北师大版高中数学导学案《正弦函数的图象和性质》.doc

§5 正弦函数的图象和性质(1)(2)(3)

班级： 姓名 ：
学习目标
1．理解正弦函数，余弦函数图象的画法，借助图象的变换，了解函数间的关系；
2．体会“5点法”作图的优点．会作一些简单的函数图象
3 理解函数周期的含义，会用周期函数的定义证明周期函数；
4 掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法
5. 理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、奇偶性的意义；
6. 会求简单函数的定义域、值域和单调区间；

学习重点
1． 正弦函数，余弦函数图象的画法 。
2． 周期函数的定义；
3． 正、余弦函数的周期性 ；
4． 函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法
5． 正、余弦函数的性质

学习难点
1． 正弦函数的画法
2． 函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期推导及求法
3． 正、余弦函数性质的理解与应用

学习导航
导学案
一．预习引导 ：
问题1：正弦函数，余弦函数定义？任意给定一个实数，都有唯一确定的与之相对应。
,______________________________________
,______________________________________

问题2画函数图象基本步骤？
1._______________ 2._________________3.________________

问题3：正弦线的作法及含义 。
____________________________________________________

二．新课讲解：
探究1：想一想，如何画出，的图象？
借助正弦函数线，和余弦函数线，可以较准确的画出正弦函数余弦函数的图象：
第一步：列表。将单位圆十二等份，
___________________________________________________________________。

第二步：描点。将轴这段十二等份
____________________________________________________________________.

第三步：连线。________________________________________________________。

探究2：当时，你能作出正弦函数，余弦函数的图象吗？

探究3:仔细观察正弦函数图象，，图象上有几个关键点？
_____________________________________________________________.
“五点法”画正弦函数的简图

探究4： 观察正弦曲线余弦曲线的图象
1．周期性
由sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx (k∈Z)知：
正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
注意：
1°周期函数xÎ定义域M，则必有x+TÎM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
2°“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)¹f (x0)）
3°T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,…,-2p,-4p,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π
探究5：证明：1.若函数满足，则是周期函数。

探究6: 求函数，的最小正周期？

阅读课本 P36页，理解及周期的推导过程，并写出它们周期的计算公式________________________________________________________.
思考：如果的周期是T，那么的周期是是否成立？

探究7:
(1)定义域：
正弦函数y＝sinx，的定义域是_________________.
余弦函数y＝cosx的定义域是___________________。
(2)值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即
－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］
其中正弦函数y=sinx,x∈R
①当且仅当_________________时，取得最大值1
②当且仅当_________________时，取得最小值－1
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当________________时，取得最大值1
②当且仅当________________时，取得最小值－1
(3)周期性
由sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx (k∈Z)知：
正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
注意：
1°周期函数xÎ定义域M，则必有x+TÎM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
2°“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)¹f (x0)）
3°T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,…,-2p,-4p,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π
(4)奇偶性
正弦函数是____________________
余弦函数是____________________
正弦曲线关于________对称,对称中心是__________对称轴是__________
余弦曲线关于________对称, 对称中心是_________对称轴是___________
(5)单调性
从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1
当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1
正弦函数在每一个闭区间___________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间__________________________上都是减函数，其值从1减小到－1
余弦函数在每一个闭区间___________________上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间__________________________上都是减函数，其值从1减小到－1
_

三．典例讲解：
例1作出下列函数的简图：
1． \

2.

例2．求下列函数的周期：
1.

2．

例3求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么
(1)y＝cosx＋1，x∈R；
(2)y＝sin2x，x∈R

例4利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小；
（1） （2）

例5 求函数的单调区间。

练习案
1． 求的的集合，且。

2． 作 出的图象。
3.P36练习1

4. P36练习2

5. P40练习1

6．P40练习3

五．课堂小结
知识：

方法：

六．学习评价
※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
七．课后反思
6