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第三章 交变电流
第2节 交变电流的描述
【核心素养目标】
物理观念
知道交变电流的周期、频率的概念，掌握T、f、ω之间的关系.
科学思维
理解交变电流的峰值、有效值的概念，会根据电流的热效应计算电流的有效值.
科学探究
理解正弦式交变电流的公式和图像．
科学态度与责任
能利用交变电流的规律解决生活生产中的问题
知识点一 周期和频率
【情境导入】
如图为我国照明电路的u－t图像．
(1)计算其周期和频率，每秒电流改变多少次方向？
(2)交变电流的周期和频率跟发电机转子的角速度ω或转速n有什么关系？试写出其关系式．
答案 (1)我国照明电路的周期为0.02 s，频率为50 Hz，每秒电流方向改变100次．
(2)交变电流的周期和频率跟发电机转子的角速度ω或转速n有关，ω(n)越大，周期越短，频率越高，其关系为T＝，ω＝＝2πf＝2πn.
【知识梳理】
1．周期(T)：
交变电流完成一次周期性变化所需的时间．
2．频率(f)：
交变电流完成周期性变化的次数与所用时间之比叫作频率，数值等于交变电流在单位时间内完成周期性变化的次数．
3．周期和频率的关系：T＝或f＝.
4．角速度与周期、频率的关系：ω＝＝2πf.
【典例精析】
例1． (多选)矩形金属线圈共10匝，绕垂直于磁场方向的轴在匀强磁场中匀速转动，线圈中产生的感应电动势e随时间t变化的情况如图所示．下列说法正确的是( )
A．此交变电流的频率为0.2 Hz
B．1 s内电流方向变化10次
C．t＝0.1 s时，线圈平面与磁场方向平行
D．1 s内线圈转5圈
【答案】 BD
【解析】
由题图可知T＝0.2 s，故f＝＝ Hz＝5 Hz，即1 s内完成5个周期，线圈转5圈，每转1圈电流方向改变2次，则1 s内电流方向变化10次，故A错误，B、D正确；在t＝0.1 s时，e＝0，所以线圈平面与磁场方向垂直，故C错误．
知识点二 峰值和有效值
【情境导入】
1.如图是通过一个R＝1 Ω的电阻的电流i随时间t变化的图像．
(1)试计算0～1 s内电阻R中产生的热量．
(2)如果有一个大小、方向都不变的恒定电流通过这个电阻R，也能在1 s内产生同样的热量，这个电流是多大？
答案 (1)Q＝I12Rt1＋I22Rt2＝42×1×0.5 J＋22×1×0.5 J＝10 J.
(2)根据交变电流有效值的定义可得：I2Rt＝Q，解得I＝ A.
2．某交流电压的瞬时值表达式u＝6sin (100πt) V，把标有“6 V 2 W”的小灯泡接在此电源上会不会被烧坏？把标有6 V的电容器接在此电源上会不会被击穿？
答案 小灯泡不会被烧坏．交流电压的瞬时值表达式u＝6sin (100πt) V中6 V是最大值，其有效值为6 V，而标有“6 V 2 W”的小灯泡中的6 V是有效值，所以小灯泡不会被烧坏．电容器所能承受的电压的最大值为6 V，小于交流电压的最大值，电容器会被击穿．
【知识梳理】
1．峰值：交变电流的电压、电流能达到的最大数值叫峰值．电容器所能承受的电压要高于交流电压的峰值，否则电容器就可能被击穿．
2．有效值：让交变电流与恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在交变电流的一个周期内它们产生的热量相等，则此恒定电流的电流与电压叫作交变电流的有效值．
3．正弦式交变电流的峰值与有效值之间的关系
E＝＝0.707Em，U＝＝0.707Um，I＝＝0.707Im
【重难诠释】
1．峰值：交变电流的电压、电流能达到的最大数值叫峰值．
(1)若将交流电接入纯电阻电路中，则电路中的电流及外电阻两端的电压的最大值分别为Im＝，Um＝ImR.
(2)电容器耐压值要高于交流电压的峰值才不会被击穿．
2．有效值：确定交变电流有效值的依据是电流的热效应．
让交变电流与恒定电流分别通过大小相同的电阻，如果在交变电流的一个周期内它们产生的热量相等，则此恒定电流的电流和电压叫作交变电流的有效值．
(1)在正弦式交变电流中，最大值与有效值之间的关系为：E＝＝0.707Em，U＝＝0.707Um，I＝＝0.707Im.
(2)当电流是非正弦式交变电流时，必须根据有效值的定义求解．先计算交变电流在一个周期内产生的热量Q，再将热量Q用相应的物理量的有效值表示，即Q＝I2RT或Q＝T，最后代入数据求解有效值．
说明 (1)E＝、I＝、U＝只适用于正弦式交变电流，对于按其他规律变化的交变电流，上述关系式一般不再适用．
(2)对于非正弦式交变电流有效值的计算，时间一般选取一个周期．
(3)凡涉及能量、电功以及电功率等物理量时均用有效值，在确定保险丝的熔断电流时也用有效值．
【典例精析】
例2．如图所示为一交流电压随时间变化的图像，每个周期内，前三分之一周期电压按正弦规律变化，后三分之二周期电压恒定．根据图中数据可得，此交流电压的有效值为( )
A．7.5 V B．8 V C．3 V D．2 V
【答案】 D
【解析】
由题图可知，在0～0.01 s内是正弦式交变电压，则电压的有效值等于3 V，在0.01～0.03 s内是恒定电压，则有效值等于9 V，由电流的热效应可得×＋×T＝T，解得U＝2 V，选项D正确．
知识点三 正弦式交变流的公式和图像
【知识梳理】
1．正弦式交变电流的公式和图像可以详细描述交变电流的情况．若线圈通过中性面时开始计时，交变电流的图像是正弦曲线．
2．若已知电压、电流最大值分别是Um、Im，周期为T，则正弦式交变电流电压、电流表达式分别为u＝Umsin t，i＝Imsin t.
3．正弦式交变电压的图像如图所示
【典例精析】
例3．图甲为一小型发电机的示意图，发电机线圈内阻为1 Ω，灯泡L的电阻为9 Ω，电压表为理想交流电压表．发电机产生的电动势e随时间t按图乙的正弦规律变化，则( )
A．t＝0.01 s时，穿过线圈的磁通量为零
B．线圈转动的角速度为50 rad/s
C．电压表的示数为9 V
D．灯泡L的电功率为10 W
【答案】C
【解析】
由题图乙可以看出，t＝0.01 s时电动势为零，所以此时穿过线圈的磁通量最大，故A错误；由题图乙可知，周期为0.02 s，则ω＝＝ rad/s＝100π rad/s，故B错误；电动势的有效值为E＝ V＝10 V，由闭合电路欧姆定律得电压表示数：U＝＝ V＝9 V，故C正确；灯泡L的电功率为P＝＝9 W，故D错误．
针对训练
一、单选题
1．如图所示，矩形线圈面积为S，匝数为N，线圈电阻为r，线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中绕垂直于磁场方向的OO′轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R，电压表、电流表均为理想电表。在线圈由图示位置转过90°的过程中，下列判断不正确的是( )
A．电压表的示数为
B．通过电阻R的电荷量为
C．电阻R所产生的焦耳热为
D．产生的电流为
【答案】B
【解析】A．线圈在磁场中转动，产生的感应电动势的最大值为
可得电动势的有效值为
电压表测量的是路端电压，电压表的示数为
A正确；
B．根据法拉第电磁感应定律可知，平均感应电动势为
根据闭合电路欧姆定律可知
根据电荷量定义可知
联立解得通过电阻的电荷量为
B错误；
C．电阻R产生的焦耳热为
C正确；
D．线圈转动产生的感应电动势的瞬时值表达式为
当线圈由题图所示位置转过90°时产生的感应电动势为
根据闭合电路欧姆定律可知，电流为
D正确。
本题选错误的，故选B。
2．如图甲所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一匝数为n、面积为S、总电阻为r的矩形线圈abcd绕轴OO′做角速度为ω的匀速转动，矩形线圈在转动中可以保持和外电路电阻R形成闭合电路，回路中接有一理想交流电流表，图乙是线圈转动过程中产生的感应电动势e随时间t变化的图像，下列说法中正确的是（ ）
A．从t1到t3这段时间穿过线圈的磁通量变化量为2nBS
B．从t3到t4这段时间通过电阻R的电荷量为
C．t3时刻穿过线圈的磁通量变化率为nBSω
D．电流表的示数为
【答案】D
【解析】A．由题图乙可知，t1和t3这两个时刻穿过线圈的磁通量大小均为0，故t1到t3这段时间穿过线圈的磁通量变化量为0，故A错误；
B．从t3到t4这段时间穿过线圈的磁通量的变化量为BS，则平均感应电动势为
通过电阻R的电荷量为
故B错误；
C．t3时刻线圈产生的感应电动势为
由法拉第电磁感应定律可得
则穿过线圈的磁通量变化率为
故C错误；
D．电流表的示数为电流的有效值，则有
故D正确。
故选D。
3如图甲所示，标有“220V，40W”的灯泡和标有“20μF，300V”的电容器并联到交流电源上，为理想交流电压表，交流电源的输出电压如图乙所示，下列判断正确的是（ ）
A．断开开关，时刻，的示数为零
B．断开开关时灯泡恰好正常发光
C．开关闭合时电容器不可能被击穿
D．断开开关，的示数保持220V不变
【答案】B
【解析】AD．的示数应是电压的有效值220V，故选项AD错误；
B．电源输出电压的有效值恰好等于灯泡的额定电压，灯泡正常发光，选项B正确；
C．电压的峰值
大于电容器的额定电压，故开关闭合时电容器被击穿，选项C错误。
故选B。
4．小型交流发电机中，矩形金属线圈在匀强磁场中匀速转动，产生的感应电动势与时间成正弦函数关系，如图所示，此线圈与一个阻值为10Ω的电阻构成闭合电路，不计电路的其他电阻，下列说法正确的是（ ）
A．感应电流的有效值为
B．该交流电的频率为50Hz
C．若将该交流电接在阻值R＝100Ω的电阻两端，则电阻消耗的功率是50W
D．该感应电动势的瞬时值的表达式e＝100sin （25πt）V
【答案】C
【解析】A．由题图可知，该感应电动势的最大值为100 V，则有效值为
则感应电流的有效值为
故A错误；
B．该交流电的周期为
则频率为
故B错误；
C．若将该交流电接在阻值R＝100 Ω的电阻两端，则电阻消耗的功率是
故C正确；
D．已知
则该感应电动势的瞬时值的表达式
故D错误。
故选C。
5．一矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动时，产生正弦式交变电流，电动势随时间的变化规律如图线①所示。仅调整线圈转速，电动势随时间的变化规律如图线②所示，则图线②电动势瞬时值的表达式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】感应电动势最大值
转速调整前后，相同，与成正比
由图可知
由可得
故
线圈从中性面开始转动计时，所以图线②电动势的瞬时值表达式
故选B。
6．如图所示，矩形线圈面积为S，匝数为N，线圈电阻为r，线圈在磁感应强度大小为B的匀强磁场中绕垂直于磁场方向的OO'轴以角速度ω匀速转动，外电路电阻为R。在线圈由图示位置转过90°的过程中，下列判断正确的是（ ）
A．电压表的读数为
B．通过电阻的电荷量为
C．电阻所产生的焦耳热为
D．当线圈由图示位置转过60°时电路中电流的大小为
【答案】C
【解析】A．线圈在磁场中转动，产生正弦式交流电，其电动势的最大值为
电动势的有效值
电压表的读数等于交流电源的路端电压，且为有效值，则
故A错误；
B．通过电阻的电荷量
故B错误；
C．电阻产生的焦耳热为
故C正确；
D．当线圈由图示位置转过60°时，电动势的瞬时值为
故D错误。
故选C。
7．如图所示，单匝矩形线圈ab边长为20cm，bc边长为10cm，绕垂直于磁场方向的轴OO′匀速转动，转速为，若磁感应强度为0.1 T，线圈电阻为1Ω，从中性面处开始计时，则（ ）
A．转动过程中，线圈中磁通量的变化率恒定
B．1s内线圈中电流方向改变100次
C．线圈中感应电流的瞬时值表达式为
D．线圈消耗的电功率为
【答案】B
【解析】A．线圈从中性面开始匀速转动产生正弦交流电，感应电动势即磁通量的变化率按正弦规律变化，故A错误；
B．线圈的转速，即每秒50个周期，每个周期电流方向改变2次，故1s内线圈中电流方向改变100次，故B正确；
C．线圈转动的角速度
感应电流的最大值
故线圈中感应电流的瞬时值表达式为
故C错误；
D．线圈中的电流
故线圈消耗的电功率
故D错误。
故选B。
8．已知某电阻元件在正常工作时，通过它的电流按如图所示的规律变化，其中时间内为正弦交变电流的一部分，将一个理想多用电表（已调至交变电流挡）与这个电阻元件串联，则多用电表的读数为（ ）
A．4 A B．4.12 A
C．4.36 A D．7.07 A
【答案】B
【解析】在时间内，正弦交变电流的有效值为；在时间内，电流为0；在时间内，直流电的电流为A。根据交变电流有效值的定义可知，在单个周期内此交变电流的有效值I产生的焦耳热与该周期内不同电流值在对应的各段时间里产生的焦耳热的关系满足
解得
故选B。
9．如图所示，单匝矩形闭合导线框abcd全部处于磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场中，线框面积为S，电阻为R，线框绕与cd边重合的竖直固定转轴以角速度ω从中性面开始匀速转动，下列说法正确的是( )
A．转过60°时，线框中的电流方向为abcda
B．线框中感应电流的有效值为
C．线框转一周的过程中，产生的热量为
D．从中性面开始转过180°的过程中，通过导线横截面的电荷量为
【答案】B
【解析】A．转过60°时，线框中的电流方向为顺时针方向，故A错误；
B．线圈转动过程中产生电动势的有效值为
所以电流的有效值为
故B正确；
C．产生的热量
故C错误；
D．从中性面开始转过180°的过程中，通过导线横截面积的电荷量为
故D错误。
故选B。
二、多选题
10．如图所示，边长为L的正方形单匝线圈abcd，电阻为r，外电路的电阻为R，ab的中点和cd的中点的连线恰好位于匀强磁场的边界线OO′上，磁场的磁感应强度为B，若线圈从图示位置开始以角速度ω绕OO′轴匀速转动，则以下判断正确的是（ ）
A．图示位置线圈中的感应电动势最大，为Em=BL2ω
B．从图示位置开始计时，闭合电路中感应电动势的瞬时值表达式为e=BL2ωsinωt
C．线圈从图示位置起转过180°的过程中，流过电阻R的电荷量为q=
D．线圈转动一周的过程中，电阻R上产生的热量为Q=
【答案】BD
【解析】A．题图位置线圈没有任何一边切割磁感线，感应电动势为零，故A错误；
B．若线圈从题图位置开始转动，闭合电路中感应电动势的瞬时值表达式为
故B正确；
C．线圈从题图位置转过180°的过程中，流过电阻R的电荷量为
故C错误；
D．线圈转动一周的过程中，电阻R上产生的热量为
故D正确。
故选BD。
11．如图所示，固定平行的长直导轨M、N放置于匀强磁场中，导轨间距L=1m，磁感应强度B=5T，方向垂直于导轨平面向下，导体棒与导轨接触良好，驱动导体棒使其在磁场区域运动，速度随时间的变化规律为v=2sin10πt（m/s），导轨与阻值为R=9Ω的外电阻相连，已知导体棒的电阻为r=1Ω，不计导轨与电流表的电阻，则下列说法正确的是（ ）
A．导体棒产生的感应电动势的有效值为10V
B．导体棒做切割磁感线运动产生频率为5Hz的正弦交流电
C．交流电流表的示数为0.5A
D．0~0.1s时间内R产生的热量为0.45J
【答案】BD
【解析】A．根据题意，速度变化规律为v=2sin10πt（m/s），则根据感应电动势计算公式可得产生的电动势为
可知产生的是正弦交流电，其感应电动势有效值为
故A错误；
B．根据选项A的分析得到的感应电动势的表达式，可知导体棒做切割磁感线运动产生的正弦交流电频率为
故B正确；
C．根据选项A的分析中得到的电动势有效值与欧姆定律，可得电流表示数为
故C错误；
D．根据焦耳热公式可得在0~0.1s时间内电阻R上产生的热量为
故D正确。
故选BD。
12．矩形线圈的匝数为50，在匀强磁场中绕垂直于磁场的轴匀速转动时，穿过线圈的磁通量随时间的变化规律如图所示。下列结论正确的是（ ）
A．在t=0.1s和t=0.3s时，电动势最大
B．在t=0.2s和t=0.4s时，电动势改变方向
C．电动势的最大值是50πV
D．在t=0.4s时，磁通量变化率最大，其值为πWb/s
【答案】CD
【解析】AB．在t=0.1s和t=0.3s时，磁通量最大，此时电动势为零，且电动势改变方向，选项A、B错误；
C．电动势的最大值是
Em=nBSω=nΦm=50×0.2×V=50πV
选项C正确；
D．在t=0.4s时，磁通量为零，但是磁通量变化率最大，其值为
=BSω=Φm=0.2×Wb/s=πWb/s
选项D正确。
故选CD。
13．如图所示，在匀强磁场中匀速转动的单匝矩形线圈的周期为T，转轴OO′垂直于磁场方向，线圈电阻为2Ω，从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，线圈转过60°时的感应电流为1A，那么( )
A．任意时刻线圈中的电动势为e＝2cost(V)
B．线圈中电流的有效值为2A
C．线圈消耗的电功率为4W
D．任意时刻穿过线圈的磁通量为
【答案】CD
【解析】A．任意时刻线圈中的电动势为
线圈转过时，感应电流为
解得
所以任意时刻线圈中的电动势为
故A错误；
B．线圈中电流的有效值为
故B错误；
C．线圈消耗的电功率为
故C正确；
D．感应电动势的最大值为
解得
任意时刻穿过线圈的磁通量为
故D正确。
故选CD。
14．如图所示，磁感应强度大小为B的匀强磁场中，匝数为n、边长为L的正方形线圈绕垂直于磁场的轴OO′匀速转动，其角速度为ω，线圈总电阻为r。下列说法正确的是（ ）
A．线圈转动过程中的最大电流为
B．线圈转动一周产生的热量为
C．当线圈与中性面的夹角为30°时，线圈产生的瞬时电动势为nBL2ω
D．线圈从中性面开始，转动60°的过程中，通过导线横截面的电荷量为Bω2
【答案】AB
【解析】A．线圈转动过程中，最大感应电动势
Em= nBL2ω
因此最大电流
A正确；
B．线圈转动一周产生的热量
B正确；
C．当线圈与中性面的夹角为30°时，线圈产生的瞬时电动势为
C错误；
D．线圈从中性面开始，转动60°的过程中，平均电动势
通过导线横截面的电荷量为
D错误。
故选AB。
三、解答题
15．如图所示，一矩形线圈在匀强磁场中绕OO′轴匀速转动，磁场方向与转轴垂直。线圈的长l1=0.50m，宽l2=0.40m，匝数N=20匝，线圈总电阻r=0.10Ω。磁场的磁感应强度B=0.10T。线圈绕OO′轴以ω=50rad/s的角速度匀速转动。线圈两端外接一个R=9.9Ω的电阻和一块内阻不计的交流电流表，求：
（1）线圈中产生的感应电动势的最大值；
（2）电流表的读数；
（3）线圈转过一周的过程中，整个回路中产生的焦耳热。
【答案】（1）20V；（2）1.4A；（3）2.5J
【解析】（1）线圈中感应电动势的最大值为
（2）根据闭合电路欧姆定理得
电流表的读数为交变电流的有效值
联立解得
（3）线圈转动一周产生的热量为
解得
16．图（a）是交流发电机的原理图。一矩形线圈放置在匀强磁场中，并绕过、中点的轴以角速度逆时针匀速转动。若以线圈平面与磁场夹角时[图（b）]为计时起点，并规定当电流自a流向b时电流方向为正，得到的电流随“角度”变化的图像如图（c）所示（注意：图中横坐标不是时间，而是）。
（1）将一个小电容接入正弦交流电路中，它的耐压值必须多大？
（2）写出图（c）所示的电流的表达式。
【答案】（1）大于等于；（2）
【解析】（1）电容器的耐压值是能够承受的电压的最大值，正弦交流电的电压是，即有效值为
相应的峰值为
电容器工作过程中所承受的电压最大值为，因此它的耐压值必须大于等于。
（2）结合题意和图（c）可以看出，从开始计时（）起，必须再经过，才能到达中性面，可知电流的表达式为
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