2018.1石景山区高三数学理期末试卷.doc

石景山区20172018学年第一学期高三期末试卷数学（理）本试卷共6页，150分考试时长120分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后上交答题卡第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合，,则（ ）A BC D2设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3用计算机在之间随机选取一个数，则事件“”发生的概率为（ ） A B C D4以角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点，则（ ） A B. C D5“”是“方程表示双曲线”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6给定函数，其中在区间上单调递减的函数序号是（ ）A B C D7九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（ ） A. 3立方丈 B. 5立方丈 C. 6立方丈 D. 12立方丈8 小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点出发，沿箭头方向经过点跑到点，共用时，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为，他与教练间的距离为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）A点 B点 C点 D点第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9若，则的大小关系为_.10执行下面的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值是_.11.若实数满足则的取值范围为_.12.设常数，若的二项展开式中项的系数为，则_.13在中，为上异于，的任一点，为的中点，若 ，则_14若集合且下列四个关系： ； 有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组_,符合条件的全部有序数组的个数是_.三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题共13分）如图，在中，为边上一点，（）若，求的大小；（）若，求的面积ABDC图2图1BDAC16（本小题共13分）摩拜单车和ofo小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利.已知某共享单车的收费标准是：每车使用不超过小时（包含小时）是免费的，超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算，例如：骑行小时收费为元）.现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次.设甲、乙不超过小时还车的概率分别为，；小时以上且不超过小时还车的概率分别为，；两人用车时间都不会超过小时.（）求甲乙两人所付的车费相同的概率；（）设甲乙两人所付的车费之和为随机变量，求的分布列及数学期望.17（本小题共14分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，为中点（）求证：； （）求二面角的余弦值；（）在棱上是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由18（本小题共13分）已知函数（）若 ,确定函数的零点；（）若，证明：函数是上的减函数；（）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值.19（本小题共14分）已知椭圆离心率等于，、是椭圆上的两点.（）求椭圆的方程；（）是椭圆上位于直线两侧的动点.当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.20（本小题共13分）如果项有穷数列满足，即，则称有穷数列为“对称数列”.例如，由组合数组成的数列就是“对称数列”.()设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等比数列，且.依次写出数列的每一项；（）设数列是项数为（且）的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和；(1)若是单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值？（2）若，且，求的最小值.石景山区20172018学年第一学期高三期末试卷数学（理）答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案AADBA CBD题号91011121314答案(3,2,1,4); 6二、填空题共6小题，每小题5分，共30分(第14题第一空3分，(3,2,1,4), (2,3,1,4) (3,1,2,4) (3,1,4,2) (4,1,3,2) (2,1,4,3)任选一个即可，第二空2分)三、解答题共6小题，共80分15（本小题共13分）解：（）设，则， 2分 所以 5分 因为， 所以， 即 7分ABDCH（）过点作交的延长线于点，因为，所以，所以； 11分所以 13分16（本小题共13分）解：（）甲乙两人用车时间超过2小时的概率分别为：， 1分甲乙两人所付车费用相同的概率4分（）随机变量的所有取值为. 5分 10分的分布列为:01234 11分数学期望. 13分17（本小题共14分）解：（）证明：设与的交点为，连接.因为为矩形，所以为的中点，在中，由已知为中点，所以， 2分又平面，平面， 3分所以平面. 4分（）解：取中点，连接. 因为是等腰三角形，为的中点，所以，又因为平面平面，因为平面，所以平面 5分取中点，连接，由题设知四边形为矩形，所以，所以如图建立空间直角坐标系，则，.，. 6分AxDCEPyzOBMFG设平面的法向量为，则即令，则，所以. 平面的法向量为，设，的夹角为，所以. 9分由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 10分（）设是棱上一点，则存在使得因此点， 12分由，即因为，所以在棱上存在点，使得，此时 14分18（本小题共13分）解：（）当 时，则 1分定义域是，令 2分是所求函数的零点. 3分（）当时，函数的定义域是， 4分所以，5分令，只需证：时， 6分又，故在上为减函数， 7分所以， 8分所以，函数是上的减函数 9分（）由题意知，且， 10分所以，即有， 11分令，则，故是上的增函数，又，因此是的唯一零点，即方程有唯一实根，所以 13分19（本小题共14分）解：（）因为，又，所以 2分设椭圆方程为,代入,得 4分椭圆方程为 5分（）当时，斜率之和为 6分设斜率为，则斜率为 7分设方程为，与椭圆联立得代入化简得：，同理，即直线的斜率为定值. 14分20（本小题共13分）解:() 因为数列是项数为7的“对称数列”，所以 1分又因为成等比数列，其公比，所以数列的7项依次为：9，3，1，1，3，9 . 3分（）()由是单调递增数列且数列是“对称数列”且满足可知是公差为2的等差数列，是公差为的等差数列 5分 7分所以当时，取得最大值. 8分（）因为即.所以 即.于是10分因为数列是“对称数列”所以因为即解得或所以 12分当是公差为的等差数列时满足，且，此时，所以的最小值为. 13分【注：若有其它解法，请酌情给分】