首师大附中高三数学大练习试题(十)(文科教师版).doc

数学大练习（十） 2009.12.1
班级 学号 姓名 成绩

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集，则图中阴影部分表示的集合为
A． B．
C． D．
2．如图中阴影部分表示的平面区域可用二元一次不等式组表示成（ ）
1
O
1
y
x
A. B.
C. D.
3．若点P为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程为（ ）
A. B.
C. D.
y
x=1
x
O
1
y
x=-1
x
O
-1
1
y
x=1
O
x=-1
y
x
-1
O
4．函数的大致图象是

A． B． C． D．
5．已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比的值为
A．－2 B．1 C．－1或2 D．1或

6． （2009山东文）设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF（O为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案:C.
解析：抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以△OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为,故选C.

7．函数的图象为
①图象关于直线对称；
②函数在区间内是增函数；
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．
以上三个论断中，所有正确论断的序号是
A．①② B．①③ C．②③ D．②

8．已知是偶函数，其定义域为，则点的轨迹是
A．一条直线 B．一条圆锥曲线 C．一条线段 D．一个点

二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上.
9. 已知两条直线若，则________________.2
10．已知的顶点，，，则顶点的坐标为_______． (1,5)

11. （2009福建卷文） 若双曲线的离心率为2，则等于
【答案】1

【解析】由，解得a=1.
12．过坐标原点且与圆相切的直线的方程为_________________________.
13. 在数列中，， ，则 .
答案：
14. 已知圆M：，直线l：，下面四个命题：
（1）对任意实数k与q，直线l和圆M相切；（2）对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；
（3）对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切；
（4）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切。
其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）（2）（4）

数学大练习（十） 2009.12.1
班级 学号 姓名 成绩
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案

二、填空题

9. ． 10. ．

11. ． 12. ．

13. ． 14. ．
三、解答题：本大题共 4 小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （本小题满分12分）
已知集合；命题，命题
，并且命题是命题的充分条件，求实数的取值范围．
解：先化简集合A，由，配方得：
…………………………………………………2分
…………………………………4分
…………………………………5分
化简集合B，由，

，……………………………7分
……………………………………………………………9分
解之得………………………………………………11分
所以实数m的取值范围是或………………………12分
16. （本小题满分12分）
已知向量．
（Ⅰ）当，求的值；
（Ⅱ）求在上的值域．
解：（Ⅰ），

……………………………………………………………………3分

………………………………………………………………5分
（Ⅱ）

，…………………………………………………………7分
…………………………………………………………9分
………………………………………………………………11分
∴函数……………………………………………………12分
17. （本小题满分13分）
数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求
（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
（II）的值.
解：（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得
，
，
， …………3分
由（n≥2），得（n≥2），…………6分
又a2=，所以an=(n≥2), …………8分
∴ 数列{an}的通项公式为；…………9分
（II）由（I）可知是首项为，公比为项数为n的等比数列，…11分
∴ = …………13分
18. （2009山东文）（本小题满分13分）
设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.
（Ⅰ）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
（Ⅱ）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
（Ⅲ）已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.
解:（1）因为,,,
所以, 即.
当m=0时,方程表示两直线,方程为;
当时, 方程表示的是圆
当且时,方程表示的是椭圆;
当时,方程表示的是双曲线.
(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
则使△=,
即,即, 且
,
要使, 需使,即,
所以, 即且, 即恒成立.
所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,, 所求的圆为.
当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A1, 由（2）知, 即 ①,
因为与轨迹E只有一个公共点B1,
由（2）知得,
即有唯一解
则△=, 即, ②
由①②得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点,
由 中,所以,,
B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,
在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即
当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.

第8页(共8页)