示范课—正弦定理.doc

示范课教案

正 弦 定 理

开课时间：
科 目：
章 节：
课 题：

石跃忠

榆社中学

1．1 正弦定理和余弦定理
1．1．1 正弦定理
一、内容和内容分析
本节课主要是学生学习了平面向量之后要继续探讨的有关三角形的边、角关系的一个定理—正弦定理。正弦定理是解决有关斜三角形问题以及应用问题的重要定理，它将三角形的“边”和“角”有机地联系起来，实现了边与角的互化，从而使“三角”与“几何”产生联系，为求与三角形有关的量如：面积、外接圆半径等提供了理论依据。
二、目标和目标分析
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，能够理解正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。教材在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的关系，我们要想得到这个边与角的准确的量化关系呢？”由此引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
三、教学问题诊断分析
本节的教学重点是：定理的探索、证明及其应用。所以在学习中，教师要力足于学生基础，以数学活动为理念，让学生经历提出问题、探索问题、解决问题、应用问题的过程，体现学生的主观能动性。
四、教学支持条件分析
学生已有的三角形的边、角关系（初中知识）；三角函数知识；平面向量知识，教学时要充分利用好这些条件；另外，为更好地学好正、余弦定理及其应用，我们可以结合初中所学的判断三角形相似、三角形全等的条件，让学生有更多的思考空间，从而使得三维目标、学习难点得到很好的实现。多媒体教学辅助。
五、教学过程设计
问题1
请同学们思考要确定一个三角形需要哪几个独立条件？尝试罗列一下。如果是一个直角三角形呢?
　1． ① 已知三边；　
　 ② 已知两边及其夹角;　
③ 已知一边和任两角.
2．①　已知两边(两直角边或一斜边和一直角边)；　
　 ② 已知一边(斜边或一直角边)及一锐角
问题2
我们能否利用已知的边,角,结合我们所学三角函数知识把未知的边角全部求出来呢?请同学们以直角三角形为例进行探究.
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-1，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又,
A
则 b c
从而在直角三角形ABC中， C a B
(图1．1-1)
问题3
对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则
C

同理可得， b a
从而 A c B
问题4
是否可以用其它方法证明这一等式？
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作， C
由向量的加法可得
则 A B
∴

∴，即
同理，过点C作，可得
从而 除此之外同学们还有没有别的证明方法?(利用三角形的面积公式来证)可由学生课后探讨完成。
问题5
当ABC是钝角三角形时，请同学们探究一下上述结论能否成立?
从上面的研探过程，可得以下定理
问题6
试叙述正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
尝试完成下面例题：
例1．在中，已知，，cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，

；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，

因为＜＜，所以，或
⑴ 当时，
，

⑵ 当时，
，

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。
问题7
你能从理论上对例题2进行一般性的解释吗?不妨探讨一下
第4页练习第1（1）、2（1）题。
[补充练习]已知ABC中，，求
（答案：1：2：3）
问题8
通过本节的学习你有哪些收获?交流一下
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，，；(你知道正数k的几何意义吗?试画图说明)
（2）等价于，，
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
（3）定理的表示形式：；
或，，
（4）正弦定理的应用范围：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可以求得其它的边和角。
何时有一解、两解、无解？
可以先让学生画图说明，再借助多媒体动画展示，同时从理论上结合三角形全等的条件去分析。

课后作业
　1．设△ABC满足tanA·sinB＝tanBsinA，则△ABC的形状是(　)
　　A．锐角三角形　　B．钝角三角形　　C．等腰三角形　　D．等边三角形
　2．在△ABC中，A＝105°，B＝30°，a＝，则B的平分线的长是(　)
　　A． B．2
　　C．1 D．
　3．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是(　)
　　A．0＜C≤ B．0＜C＜
　　C．＜C＜ D．＜C≤
4．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是(　)
　　A．90° B．120°
　　C．135° D．150°
　5．直角三角形的周长为6＋2，斜边上的中线长为2，则三角形的面积为(　)
　　A．8 B．2＋2
C．4 D．2

板书设计

1.1.1正弦定理
一、定理的推导 二、正弦定理 四、应用范围

三、例题分析 五、小结：
例1
例2 六、作业

教学反思
1．教学设计的反思
以问题导学的方式，逐个给学生递进式的提出问题，让学生探究。在设计问题时，力求做到起点低，梯度小，结合前后知识的联系，引领学生直接参与分析问题、解决问题，并品尝劳动成果的喜悦，效果不错。但我担心的问题是：学生在教师的问题下作答，是不是在一定程度上限制了学生的思维？值得我们思考。
2．多媒体使用的反思
本节课，多媒体的使用体现在：学生自主导公式过程的展示、两例题的解答、以及判定三角形解的个数的图形呈现。适当起到辅助教学的作用，但我认为效果不是太佳。
3．关于课堂容量问题的反思
将解三角形的一解、两解、无解的情形，以操作确认、几何直观、理论指导等多种方式展示，不错。但没跟相应的题型，效果担忧。同时作为完整的一节示范课，我力求给学生对这节课留个完整的印象。
4．教学效果的反思
正弦定理的推导、公式的应用以及注意事项学生反映挺好，同时也为学习余弦定理作准备。

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