1直线与圆的位置关系】

【典题】（1） 求过点P(−1,4)，圆x−22+y−32=1的切线l的方程． 
【解析】方法1 当过点P的直线斜率不存在时，方程为x=−1，显然不满足题意，
故可设切线l为y=kx+1+4⇒kx−y+4+k=0，
依题意得圆(2,3)到直线l的距离等于半径1，故|3k+1|1+k2=1，解得k=0或−34，
故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．
方法2 设所求直线的方程为Ax+1+By−4=0(其中A,B不全为零)， 
 ∵直线l与圆相切，∴圆心(2,3)到直线l的距离等于半径1，故|3A−B|A2+B2=1
  整理，得A(4A−3B)=0，即A=0(这时B≠0)或A=34B≠0．   
故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．
【点拨】
① 方法1中，设过某一点(x0,y0)的直线方程时，注意斜率是否存在，不存在方程为x=x0，存在时可设为y=kx−x0+y0.
② 方法2利用了直线系方程，过点(x0,y0)的直线系方程为Ax−x0+By−y0=0(其中A,B不全为零).

【典题】（2） 若圆C：x2+y2−2x+2y=2与直线x−y+a=0有公共点，则a的取值范围是　　 ．
【解析】方法一 化圆C的一般方程为标准方程，得x−12+y+12=4，
则圆心坐标为C(1,−1)，半径r=2，
若直线与圆C有公共点，则圆心(1,−1)到直线的距离d小于等于半径r，
则d=|1+1+a|2≤2，解得−22−2≤a≤22−2.
方法二 由x−y+a=0x2+y2－2x+2y=2得2x2+2ax+a2+2a−2=0，
其判别式∆=4a2−8a2+2a−2=−4a2−16a+16，
直线与圆有公共点，则∆≥0，解得−22−2≤a≤22−2.
【点拨】 判定直线与圆的位置共线有两种方法，①判定圆心到直线的距离与半径的大小半径；②联立方程，看判别式.

【典题】（3）已知圆C：(x−3)2+(y−3)2=3，过直线3x−y−6=0上的一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则cos∠APB的最小值为　 ．
【解析】根据题意，如图：连接AC、BC、PC，
圆C的圆心(3,3)，半径r=3，
cos∠APB=cos2∠APC=1−2sin2∠APC=1−2×AC2PC2=1−6PC2，
(圆的切线长定理)
当PC最小时， cos∠APB的值的最小，
而PC的最小值为点C到直线3x−y−6=0的距离d=|3−3−6|1+3=3，
则cos∠APB的最小值为1−69=13.
【点拨】
① 本题利用了平几和三角恒等变换的知识把cos∠APB的最值转化为“直线一动点到定点的距离最值问题”.
② 求某变量的最值，可转化为另一变量的最值，这也是一种函数思想，在解析几何中就要对题目中的动点变化有足够的清晰理解.

【典题】（4） 已知两点A(−1,0)、B(0,2)，若点P是圆x−12+y2=1上的动点，则△ABP面积的最大值和最小值之和为　　 ．
【解析】(S△ABP以AB为底，求其最值，即求点P到直线AB的距离最值)
由两点A(−1,0)、B(0,2)，
∴|AB|=(−1)2+22=5，
直线AB的方程为：x−1+y2=1即2x−y+2=0，
由圆x−12+y2=1可得圆心C(1,0)，半径r=1，
则圆心C到直线AB的距离d=|2−0+2|5=45，
∵点P是圆x−12+y2=1上的动点，
∴点P到直线AB的最大距离dmax=d+r；点P到直线AB的最小距离dmin=d−r．
∴△ABP面积的最大值和最小值之和等于
12|AB|⋅dmax+12|AB|dmin=12|AB|⋅dmax+dmin=12×5∙85=4．
【点拨】圆上一点P到圆外一直线l距离d与圆心O到直线l的距离d1和圆的半径r有关，
即dmin=d1−r，dmax=d1+r.

巩固练习
1. 已知过点P(2,2)的直线l与圆x−12+y2=5相切，则直线l的斜率为(　　)
A．1 B．12 C．2 D．−12
【答案】 D
【解析】设直线方程为：y=k(x－2)+2，由已知圆的圆心为(1,0)，半径为5，
因为直线与圆相切，
则圆心到直线的距离为|k(1−2)+2|1+k2=5，解得k=−12，
故选：D．

2. 点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外，则直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】 B
【解析】∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外，∴x02+y02=R2，
∴圆心(0,0)到直线x0x+y0y=R2的距离：d=|R2|x02+y02<R，
∴直线x0x+y0y=R2与圆相交．
3. 已知圆C：x2+y2−2y=0，P为直线l：x−y−2=0上任一点，过点P作圆C的切线PT(T为切点)，则|PT|最小值是　 　．
【答案】142
【解析】圆C：x2+y−12=1，圆心C(0,1)，半径r=1，
设圆心C到直线l：x－y－2=0的距离为d，
故当圆心C到直线l上点的距离最小时，
即圆心到直线的距离d，此时|PT|最小，
因为d=|−1−2|2=322，所以PT=d2−r2=(322)2−1=142，
故|PT|最小值是142．

4. 【多选题】已知点P在圆x−52+y−52=16上，点A(4,0),B(0,2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|=32 D．当∠PBA最大时，|PB|=32
【答案】ACD
【解析】∵A(4,0),B(0,2)，
∴过A、B的直线方程为x4+y2=1，即x+2y−4=0，
圆x−52+y−52=16的圆心坐标为(5,5)，
圆心到直线x+2y－4=0的距离d=|1×5+2×5−4|12+22=115=1155>4，
∴点P到直线AB的距离的范围为[1155−4，1155+4]，
∵1155<5，∴1155−4<1，1155+4<10，
∴点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A正确，B错误；
如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大
(P点位于P1时∠PBA最小，位于P2时∠PBA最大)，
此时|BC|=(5−0)2+(5−2)2=25+9=34，
∴|PB|=|BC|2−42=18=32，故CD正确．
故选：ACD．

5. 直线x+y+a=0与半圆y=−1−x2有两个交点,则a的值是　 　．
【答案】 [1,2)
【解析】根据题意画出图形，如图所示：

当直线在第三象限与半圆相切时，圆心到直线的距离d=r，
即|a|2=1，解得：a=2或a=－2(舍去)；
当直线过点A时，直线x+y+a=0与圆有两个交点A和B，
把A(－1,0)代入x+y+a=0中得：－1+a=0，解得：a=1，
则直线与圆有两个交点时，a的范围是[1,2)．
故答案为：[1,2)
6.若圆x2+y2−2x−2y=0上至少有三个不同点到直线l：y=kx的距离为22，则k的取值范围　 　．
【答案】2−3,2+3
【解析】由圆x2+y2－2x－2y=0的标准方程x−12+y−12=2，
则圆心为(1,1)，半径为2，
圆上至少有三个不同的点到直线l：y=kx的距离为22，
则圆心到直线的距离应不大于等于22，
∴ |1−k|1+k2≤22，整理得：k2－4k+1≤0，解得：2−3≤k≤2+3，
由tan15°=tan(45°－30°)=tan45°−tan30°1+tan45°tan30°=2−3，
tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°1−tan45°tan30°=2+3，
7.已知P(x,y)是圆x−12+y−22=r2(r>0)上任意一点，若|3x−4y|+|3x−4y+16|是定值，则实数r的取值范围是　 　．
【答案】 0<r≤1
【解析】由题意可知此圆夹在两直线3x－4y=0和3x－4y+16=0之间时，|3x－4y|+|3x－4y+16|是定值，
所以|3×1−4×2|32+42≥r|3×1−4×2+16|32+42≥r⇒r≤1，∴0＜r≤1．

【题型 2 圆与圆的位置关系】
【典题】已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0.
(1)判断两圆公切线的条数;
(2)求公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度.
解:(1)两圆的标准方程分别为
C1:(x-1)2+(y+5)2=50,
C2:(x+1)2+(y+1)2=10,
则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=52;
圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=10.
又|C1C2|=25,r1+r2=52+10,
r1-r2=52-10,
所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2,所以两圆相交,
所以两圆有两条公切线.
(2)将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0.圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d=|1-2×(-5)+4|1+(-2)2=35,
设公共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,得50=45+l2,解得l=5,所以公共弦长2l=25.
知识点加深：
（1）本题中,若两圆相交于A,B两点,不求交点,求线段C1C2的垂直平分线所在的直线方程.
解:由圆C1的圆心坐标为(1,-5),圆C2的圆心坐标为(-1,-1),可知kC1C2=-5-(-1)1-(-1)=-2,则kAB=12,C1C2的中点坐标为(0,-3),
因此线段C1C2的垂直平分线所在的直线方程为
y+3=12x,即x-2y-6=0.
（2） 本例中的两圆若相交于两点A,B,求经过两点A,B且圆心在直线x+y=0上的圆的方程.
解:设所求的圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),整理可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,
因此圆的圆心坐标为(1-λ1+λ,-λ+51+λ),由于圆心在x+y=0上,则1-λ1+λ+(-λ+51+λ)=0,
解得λ=-2,
因此所求的圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.

思路总结：
(1)当两圆相交时,可利用将两圆方程相减消去二次项的方法求得两圆的公共弦所在直线的方程.
(2)判断两圆的公切线的条数,可以转化为判断两圆的位置关系.
(3)求过两圆交点的圆的方程,可以利用圆系方程求解.

巩固练习
2.若圆C1:(x+1)2+y2=2与圆C2:x2+y2-4x+6y+m=0内切,则实数m等于(　　)
A.-8 B.-19 C.-5 D.6
解析:由题意得C1(-1,0),C2(2,-3),r1=2,r2=13-m,
|C1C2|=(-1-2)2+32=32,根据两圆内切得|C1C2|=13-m-2=32,
解得m=-19.

3.已知圆O1:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆O2:x2+y2=4有且仅有两条公切线,则正数a的取值范围为(　　)
A.(0,1) B.(0,3)
C.(1,3) D.(3,+∞)
解析:圆O1与圆O2有且仅有两条公切线,
所以两个圆相交,圆O1的圆心为(a,0),半径为1,
所以1<a2<3,又a>0,解得a∈(1,3).

6.若圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2的公共弦长为62,则圆D的半径为(　　)
A.5 B.25 C.26 D.27
解析:由圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2,
可得两圆公共弦的方程为2x-6y=4-R2,
又由圆C的方程为x2+(y-4)2=18,其圆心的坐标为(0,4),半径r=32,
两圆的公共弦的弦长为62,
则点C(0,4)在直线2x-6y=4-R2上,
则有2×0-6×4=4-R2,
解得R2=28,
则圆D的半径为27.

9.(2022·天津一模)已知圆M与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆M的标准方程为　　　　　　. 
解析:圆C:x2+y2+10x+10y=0,即(x+5)2+(y+5)2=50,故圆心C(-5,-5).根据两圆相切于原点,所求的圆的圆心为M,可得M,O,C共线,故圆心M在直线y=x上,设所求的圆的圆心为M(a,a),又所求的圆过点A(0,-6),故圆心M还在直线y=-3上,故M(-3,-3),半径为|AM|=32,故所求的圆的方程为(x+3)2+(y+3)2=18.
答案:(x+3)2+(y+3)2=18

一、单选题
1．（2004·湖北·高考真题）两个圆与的公切线有且仅有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数
【详解】将两圆化为标准式可得
即两圆的圆心分别是,,半径分别是2，2
两圆圆心距离：，说明两圆相交，
因而公切线只有两条．
故选：B．
2．（2005·辽宁·高考真题）若直线按向量平移后与圆相切，则c的值为（    ）
A．8或 B．6或 C．4或 D．2或
【答案】A
【分析】根据平移公式得平移后的直线方程为，再根据该直线与圆相切，即可求出c的值，从而得答案.
【详解】解：由题意可得直线按向量平移后的直线方程为：，
即为，
又因为直线与圆相切，
所以，
即有，
解得或.
故选:A.
3．（2002·北京·高考真题）圆与直线的位置关系是（    ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】C
【分析】由圆心到直线的距离和圆的半径比较大小即可判断.
【详解】圆的标准方程为：，
所以圆心为，半径，
又，所以，
所以圆心到直线的距离，
而，所以.
则直线与圆的位置关系为相离.
故选：C
4．（2004·安徽·高考真题）若直线与圆有两个不同的交点，则a的范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题，直线与圆相交，则直线到圆心距离小于圆半径.
【详解】由题，圆心坐标为，半径为1，直线与圆相交.则圆心到直线距离，得，即，解得.
故选：B
5．（2006·湖南·高考真题）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（    ）
A．36 B．18 C． D．
【答案】D
【分析】求出圆的圆心坐标及半径，判断直线与圆的位置关系即可求解.
【详解】解：因为圆，即，
所以圆心坐标为，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，
所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差为，
故选：D.
6．（2008·山东·高考真题）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分析已知点与圆的位置关系，再判断出最长弦和最短弦的位置，然后利用三角形的面积公式即可求出四边形ABCD的面积.
【详解】解：圆心坐标是，半径是5，圆心到点的距离为1．
所以点在圆内，最长弦为圆的直径
由垂径定理得：最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，
故最短弦的长为，最长弦即直径，即，
所以四边形的面积为．
故选：B.
7．（2015·山东·统考高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（    ）
A．充分没必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断
【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切”，因此充分性成立；
“直线与圆相切”“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；
可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件
故选：C
8．（2002·全国·高考真题）直线与圆相切，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆心到直线的距离等于半径可得．
【详解】由题意圆标准方程为，圆心坐标为，半径为1，
所以，解得．
故选：D．

二、多选题
9．（2021·全国·统考高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.

三、填空题
10．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．

11．（2005·北京·高考真题）若圆与直线相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为 ．
【答案】
【分析】将圆方程化为标准形式得到圆心和半径，根据相切得到，根据圆心在y轴的左侧得到，解得答案.
【详解】，即，
圆心为，半径为，圆心在轴的左侧，故，即，
圆与直线相切，故，解得.
故答案为：
12．（2002·北京·高考真题）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】确定圆心为，半径，将四边形的面积转化为，计算点到直线的距离得到答案.
【详解】，即，圆心为，半径，
，即最小时，面积最小.
，故四边形面积的最小值为.

故答案为：
13．（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
【答案】
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
14．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：

15．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，

当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.

16．（2021·天津·统考高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ．
【答案】
【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.
【详解】设直线的方程为，则点，
由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，
则，解得或，所以，
因为，故.
故答案为：.

一、单选题
1．过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设易知OAPB是正方形且，结合两圆的位置关系画示意图，即可求参数r.
【详解】由题意知：，
∵，
∴四边形OAPB是正方形，且，
∴.
故选：D.

2．若圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由判断出直线和圆有公共点，利用圆心到直线的距离小于或等于半径列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】由于，即是圆的直径，所以直线和圆有公共点，
圆心到直线的距离，
，所以.
故选：B
3．若圆心在x轴上，半径为2的圆C位于y轴左侧，且与直线相切，则圆C的方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设圆心的坐标为，且，根据圆心到直线的距离等于半径，求得的值，即可求得圆的方程.
【详解】由题意，圆心在轴上，设圆心的坐标为，且，
因为圆与直线相切，可得，解得，
又由圆位于y轴左侧，可得，所以，
所以圆的方程为.
故选：B.
4．过作圆 :的两条切线，切点分别为两点，则两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出切点弦方程，再利用弦长公式，即可得到答案；
【详解】以为直径的圆的方程为：，与方程相减得：
公共弦的方程为：
圆心C到弦所在直线的距离，，
故选：B
5．已知圆上有三个点到直线的距离等于1，则的值为（    ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】求出圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离，列方程即可求得的值.
【详解】由圆可得圆心，半径，
因为圆上有三个点到直线的距离等于1，
所以圆心到直线的距离，
可得：，
故选：A.
6．已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出图形，求得的最小值，进而可求得四边形面积的最小值.
【详解】解：如下图所示：

由已知得圆心，圆的半径为，由圆的几何性质可得，
由勾股定理得，当取最小值时，最小，
的最小值为点到直线的距离，
，
由切线长定理得，又，，，
所以，四边形面积.
故选：C.

二、多选题
7．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于，则的取值可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】求出圆心到直线的距离，使圆心到直线的距离与半径的差的绝对值小于，即可求解.
【详解】因为圆心到直线的距离
，
因为上恰有相异两点到直线的距离等于，
，即，
解得，
故选：BCD
8．以下四个命题表述正确的是（    ）
A．一定表示圆
B．圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1
C．圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1，则
D．圆与圆相交，交线方程为
【答案】BCD
【分析】由圆的一般方程可判断选项A,由直线与圆的位置关系可判断选项B,C,由两个圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程，即可判断选项D.
【详解】当时，不表示圆，故A错误；
圆的圆心为，半径为2，圆心在直线上，
∴圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1．故B正确；
圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1，所以圆心到直线的距离，即，所以，故C正确；
圆的圆心为：，半径；圆的圆心为：，半径，
所以，∴圆与圆相交，交线方程为方程与方程相减得,故D正确，
故选：BCD．

三、填空题
9．已知直线：与圆相切，则的值是 .
【答案】
【解析】利用圆心到直线的距离为半径可求的值.
【详解】因为直线：与圆相切，
故圆心到直线的距离，解得，
故答案为：
10．已知点和圆，自点P引圆的割线，所得弦长为，则割线所在的直线方程为 .
【答案】或
【分析】由弦长和半径求得圆心到直线的距离，设割线方程，根据点到直线距离公式即可求出割线方程．
【详解】弦长为，半径为，
所以圆心到直线的距离，
易知割线的斜率一定存在，设割线，
即，
，即，
解得或，
所以割线方程为或．
故答案为：或．

11．若抛物线在点（1,2）处的切线也与圆相切，则实数的值为 .
【答案】
【分析】首先根据抛物线所过的一个点，求得抛物线的方程，从函数的角度去求其切线，对函数求导，代入求得直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求得参数的值，得到结果.
【详解】抛物线过点可得
抛物线可化为，从而由知切线斜率为，
切线方程为即
又圆的方程可化为且圆与抛物线也相切

解得
【点睛】该题考查的是有关曲线的切线问题，涉及到的知识点有抛物线的方程的求解，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，圆与直线的位置关系，点到直线的距离公式，正确应用公式是解题的关键.
12．如图，在边长为的正三角形内部的两圆，圆与圆外切，且圆与两边相切，圆与两边相切，则两圆的周长之和的最小值为 ．

【答案】
【分析】设圆与圆的半径分别为，，圆与圆与边的切点分别为点，过作，垂足为，进而在中，，，，结合勾股定理得，再根据得，再解不等式可得的最小值为，当且仅当时等号成立，再求周长即可.
【详解】解：如图1，设圆与圆的半径分别为，，圆与圆与边的切点分别为点，过作，垂足为，
因为，
所以，，
设为边中点，则，
因为圆与圆是边长为的正三角形内部的两圆，
所以，当圆为边长为的正三角形的内切圆时，取最大，取最小，如图2，
则，即，
所以，，
所以，在中，，，，
所以，，即，
因为，
所以，，解得
所以，的最小值为，当且仅当时等号成立，
所以，两圆的周长之和的最小值为
故答案为：

四、解答题
13．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①过（－1，2）；②与直线平行；③与直线垂直．
问题：已知直线过点M（3，5），且______．
(1)求的方程；
(2)若与圆相交于点A、B，求弦AB的长．
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)可依次根据直线方程的点斜式、“两直线平行，斜率相等”、“两直线垂直，斜率相乘为－1”求直线l的方程；
(2)利用垂径定理即可求圆的弦长.
【详解】（1）选条件①：
∵直线过点(3，5)及(－1，2)，
∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为，
即；
选条件②：
∵直线的斜率为，
直线与直线平行，∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为；
即；
选条件③：
∵直线的斜率为，
直线与直线垂直，
∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为，
即；
（2）
圆心为(2，3)，半径为2，
圆心到直线的距离为
∴．
14．已知圆内有一点，过点P作直线l交圆C于A、B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB最短时，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出圆心坐标，直线过时，求出直线斜率，即可得l的方程.
（2）当当弦AB被点P平分时，弦AB最短，求出直线斜率，即可得l的方程.
【详解】（1）圆心，直线l过点
∴直线l的斜率为，方程为，
即；
（2）当弦AB被点P平分时，弦AB最短，
此时，
直线l的方程为，
即．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，计算直线的斜率，，属于基础题.
15．已知圆经过点和点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.

【分析】（1）求得线段的垂直平分线方程，联立方程组，求得圆心，根据，求得圆的半径，即可求得圆的方程；
（2）根据题意，得到圆心到直线的距离为，①当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，根据点到直线的距离公式，列出方程，求得，进而得出直线的方程.
【详解】（1）解：设的中点为，因为点和点，所以，即，
又由，所以的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线方程为，
联立方程组，解得，即圆心坐标，
又由，即圆的半径为，
所以圆的方程为.
（2）解：过点的直线与圆相交于两点，且，
所以圆心到直线的距离为，
①当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，
则圆心到直线的距离为，符合题意；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，
此时直线的方程为，
综上可得，直线的方程为或.
16．已知圆和直线相切于点.
(1)求圆的标准方程及直线的一般式方程；
(2)已知直线经过点，并且被圆截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）将点的坐标代入圆的方程，求出实数的值，可得出圆的标准方程，求出直线的斜率，由圆的几何性质可得，可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程，化为一般式即可；
（2）分析可知直线过圆心，求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】（1）把点代入圆的方程，可得，解得，
得的方程为，即，
圆心为，所以，直线的斜率为，
由圆的几何性质可知，则直线的斜率为，
直线的方程为，即.
（2）由（1）可知，圆的直径为，故直线经过圆心，
且直线的斜率为，直线的方程为，即．