20181高三数学理期末试卷石景山区含答案.docx

石景山区20172018学年第一学期高三期末试卷 数学（理） 本试卷共6页，150分考试时长120分钟请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后上交答题卡 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合 ， ,则 （ ） A B C D 2设 是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3用计算机在 之间随机选取一个数 ，则事件“ ”发生的概率为（ ） A B C D4以角 的顶点为坐标原点，始边为 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角 终边过点 ，则 （ ） A B. C D5“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6给定函数 ， ， ， ，其中在区间 上单调递减的函数序号是（ ） A B C D7九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（ ） A. 3立方丈 B. 5立方丈 C. 6立方丈 D. 12立方丈8 小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点 出发，沿箭头方向经过点 跑到点 ，共用时 ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为 ，他与教练间的距离为 ，表示 与 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ） A点 B点 C点 D点第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 9若 ， ， ，则 的大小关系为_. 10执行下面的程序框图，若输入的 的值为 ，则输出的 的值是_. 11.若实数 满足 则 的取值范围为_.12.设常数 ，若 的二项展开式中 项的系数为 ，则 _.13在 中， 为 上异于 ， 的任一点， 为 的中点，若 ，则 _14若集合 且下列四个关系： ； ； ； 有且只有一个是正确的. 请写出满足上述条件的一个有序数组 _,符合条件的全部有序数组 的个数是_. 三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15（本小题共13分） 如图，在 中， 为边 上一点， ， ， （）若 ，求 的大小； （）若 ，求 的面积16（本小题共13分） 摩拜单车和ofo小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利.已知某共享单车的收费标准是：每车使用不超过 小时（包含 小时）是免费的，超过 小时的部分每小时收费 元（不足 小时的部分按 小时计算，例如：骑行 小时收费为 元）.现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次.设甲、乙不超过 小时还车的概率分别为 ， ； 小时以上且不超过 小时还车的概率分别为 ， ；两人用车时间都不会超过 小时. （）求甲乙两人所付的车费相同的概率； （）设甲乙两人所付的车费之和为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 .17（本小题共14分） 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ， ， ， 为 中点 （）求证： ； （）求二面角 的余弦值； （）在棱 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由18（本小题共13分） 已知函数 （）若 ,确定函数 的零点； （）若 ，证明：函数 是 上的减函数； （）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 的值.19（本小题共14分） 已知椭圆 离心率等于 ， 、 是椭圆上的两点. （）求椭圆 的方程； （） 是椭圆上位于直线 两侧的动点.当 运动时，满足 ，试问直线 的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.20（本小题共13分） 如果 项有穷数列 满足 ， ， ，即 ，则称有穷数列 为“对称数列”.例如，由组合数组成的数列 就是“对称数列”. ()设数列 是项数为7的“对称数列”，其中 成等比数列，且 .依次写出数列 的每一项； （）设数列 是项数为 （ 且 ）的“对称数列”，且满足 ，记 为数列 的前 项和； (1)若 是单调递增数列，且 .当 为何值时， 取得最大值？ （2）若 ，且 ，求 的最小值.石景山区20172018学年第一学期高三期末试卷 数学（理）答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D B A C B D 题号 9 10 11 12 13 14 答案 (3,2,1,4); 6二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 (第14题第一空3分，(3,2,1,4), (2,3,1,4) (3,1,2,4) (3,1,4,2) (4,1,3,2) (2,1,4,3) 任选一个即可，第二空2分) 三、解答题共6小题，共80分 15（本小题共13分） 解：（）设 ， ， 则 ， 2分 所以 5分 因为 ， 所以 ， 即 7分 （）过点 作 交 的延长线于点 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ； 11分 所以 13分16（本小题共13分） 解：（）甲乙两人用车时间超过2小时的概率分别为： ， 1分 甲乙两人所付车费用相同的概率 4分 （）随机变量的所有取值为 . 5分 10分的分布列为: 0 1 2 3 411分 数学期望 . 13分17（本小题共14分） 解：（）证明：设 与 的交点为 ，连接 . 因为 为矩形，所以 为 的中点， 在 中，由已知 为 中点， 所以 ， 2分 又 平面 ， 平面 ， 3分 所以 平面 . 4分 （）解：取 中点 ，连接 . 因为 是等腰三角形， 为 的中点， 所以 ， 又因为平面 平面 ， 因为 平面 ， ， 所以 平面 5分 取 中点 ，连接 ， 由题设知四边形 为矩形， 所以 ， 所以 如图建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， ， ， . ， . 6分 设平面 的法向量为 ， 则 即 令 ，则 ， ， 所以 . 平面 的法向量为 ， 设 ， 的夹角为 ，所以 . 9分 由图可知二面角 为锐角， 所以二面角 的余弦值为 . 10分（）设 是棱 上一点，则存在 使得 因此点 ， ， 12分 由 ，即 因为 ，所以在棱 上存在点 ，使得 ， 此时 14分18（本小题共13分） 解：（）当 时，则 1分 定义域是 ，令 2分 是所求函数的零点. 3分 （）当 时，函数 的定义域是 ， 4分 所以 ，5分 令 ，只需证： 时， 6分 又 ， 故 在 上为减函数， 7分 所以 ， 8分 所以 ，函数 是 上的减函数 9分 （）由题意知， ，且 ， 10分 所以 ，即有 ， 11分 令 ， ，则 ， 故 是 上的增函数，又 ，因此 是 的唯一零点， 即方程 有唯一实根 ，所以 13分19（本小题共14分） 解：（）因为 ，又 ， 所以 2分 设椭圆方程为 ,代入 ,得 4分 椭圆方程为 5分 （）当 时， 斜率之和为 6分 设 斜率为 ，则 斜率为 7分 设 方程为 ，与椭圆联立得 代入化简得： ， 同理 ， ， 即直线 的斜率为定值 . 14分20（本小题共13分） 解:() 因为数列 是项数为7的“对称数列”，所以 1分 又因为 成等比数列，其公比 ， 所以数列 的7项依次为：9，3，1， ，1，3，9 . 3分 （）()由 是单调递增数列且数列 是“对称数列”且满足 可知 是公差为2的等差数列， 是公差为 的等差数列 5分 7分 所以当 时， 取得最大值. 8分（）因为 即 . 所以 即 . 于是 10分 因为数列 是“对称数列” 所以 因为 即 解得 或 所以 12分 当 是公差为 的等差数列时满足 ，且 ， 此时 ，所以 的最小值为 . 13分【注：若有其它解法，请酌情给分】20 20