第01讲-导数的概念与运算(讲义)(解析版).docx

第01讲 导数的概念与运算
目录

考点要求
考题统计
考情分析
（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．
（2）通过函数图象，理解导数的几何意义．
（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．
2022年I卷第15题，5分
2021年甲卷第13题，5分
2021年I卷第7题，5分
高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主．

知识点一：导数的概念和几何性质
1、概念
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．
知识点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有
多近，即可以小于给定的任意小的正数；
②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即．
2、几何意义
函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率．
3、物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
知识点二：导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数
导函数
（为常数）

2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则：；
（2）函数积的求导法则：；
（3）函数商的求导法则：，则．
3、复合函数求导数
复合函数的导数和函数，的导数间关系为：
【解题方法总结】
1、在点的切线方程
切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．
2、过点的切线方程
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．

题型一：导数的定义
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图象可知，
即.
故选：D
【对点训练1】（2023·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ）
A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s
【答案】C
【解析】由，求导得：.
当时，，解得（舍去）.
故当时，液体上升高度的瞬时变化率为.
故选：C
【对点训练2】（2023·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数的导函数是，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】因为
所以
故选：B
【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）若函数在处可导，且，则（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由导数定义可得，
所以．
故选：A．
【对点训练4】（2023·高三课时练习）若在处可导，则可以等于（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由导数定义，
对于A， ，A满足；
对于B，，
，B不满足；
对于C，，
，C不满足；
对于D，，
，D不满足.
故选：A.
【解题方法总结】
对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．
题型二：求函数的导数
【例2】（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．
(1)；
(2)；
(3)
(4)；
【解析】（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
（3）因为，所以
（4）因为，所以
【对点训练5】（2023·高三课时练习）求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【解析】（1）
.
（2），
所以.
（3）.
（4）
.
（5）.
（6），
故
.
【对点训练6】（2023·海南·统考模拟预测）在等比数列中，，函数，则__________．
【答案】
【解析】因为
，
所以．
因为数列为等比数列，所以，
于是．
故答案为：
【对点训练7】（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知可导函数，定义域均为，对任意满足，且，求__________.
【答案】
【解析】由题意可知，令，则，解得，
由，得，即，
令，得，即，
解得.
故答案为：.
【对点训练8】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数的导函数为，且，则______．
【答案】
【解析】因为，则，故，故．
故答案为：.
【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则__________.
【答案】-2
【解析】由函数求导得：，当时，，解得，
因此，，所以.
故答案为：-2
【解题方法总结】
对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．
题型三：导数的几何意义
方向1、在点P处切线
【例3】（2023·广东广州·统考模拟预测）曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】函数的导函数为，
所以函数在处的导数值，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以曲线在点处的切线方程为，即，
故答案为：.
【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】因为，
所以 ，
则，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
故答案为：.
【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，为的导函数.若的图象关于直线x＝1对称，则曲线在点处的切线方程为______
【答案】
【解析】，
令，，则，
令，，解得x＝2k＋1，，
当k＝0时，x＝1，所以直线x＝1为的一条对称轴，
故的图象也关于直线x＝1对称，则有，解得b＝－1，
则，，
，，
故切线方程为.
故答案为；.
【对点训练12】（2023·湖南·校联考模拟预测）若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】因为是奇函数，
所以对恒成立，
即对恒成立，
所以，则，故，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
化简得.
故答案为：
方向2、过点P的切线
【对点训练13】（2023·江西·校联考模拟预测）已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是______．
【答案】
【解析】由题意可得，
设该切线方程，且与相切于点，
，整理得，
∴，可得，∴.
故答案为：.
【对点训练14】（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由，设切点为，则切线斜率为，
所以，过的切线方程为，
综上，，即，
所以有三个不同值使方程成立，
即与有三个不同交点，而，
故、上，递减，上，递增；
所以极小值为，极大值为，故时两函数有三个交点，
综上，的取值范围是.
故答案为：
【对点训练15】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）过点作曲线的切线，写出一条切线方程：__________.
【答案】或（写出一条即可）
【解析】由可得，
设过点作曲线的切线的切点为，则，
则该切线方程为，
将代入得，解得或，
故切点坐标为或，
故切线方程为或，
故答案为：或
【对点训练16】（2023·海南海口·校联考模拟预测）过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________．
【答案】，，，只需写出一个答案即可
【解析】设切点为，因为，所以切线方程为．
因为切线经过点，所以，
由题意关于的方程没有实数解，
则，解得．
因为为整数，所以的取值可能是，，.
故答案为：，，，只需写出一个答案即可
【对点训练17】（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为___________.
【答案】或
【解析】由可得，设切点坐标为，
所以切线斜率，又因为，
则切线方程为，
把代入并整理可得，解得或.
故答案为：或
【对点训练18】（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）若过点有条直线与函数的图象相切，则当取最大值时，的取值范围为__________.
【答案】
【解析】设过点的直线与的图象的切点为，
因为，
所以切线的斜率为，
所以切线的方程为，
将代入得，
即，
设，则，
由，得或，
当或时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
所以，
又0，所以恒成立，
所以的图象大致如图所示，
由图可知，方程最多个解，
即过点的切线最多有条，
即的最大值为3，此时.
故答案为：.

【对点训练19】（2023·全国·模拟预测）已知函数，其导函数为，则曲线过点的切线方程为______．
【答案】或
【解析】设切点为，由，得，
∴，得，∴，，
∴切点为，，
∴曲线在点M处的切线方程为①，
又∵该切线过点，∴，解得或．
将代入①得切线方程为；
将代入①得切线方程为，即．
∴曲线过点的切线方程为或．
故答案为：或
方向3、公切线
【对点训练20】（2023·云南保山·统考二模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由函数，可得，
因为，设切点为，则，
则公切线方程为，即，
与联立可得，
所以，整理可得，
又由，可得，解得，
令，其中，可得，
令，可得，函数在上单调递增，且，
当时，，即，此时函数单调递减，
当时，，即，此时函数单调递增，
所以，且当时，，所以函数的值域为，所以且，解得，即实数的取值范围为.
故选：A.
【对点训练21】（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为___________.
【答案】1
【解析】设，则，设切点为，则，
则切线方程为，即，
直线过定点，
所以，所以，
设，则，设切点为，则，
则切线方程为，即，
直线过定点，
所以，所以，
则是函数和的图象与曲线交点的横坐标，
易知与的图象关于直线对称，而曲线也关于直线对称，
因此点关于直线对称，
从而，，
所以．
故答案为：1.
【对点训练22】（2023·河北邯郸·统考三模）若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】曲线在点处的切线方程为，
由于直线与圆相切，得（*）
因为曲线与圆有三条公切线，故（*）式有三个不相等的实数根，
即方程有三个不相等的实数根.
令，则曲线与直线有三个不同的交点.
显然，.
当时，，当时，，当时，，
所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
且当时，，当时，，
因此，只需，即，
解得.
故答案为：
【对点训练23】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线和曲线恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由题意得，
设与曲线相切的切点为，与曲线相切的切点为，
则切线方程为，即，
，即，
由于两切线为同一直线，所以，得．
令，则，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增．
即有处取得极小值，也为最小值，且为．
又两曲线恰好存在两条公切线，即有两解，
结合当时，趋近于0，趋于负无穷小，故趋近于正无穷大，
当时，趋近于正无穷大，且增加幅度远大于的增加幅度，故趋近于正无穷大，

由此结合图像可得a的范围是，
故答案为：
【对点训练24】（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知曲线与曲线有且只有一条公切线，则________．
【答案】
【解析】设曲线在处的切线与曲线相切于处，
，故曲线在处的切线方程为，
整理得.
，故曲线在处的切线方程为，
整理得.
故
由(1)再结合知，将(1)代入(2) ，得，
解得且，
将代入(1) ，解得且，
即且，令，则，.
令，，
则在区间单调递增，在区间单调递减，且，
又两曲线有且只有一条公切线，所以只有一个根，由图和知.
故答案为：.

【对点训练25】（2023·福建南平·统考模拟预测）已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．
【答案】
【解析】设曲线和曲线在公共点处的切线相同，
则，
由题意知，
即，解得，
故切点为，切线斜率为，
所以切线方程为，即，
故答案为：
方向4、已知切线求参数问题
【对点训练26】（2023·江苏·校联考模拟预测）若曲线有两条过的切线，则a的范围是______.
【答案】
【解析】设切线切点为，因，则切线方程为：.
因过，则，由题函数图象
与直线有两个交点.，
得在上单调递增，在上单调递减.
又，，.
据此可得大致图象如下.则由图可得，当时，曲线有两条过的切线.
故答案为：

【对点训练27】（2023·山东聊城·统考三模）若直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】设切点坐标为，因为，
所以，故切线的斜率为：，
，则.
又由于切点在切线与曲线上，
所以，所以.
令，则，设，
，令得：，
所以当时，，是增函数；
当时，，是减函数.
所以.
所以的最大值为：1.
故选：B.
【对点训练28】（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（    ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】由且x不为0，得
设切点为，则，即，
所以，可得.
故选：C
【对点训练29】（2023·海南·校联考模拟预测）已知偶函数在点处的切线方程为，则（    ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为是偶函数，所以，即；
由题意可得：，
所以.
故选：A
【对点训练30】（2023·全国·高三专题练习）已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，且，
因为曲线在其上任意一点点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，
所以，对任意的恒成立，则，
当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，，解得.
故选：B.
【对点训练31】（2023·全国·高三专题练习）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【解析】对求导得，
由得，则，即，
所以，
当且仅当时取等号．
故选：D．
方向5、切线的条数问题
【对点训练32】（2023·河北·高三校联考阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出函数的图象，由图象可知点在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切线，
所以，
故选：B．

【对点训练33】（2023·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，
设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，
当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，所以，结合图像知，即.
故选：D.
【对点训练34】（2023·湖南·校联考二模）若经过点可以且仅可以作曲线的一条切线，则下列选项正确的是（    ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】设切点．因为，所以，
所以点处的切线方程为，
又因为切线经过点，所以，即.
令，则与有且仅有1个交点，，
当时，恒成立，所以单调递增，显然时，，于是符合题意；
当时，当时，，递减，当时，，递增，所以，
则，即．
综上，或．
故选：D
方向6、切线平行、垂直、重合问题
【对点训练35】（2023·全国·高三专题练习）若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设函数图象上切点为，因为，所以，得， 所以，所以切线方程为，即，设函数的图象上的切点为，因为，所以，即，又，即，所以，即，解得或（舍），所以．
故选：A
【对点训练36】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与曲线相交于，且曲线在处的切线平行，则实数的值为（  ）
A．4 B．4或-3 C．-3或-1 D．-3
【答案】B
【解析】设，由得，
由题意，因为，则有．
把代入得，
由题意都是此方程的解，即①，
，
化简为②，
把①代入②并化简得，即，，
当时，①②两式相同，说明，舍去．所以．
故选：B．
【对点训练37】（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知曲线在点处的切线互相垂直，且切线与轴分别交于点，记点的纵坐标与点的纵坐标之差为，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，当时，，
当时，，
因为切线互相垂直，所以，
所以，所以，
直线的方程为，令，得，
故，
直线的方程为，令，得，
故，
所以，
设，则，
在上单调递减，所以，即，
故选：A.
【对点训练38】（2023·全国·高三专题练习）若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线，
不妨设函数在和的切线互相垂直，
则，即①，
因为a一定存在，即方程①一定有解，所以，
即，解得或，
又，所以或，，
所以方程①变为，所以，故A，B，D错误.
故选：C.
【对点训练39】（2023·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）若函数的图像上存在两个不同的点，使得在这两点处的切线重合，则称为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A， 显然是偶函数， ，
当 时， ，单调递减，当 时， 单调递增，
当 时， ，单调递减，当 时，单调递增；
在 时， ，都取得极小值，由于是偶函数，在这两点的切线是重合的，故A是“切线重合函数”；
对于B， 是正弦函数，显然在顶点处切线是重合的，故B是“切线重合函数”；
对于C，考察 两点处的切线方程， ，
两点处的切线斜率都等于1，在A点处的切线方程为 ，化简得： ，
在B点处的切线方程为 ，化简得 ，显然重合，
C是“切线重合函数”；
对于D， ，令 ，则 ，
是增函数，不存在 时， ，所以D不是“切线重合函数”；
故选：D.
【对点训练40】（2023·全国·高三专题练习）已知A，B是函数，图象上不同的两点，若函数在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，为函数图象上的两点，且，
当或时，，故，
当时，函数在处的切线方程为：；
当时，函数在处的切线方程为
两直线重合的充要条件是①，②，
由①②得：，，
令，则，
令，则，
由，得，即时有最大值，
在上单调递减，则.
a的取值范围是.
故选：B.
方向7、最值问题
【对点训练41】（2023·全国·高三专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】与互为反函数，其图像关于直线对称
先求出曲线上的点到直线的最小距离．
设与直线平行且与曲线相切的切点，．
，，解得．．
得到切点，点P到直线的距离．
最小值为．
故选：B．
【对点训练42】（2023·全国·高三专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】与互为反函数，它们图像关于直线对称；
故可先求点P到直线的最近距离d，
又，当曲线上切线的斜率时，得，，

则切点到直线的距离为，
所以的最小值为．
故选：D．
【对点训练43】（2023·全国·高三专题练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】与互为反函数，
所以与的图像关于直线对称，
设，则，
令得，
则当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
所以与无交点，则与也无交点，
下面求出曲线上的点到直线的最小距离，
设与直线平行且与曲线相切的切点，，
，
，解得，
，
得到切点，到直线的距离，
的最小值为，
故选：D．
【对点训练44】（2023·全国·高三专题练习）已知实数，，，满足，则的最小值为（    ）
A． B．8 C．4 D．16
【答案】B
【解析】由得，，，即，，
的几何意义为曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，
不妨设曲线，直线，设与直线平行且与曲线相切的直线方程为，
显然直线与直线的距离的平方即为所求，
由，得，设切点为，，
则，解得，
直线与直线的距离为，
的最小值为8．
故选：B.
【对点训练45】（2023·全国·高三专题练习）设函数，其中，．若存在正数，使得成立，则实数的值是（    ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，
动点在函数的图像上，在直线的图像上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由得，当时，解得，即曲线上斜率为2的切线，切点为，

曲线上点到直线的距离，则，
根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，
由，解得．
故选：A．
【对点训练46】（2023·宁夏银川·银川二中校考一模）已知实数满足，，则的最小值为（   ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，又，
表示点与曲线上的点之间的距离；
点的轨迹为，表示直线上的点与曲线上的点之间的距离；
令，则，
令，即，解得：或（舍），
又，
的最小值即为点到直线的距离，的最小值为.
故选：B.
【对点训练47】（2023·四川成都·川大附中校考二模）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小.
设切点为，，
所以，切线斜率为，
由题知得或（舍），
所以，，此时点到直线距离.
故选：C
方向8、牛顿迭代法
【对点训练48】（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一Newton-Raphson method译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设是的根，选取作为的初始近似值，过点做曲线的切线：，则与轴交点的横坐标为，称是的一次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数的零点一次近似值为（    ）（精确到小数点后3位，参考数据：）
A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204
【答案】C
【解析】易知在定义域上单调递增，，即函数的零点有且只有一个，且在区间上.
不妨取作为初始近似值，，
由题意知.
故选：C.
【对点训练49】（多选题）（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，过点（）作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.对于方程，记方程的根为，取初始近似值为，下列说法正确的是（    ）
A． B．切线：
C． D．
【答案】ABD
【解析】由，可得，即，
根据函数零点的存在性定理，可得，所以A正确；
又由，设切点，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
令，可得，所以D正确；
当时，可得，则，
所以的方程为，即，所以B正确；
由，可得，，此时，
所以C错误；
故选：ABD
【对点训练50】（多选题）（2023·全国·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（    ）

A．对任意，
B．若，且，则对任意，
C．当时，需要作2条切线即可确定的值
D．无论在上取任何有理数都有
【答案】BCD
【解析】A，因为，则，
设，则切线方程为，
切线与轴的交点横坐标为，所以，故A错误；
B，处的切线方程为，
所以与轴的交点横坐标为，故B正确；
C，因为，，
所以两条切线可以确定的值，故C正确；
D，由选项C可知，，所以无论在上取
任何有理数都有，故D正确.
故选：BCD
【对点训练51】（2023·全国·高三专题练习）牛顿迭代法（Newton's method）又称牛顿–拉夫逊方法（Newton–Raphsonmethod），是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法．如图，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线,与轴的交点的横坐标（），称是的一次近似值，过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值．重复以上过程，直到的近似值足够小，即把作为的近似解．设，，，，构成数列．对于下列结论：

①（）；
②（）；
③；
④（）．
其中正确结论的序号为__________．
【答案】②④
【解析】由题意，过点作曲线的切线方程为，
令，解得（），
过点作曲线的切线方程为，
令，解得（），
过点作曲线的切线方程为，
令，解得（），
重复以上过程，当时，
则过点作曲线的切线方程为，
令，解得（，），故①错误，②正确.
将，，，累加，得
（），
∴（），故③错误，④正确.
故答案为：②④.
【解题方法总结】
函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率．这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别．（1）已知在点处的切线方程为．（2）若求曲线过点的切线方程，应先设切点坐标为，由过点，求得的值，从而求得切线方程．另外，要注意切点既在曲线上又在切线上．

1.（2021·全国·统考高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

  由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

  故选：D.
2.（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
3.（2020·全国·统考高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.