2-4-1-函数的概念-2023年初升高数学无忧衔接(通用版)(原卷版).docx

第2.4章 函数的概念与性质
2.4.1 函数的概念

高中要求
1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;
2了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;
3 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

一 函数的概念
1 概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x) , x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合fxx∈A}叫做函数的值域．
比如 贵哥西藏骑旅中，以15km/h的速度从大理去相距180km的丽江，出发t小时后行驶的路程是s km，则s是t的函数，记为s=12t，定义域是{t|0≤t≤12}，值域为{s|0≤s≤180}．对集合{t|0≤t≤2}中的任意一个实数，在集合{s|0≤s≤180}中都有唯一的数s=12t和它对应．

对函数概念的理解
① “A,B是非空的数集”，一方面强调了A,B只能是数集，即A,B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集．
② 函数中，集合A,B间元素的对应可以是一对一、一对多，不能多对一，集合B中的元素可以在集合A没元素对应.

③ 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．
2 定义域
① 概念：函数自变量x的取值范围.
② 求函数的定义域主要应考虑以下几点
(1)若f(x)为整式，则其定义域为实数集R．
(2)若f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．
(3)若f(x)为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合．
(4)若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．[来源:Zxxk.Com]
(5)实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．
3 值域
① 概念：函数值y的取值范围
② 求值域的方法
(1)配方法 (2)数形结合 (3)换元法
(4)函数单调性法 (5)分离常数法 (6)基本不等式法
4 区间
区间的几何表示如下表所示：
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a,b]

{x|a<x<b}
开区间
(a,b)

{x|a≤x<b}
半开半闭区间
[a,b)

{x|a<x≤b}
半开半闭区间
(a,b]

{x|x≥a}
半开半闭区间
[a,+∞)

{x|x＞a}
开区间
(a,+∞)

{x|x≤a}
半开半闭区间
(－∞,a]

{x|x<a}
开区间
(－∞,a)

R
开区间
(－∞,+∞)

【例】将下列集合用区间表示出来．
(1){x|x≥2}；(2){x|x＜0}；(3){x|-2＜x≤5}；(4){x|0＜x＜1,或2≤x≤4}．

【题型1】函数概念的理解
【典题1】 下列式子中y是x的函数的是(　　)
A．x2+y2=2 B．x-1+y-1=1
C．y=x-2+1-x D．y=±x

【典题2】若函数y=f(x)的定义域为M={x∣-2⩽x⩽2}，值域为N={y∣0⩽y⩽2}，则函数y=f(x)的图象可能是( )
A．B．C．D．

变式练习
1.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是 (　　)
A． B． C．D．
2.给定的下列四个式子中，能确定y是x的函数的是(　　)
①x2+y2=1 ②|x－1|+y2-1=0
③x-1+y-1=1 ④y=x-2+1-x．
A．① B．② C．③ D．④
3.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )
A. B.C. D.
4.集合M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是(　　)
A． B． C． D．
5.函数y=f(x－1)与函数y=f(x+1) (　　)
A．是同一个函数 B．定义域相同
C．图象重合 D．值域相同

【题型2】 函数的定义域
【典题1】 求下列函数的定义域：
(1) y=31-2-x； (2)y=2x-4+x-20x-3．

【典题2】 已知函数y=f(x)的定义域为[0,1]，则函数y=f(x+1)的定义域为(　　)
A．[-1,0] B．[1,2] C．[1,2] D．[3,4]

变式练习
1.函数y=x-4|x|-5的定义域为 .
2.函数f(x)=-x2+4x+12+1x-4的定义域为 .
3.已知函数f(x)的定义域为(-1,0)，则函数f(2x-2)的定义域为　 　．
4.若函数f(x)=ax2+ax+2的定义域为R，则实数a的取值范围是 　．

【题型3】 判断同一函数
【典题1】 下列各组函数中表示的函数不同的是(　　)
A．f(x)=x,g(x)=3x3 B．f(x)=x2,g(x)=|x|
C．fx=x2－3x,g(t)=t2－3t D．f(x)=x2-4x-2,g(x)=x+2

变式练习
1.在下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是(　　)
A．y=1,y=xx B．y=x-1⋅x+1,y=x2-1
C．y=x,y=3x3 D．y=|x|,y=(x)2
2.下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)
A．f(x)=x2，g(x)=x3 B．f(x)=x2，g(x)=(x)2
C．fx=x2x，gx=x D．f(x)=|x|，g(x)=x，x≥0-x，x<0

1.由下列各式能确定y是x的函数是(　　)
A．x2+y2=1 B．x2-y+3=0
C．y=x-3+2-x+3 D．以上都不是
2.图中，能表示函数y=f(x)的图象的是(　　)
A． B． C． D．
3.下面各组函数中是同一函数的是(　　)
A．y=-2x3与y=x-2x
B．y=(x)2与y=|x|
C．f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1
D．y=x+1x-1与y=(x+1)(x-1)
4.关于函数y=f(x)与函数y=f(x+1)的叙述一定正确的是(　　)
A．定义域相同 B．对应关系相同
C．値域相同 D．定义域、値域、对应关系都可以不相同
5.函数y=-x2+x+6+1x-1的定义域为( )
A．[-2,3] B．-2,1⋃1,3 C．&-∞,    &&-2⋃[3,+∞) D．(-2,1)∪(1,3)
6.已知函数f(x+1)定义域为[1,4]，则函数f(x-1)的定义域为(　　)
A．[0,3] B．[－1,2] C．[3,6] D．[1,4]
7.图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x,y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________．

8.函数y=2+x1-x+x2-x-2的定义域是_______．
9.函数y=1ax2+4ax+3的定义域为(-∞,+∞)，求实数a的取值范围.

10.若函数f(x)=2x-3ax2+ax+1的定义域为R，求实数a的取值范围。