第07讲-第四章三角函数(综合测试)(解析版).docx

第07讲 第四章 三角函数（综合测试）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2023春·江苏南京·高一南京外国语学校校考阶段练习）函数的定义域是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由，可得，
所以函数的定义域是.
故选：A.
2．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）如图所示，角的终边与单位圆在第一象限交于点.且点的横坐标为，绕О逆时针旋转后与单位圆交于点Q，角的终边在上，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由三角函数定义可知，
又为第一象限角，所以；
又，所以.
故选：C
3．（2022·北京·北京工业大学附属中学校考三模）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得：，且，
所以，
所以，
故选：C
4．（2023·高一单元测试）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
【答案】C
【详解】对于AC，先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到的图像，
再将图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图像，故A错误，C正确；
对于BD，先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到的图像，后续平移变换必得不到的图像，故BD错误.
故选：C.
5．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知当时，函数取得最小值，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由函数，其中，，
所以当，函数取得最小值为，
所以，，
所以，所以．
故选：B．
6．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知定义在上的偶函数，对任意都有，当取最小值时，的值为（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【详解】，
因为该函数为偶函数，
所以有，
因为，所以令，得，
即
由

，
当时，
，显然不符合这一条件；
当时，，
当时，取最小值，即
因此，
故选：A
7．（2023·河南郑州·统考二模）人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点，O为坐标原点，余弦相似度similarity为向量夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，Q，R的余弦距离为，则（    ）
A．7 B． C．4 D．
【答案】A
【详解】由，，，
，
，
所以，故，
则，
整理得.
故选：A
8．（2023·高一单元测试）已知偶函数的定义域为，对任意，都有，且当时，，则函数的零点的个数为（    ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【详解】将问题化为与图象的交点个数，显然也是定义在上的偶函数，
所以，只需研究与在的交点个数，再乘以2即可得结果.
对应：时，在上递减，上递增；
任意都有，易知上，在上递减，上递增，；
又在上递增，且，，
综上，与在存在交点，且函数图象如下图：

由图知：上共有6个交点，根据偶函数的对称性知：共有12个交点，
所以原函数有12个零点.
故选：C
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023春·河南南阳·高一校联考阶段练习）下列各式正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】A中，因为，，由在单调递增，所以，所以A正确；
B中，因为，，显然，即，所以B正确：
C中，，，故，所以C错误；
D中，因为，在内单调递增，所以，所以D正确；
故选：ABD．
10．（2023春·山东烟台·高一山东省招远第一中学校考期中）已知函数的值域为，若，则称函数具有性质I，下列函数中具有性质I的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】对于A，，其中，
则，符合题意；
对于B，，则，不符合题意；
对于C，，令，
所以在上单调递增，所以，
则，符合题意；
对于D，，
当时，，当且仅当，即时等号成立；
当时，，当且仅当，即时等号成立；
综上所述，，则，不符合题意.
故答案为：AC.
11．（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考阶段练习）某摩天轮共有32个乘坐舱，按旋转顺序依次为1~33号（因忌讳，没有13号），并且每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等，已知乘客在乘坐舱距离底面最近时进入，在后距离地面的高度，已知该摩天轮的旋转半径为60m，最高点距地面135m，旋转一周大约30min，现有甲乘客乘坐11号乘坐舱，当甲乘坐摩天轮15min时，乙距离地面的高度为，则乙所乘坐的舱号为（    ）
A．6 B．7 C．15 D．16
【答案】BD
【详解】由题意得：min，故，
摩天轮最低点距底面m，
故，解得：，
故，
由于min，故甲乘坐摩天轮15min时，距地面为最大高度，
即，
故，
因为，所以，故，
解得：，
故，
令，其中，
解得：，
令，，解得：，，
因为，所以，解得：，
此时
令，，解得：，，
因为，所以，解得：，
此时
综上：min或min，
每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角为，故每相邻两个乘坐舱旋转到同一高度的时间间隔为，
当min时，乙比甲晚出发min，甲乙相差个乘坐舱，
由于没有13号乘坐舱，故乙在16号乘坐舱，
当min时，乙比甲早出发min，甲乙相差个乘坐舱，
故乙在7号乘坐舱.
故选：BD
12．（2023春·山东烟台·高一山东省招远第一中学校考期中）设，其中，，若对一切恒成立，则（    ）
A． B．
C．为非奇非偶函数 D．的单调递增区间为
【答案】ABC
【详解】，其中，
若对一切则恒成立
所以，整理得，故
所以，
对于A：，故A正确；
对于B：
故B正确；
对于C： 因为，所以该函数不是奇函数，
因为，
所以该函数不是偶函数，故C正确；
对于D：当时，令，解得， D错误.
故选：ABC
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023春·重庆巫溪·高一校考阶段练习）化简：_____．
【答案】1
【详解】由于，
所以，
所以.
故答案为：
14．（2023秋·广东清远·高一统考期末）《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来.轻袖佛华妆，窈窕登高台､诗里的叠扇，就是折扇.折扇展开后可看作是半径为的扇形，是圆面的一部分，如图所示.设某扇形的面积为，该扇形所在圆面的面积为，当与的比值为时，该扇面为“黄金美观扇面”.若某扇面为“黄金美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为__________.

【答案】
【详解】，
扇形所在圆面的面积为：
且：
；

故答案为：
15．（2023春·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习）关于的函数的最大值为，最小值为 ，且 ，则实数的值为____．
【答案】
【详解】因为
，
设函数的定义域为，
对任意的，，则，即，
所以，函数的定义域关于原点对称，
所以，，
所以，函数的图象关于点对称，
所以，函数图象的最高点和最低点也关于点对称，
所以，，解得.
故答案为：.
16．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数
（1）的值域为__________.
（2）设，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围为__________.
【答案】         
【详解】，
由，有，
则当时，有最小值，当或时，有最大值，
所以的值域为.
，
，其中，，，
，，
因为对任意的，总存在，使得，
所以的值域是的值域的子集，
时不合题意，
时，当，有最小值，则有，解得，
此时时，有最大值，
时，当，有最小值，则有，解得，
此时时，有最大值，
则实数的取值范围为.
故答案为：；.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2023秋·广东清远·高一统考期末）已知角是第一象限角，且.
(1)求的值；
(2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，，且，
解得.
故的值分别为.
（2）因为角的终边与角的终边关于轴对称，
所以，
所以，
所以
18．（2023春·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考阶段练习）已知 都是锐角
(1)求的值
(2)求的值
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）因为是锐角，，所以，
所以，则，
所以.
（2）由（1）可知，，
因为 都是锐角，所以，且，
所以，
因为解得，
所以

.
19．（2023春·北京石景山·高一首师大附属苹果园中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的值；
(2)若对任意都有，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）设函数的最小正周期为，
由图可知，，
所以．
又，，
所以；
又，
所以．
因为，
所以，
所以，
所以；
（2）函数在的最大值为，最小值为，
所以对任意，都有，
且当，时，取到最大值．
因为对任意，都有成立，
所以，即的取值范围是．
20．（2023春·上海青浦·高一校考阶段练习）已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点.ABCD是扇形的内接矩形，记，矩形的面积为.

(1)当时，求矩形的面积的值.
(2)求关于角的解析式，并求的最大值.
【答案】(1)
(2)； 时，.
【详解】（1）在中，，，在中，，
∴，∴，
∴

.
当时，.
（2）由（1）知
由得，所以当，即时，.
21．（2023秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若在上存在最小值，求实数t的取值范围；
(3)方程在上的两解分别为，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）

，
由，得，
所以的单调递增区间为：.
（2）当时，，
因为在上存在最小值，所以，
所以.
实数t的取值范围为.
（3）设，，则，
由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由，得，
因为方程在上的两解分别为、，
则，必有，，
所以，，同理，
，
由于，且，，则，
由，可得.
22．（2023春·上海青浦·高一校考阶段练习）已知函数，且.
(1)求的值，并求出的最小正周期（不需要说明理由）；
(2)若，求的值域；
(3)是否存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点，若存在，求由的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)，函数的最小正周期为
(2)
(3)存在正整数，理由见解析
【详解】（1）函数，
∵，
∴，解得：，
所以，
因为的周期是都，
又周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数，
所以函数的最小正周期为.
（2）若，则，
设，则，
则，
所以，
所以其值域为；
（3）存在正整数，使得在区间内恰有2025个零点．
当时，．
设，
则，
于是，
令，得或，
此时，或或，其中，
当时，．
设，则，
于是，
令，
解得或，
故在没有实根．
综上，在上有4个零点，
又的最小正周期为，而，
所以函数在有2025个零点．