高考数学一轮复习专题12函数模型及其应用教学案理.doc

专题12 函数模型及其应用

1.综合考查函数的性质；
2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；
3.考查函数的最值．

1．几类函数模型及其增长差异
(1)几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b (k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
(2)三种函数模型的性质

y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
2.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：

【疑点清源】
1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
2．解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质．
(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题．
(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题．
(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．

高频考点一、用函数图象刻画变化过程
例1、(1)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)

(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　　)

【感悟提升】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
【变式探究】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　)

答案　D
解析　依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.
高频考点二　已知函数模型的实际问题
例2、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.
(1)求出a、b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
解　(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组得
(2)由(1)知，v＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．
【感悟提升】求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
【变式探究】某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.

答案　19
解析　由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.
高频考点三　构造函数模型的实际问题
例3、某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　)
A．10.5万元 B．11万元
C．43万元 D．43.025万元
答案　C

【变式探究】(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)(　　)
A．1.5%B．1.6%C．1.7%D．1.8%
(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)
A．略有盈利
B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损
D．无法判断盈亏情况
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%.
(2)设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0. 99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．
【举一反三】某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km.
答案　9

【变式探究】 (1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过小时才能开车．(精确到1小时)
(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为(　　)
A．10B．11C．13D．21
答案　(1)5　(2)A
解析　(1)设经过x小时才能开车．
由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，
∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x最小为5.
(2)设该企业需要更新设备的年数为x，
设备年平均费用为y，
则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，
所以x年的平均费用为y＝
＝x＋＋1.5，
由基本不等式得y＝x＋＋1.5≥2＋1.5
＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号，所以选A.
高频考点四、函数应用问题
例4、已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝
(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
解　(1)当0<x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)
＝－6x2＋384x－40，
当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40)
＝－－16x＋7360.
所以W＝
(2)①当0<x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6104，
所以Wmax＝W(32)＝6104；
②当x>40时，W＝－－16x＋7360，
由于＋16x≥2＝1600，
当且仅当＝16x，
即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，
所以W取最大值为5760.
综合①②知，
当x＝32时，W取得最大值6104万元。
【特别提醒】(1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型．(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
【方法技巧】
1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．
2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．
3．解函数应用题的五个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原；⑤反思．
高频考点五、构建函数模型解决实际问题
例5、(1)(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)
A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年
(2)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
①求k的值及f(x)的表达式；
②隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
(1)解析　设2015年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y＝130(1＋12%)n.
依题意130(1＋12%)n>200，得1.12n>.
两边取对数，得n·lg1.12>lg 2－lg 1.3
∴n>≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．
答案　B
(2)解　①当x＝0时，C＝8，∴k＝40，
∴C(x)＝(0≤x≤10)，
∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10)．

∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.
【方法规律】(1)构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：
①构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．
②构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．
③构建f(x)＝x＋(a>0)模型，常用均值不等式、导数等知识求解．
(2)解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原．
【变式探究】 (1)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
(2)某旅游景点预计2017年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N＋，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝
①写出2017年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；
②试问2017年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？
(1)解析　由已知条件，得192＝eb
又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2
∴e11k＝＝＝，
设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋b＝192 e33k＝192(e11k)3＝192×＝24.
答案　24
(2)解　①当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，
当2≤x≤12，且x∈N＋时，f(x)＝p(x)－p(x－1)
＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x，验证x＝1也满足此式，
所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N＋，且1≤x≤12)．
②第x个月旅游消费总额为
g(x)＝
即g(x)＝
(ⅰ)当1≤x≤6，且x∈N＋时，
g′(x)＝18x2－370x＋1 400，
令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)．
当1≤x<5时，g′(x)>0，
当5<x≤6时，g′(x)<0，
∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3 125(万元)．
(ⅱ)当7≤x≤12，且x∈N＋时，
g(x)＝－480x＋6 400是减函数，
∴当x＝7时，g(x)max＝g(7)＝3 040(万元)．
综上，2017年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．

1．(2016·浙江卷)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________．

2.【2016高考上海理数】已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】（1）．（2）．（3）．
【解析】
（1）由，得，
解得．
（2），，
当时，，经检验，满足题意．
当时，，经检验，满足题意．
当且时，，，．
是原方程的解当且仅当，即；
是原方程的解当且仅当，即．
于是满足题意的．
综上，的取值范围为．
（3）当时，，，
所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意
成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，时，
有最小值，由，得．
故的取值范围为．
3.【2016年高考北京理数】设函数.
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
【答案】，.
【解析】如图，作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知是函数的极小值点，
①当时，，由图象可知的最大值是；
②由图象知当时，有最大值；只有当时，，无最大值，所以所求的取值范围是．

【2015高考天津，理8】已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】由得，
所以，
即
,所以恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.

【2015高考浙江，理10】已知函数，则 ，的最小值是 ．
【答案】，.

【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时。
【答案】24
【解析】
由题意得：，所以时，.
【2015高考上海，理10】设为，的反函数，则的最大值为 ．
【答案】4
【解析】由题意得：在上单调递增，值域为，所以在上单调递增，因此在上单调递增，其最大值为
【2015高考北京，理14】设函数
①若，则的最小值为 ；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】(1)1，(2)或.

②若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当时，，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或.
【2015高考浙江，理18】已知函数，记是在区间上的最大值.
（1） 证明：当时，；
（2）当，满足，求的最大值.
【答案】（1）详见解析；（2）3.
【解析】
（1）由，得对称轴为直线，由，得
，故在上单调，∴，当时，由
，得，即，当时，由
，得，即，综上，当时，
；（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为3.
（2014·湖南卷）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)
A. B.
C. D.－1
【答案】D　
【解析】设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝－1.
（2014·陕西卷）如图1­2，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 (　　)

图1­2
A．y＝x3－x B．y＝x3－x
C．y＝x3－x D．y＝－x3＋x
【答案】A　
【解析】设该三次函数的解析式为y＝ax3＋bx2＋cx＋d.因为函数的图像经过点(0，0)，所以d＝0，所以y＝ax3＋bx2＋cx.又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b＝0，所以y＝ax3＋cx，代入点(－5，2)得－125a－5c＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x轴，y′＝3ax2＋c，得当x＝－5时，y′＝75a＋c＝0.联立解得故该三次函数的解析式为y＝x3－x.
（2013·陕西卷） 设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有(　　)
A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]
C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]
【答案】D　
【解析】可取特值x＝3.5，则[－x]＝[－3.5]＝－4，－[x]＝－[3.5]＝－3，故A错．[2x]＝[7]＝7，2[x]＝2[3.5]＝6，故B错．再取y＝3.8，则[x＋y]＝[7.3]＝7，而[3.5]＋[3.8]＝3＋3＝6，故C错．只有D正确．
（2013·重庆卷）若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
【答案】A　
【解析】因为f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，所以f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，所以函数的两个零点分别在(a，b)和(b，c)内，故选A.

1．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是(　　)
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
解析：选D　设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.
2．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件(　　)
A．100元 B．110元
C．150元 D．190元
解析：选D　设售价提高x元，利润为y元，则依题意得y＝(1 000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20 000＝－5(x－90)2＋60 500.故当x＝90时，ymax＝60 500，此时售价为每件190元．
3．设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是(　　)
A．15 B．16
C．17 D．18
解析：选B　由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，
则由
解得0<x≤.
因为x∈N*，所以x的最大值为16.
4．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)(　　)
A．1.5% B．1.6%
C．1.7% D．1.8%

5．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有，则m的值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选D　根据题意知＝e5n，
令a＝aent，即＝ent，
因为＝e5n，故＝e15n，
比较知t＝15，m＝15－5＝10.
6．将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为(　　)
A．5 B．8 C．9 D．10
解析　∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，
可得n＝ln，∴f(t)＝a·，
因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，
f(k)＝a·＝a，即＝，
∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5.
答案　A
7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)．
解析　设过滤n次才能达到市场要求，
则2%≤0.1%，即≤，
所以nlg≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.
答案　8
8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是______．

9.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．

(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)作PQ⊥AF于Q，
所以PQ＝(8－y)米，
EQ＝(x－4)米．
又△EPQ∽△EDF，
所以＝，即＝.
所以y＝－x＋10，
定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，
则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，
S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增．
所以当x＝8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．
10．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)．
则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
即每年砍伐面积的百分比为1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，
即＝，所以＝，
解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，最多还能砍伐n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
所以≥，
即≤，
解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
11．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a、b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？

12．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图3记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)

A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
解析　根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得
解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．
答案　B
13．设函数f(x)＝(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；
(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
解　(1)如图所示．