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一次函数知识回顾
江苏 朱咏松
再认知
变化的世界
自变量取值范围
解 析 式

用描点法画图象
一次函数
表格法
函 数
解析法
三种表示形式
图象法
图象及性质
一元一次方程
一元一次不等式
二元一次方程组
解决生活
实际问题
建模
待定系数法

函数知识综合运用
数形结合
一、知识网络总览

二、重要概念研读
1． 函数
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
2．一次函数
一般地，形如y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b＝0时，y＝kx+b即
y＝kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

一次函数
正比例函数
解析式
x
y
O
b＞0
b＜0
y
x
O
y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）
x
y
O
x
y
O
y＝kx（k是常数，k≠0）
图 象
b＞0

b＜0

k＞0
k＜0
k＞0
k＜0
性 质
1．图象是一条直线；
2．当k＞0时，y随着x的增大而增大；
当k＜0时，y随着x的增大而增大。
1．图象是经过原点的一条直线；
2．当k＞0时，y随着x的增大而增大；
当k＜0时，y随着x的增大而增大。
3．当k相同，而b不相同时，这两个一次函数的图象是两平行直线。
3．用函数观点看一次方程（组）与不等式
一元一次方程ax+b=0（a，b为常数，且a≠０）的解。
一次函数y=ax+b的值为0
时，自变量x的值。
直线y=ax+b与x轴的交点的横坐标的值。
一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，且a≠０）的解集。
一次函数y=ax+b的值大（小）于0时，自变量x相应的取值范围。
直线y=ax+b在x轴上方或在x轴上方时，对应的x的取值范围。
二元一次方程组
的解
两函数y=a1x+b1与y=a2x+b2值相等时，自变量x的取值。
两条直线y=a1x+b1与y=a2x+b2交点的坐标

三、主要考点解析
1．函数概念的图象辨析
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
例1：下列各曲线中不能表示y是x的函数是（　 　）

A． B． C． D．
解析：在取值范围内，对任意一个自变量x的值，只能对应唯一一个函数y的值；反之，对于任意一个函数y的值，它所对应的自变量的值不唯一，有可能有多个。故选C。
2．确定自变量取值范围
例2．函数的自变量x的取值范围是 。
解析：要注意解析式中的所有制约条件。由得。
例3．已知等腰三角形的周长为16，若其腰长为x，底边长为y，则y与x之间的函数关系为 ，其自变量的取值范围是 。
解析：实际问题中，自变量取值范围的确定要关注其实际意义及存在的必要条件。根据三角形的周长公式可得；由即得。
3．函数图象信息的解读

例4．此图是小明同学骑自行车出行的图象，从图象得知正确的信息是（ ）
A．整个行进过程中的平均速度是千米/时
B．前20分钟的速度比后半小时速度慢
C．该同学在途中停下来休息了10分钟
D．从起点到终点该同学共用了50分钟
解析：此折线表示：小明从起点到终点共用60分钟，走了7千米，平均速度是7千米/时；首尾是均速行进，速度分别为10千米/时与6千米/时，中途休息10分钟。故选C。
4．函数图象性质的辨析
x
y
O
例5．已知一次函数的图象如图，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：由图可知，y随x的增大而增大，则，即。
x
y
O
y1
y2
x
y
O
y1
y2
x
y
O
y1

y2

x
y
O
y1
y2
例6．已知一次函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B． C． D．
解析：此类问题通常可以先由y1与y2的图象判断出各自a，b的符号，再对比所得的结果是否一致。本题由此法可得：A．由y1知，，由y2的知，，其中b的符号不一致；B．由y1知，，由y2的知，，其中a的符号不一致；C．由y1知，，由y2的知，，a、b的符号不一致；D．由y1知，，由y2的知，，a、b的符号一致的。故选D。
5．待定系数法求解析式
例7．已知直线m与直线y = 2x+1的交点的横坐标为2，与直线y= −x+2的交点的纵坐标为1，求直线m的函数关系式。
解答：由题意知：当x=2时，y=5；当y=1时，x=1，∴直线m过点（2，5），（1，1）
设直线m的解析式为y = kx + b ,把点（2，5），（1，1）代入，得
∴直线m的解析式为 y = 4x – 3。
小结：从上例的解答过程，可以看出用“待定系数法”求函数解析式包括以下四个步骤：
①设——按照所求的函数类型，设出解析式；
②列——把题目中的已知点的坐标代入解析式，列出方程（组）；
③解——解方程（组），求出待定系数；
④代——把求出的系数的值代入解析式中，求出解析式．
6．交点问题与面积计算
C
B
A
x
O
y
D
M
例8．如图，直线y＝－x+4与y轴交于点A，与直线y＝x+
交于点B，且直线y＝x+与x轴交于点C，求△ABC的面积．
解析：求直线y＝－x+4与y轴的交点 令x═0，得y═4，则A（0，4）；
求直线y＝x+与x轴的交点 令y═0，得x═ -1，则C（-1，0）；
求直线y＝－x+4与直线y＝x+的交点 由得，则B（，2）。
。依托坐标轴进行面积的组合计算是解决较为复杂图形的重要手段。
7．实际应用问题的建模
例9．某学校需刻录一批教学用的VCD光盘，电脑公司刻录每张需9元（包括空白VCD光盘费）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白VCD光盘费）．问刻录这批VCD光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？
解答：设学校需刻录x张光盘，到电脑公司刻录费用为y1元，学校自刻费用为y2元，
根据题意得：　y1＝9x，y2＝120＋4x．
当y1>y2时，即9x>120+4x，所以x>24，即当要刻光盘多于24张时，自刻费用省；
当y1＝y2时，即9x=120+4x，所以x=24，即当要刻光盘等于24张时，费用一样；
当y1<y2时，即9x<120+4x，所以x<24，即当要刻光盘少于24张时，到电脑公司刻录费用省．
点评：解决此类“方案比较”问题通常是先建立函数关系式“建立数学模型”，然后用方程或不等式求解。当然这类题目有时还会用到“分类讨论思想”．