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函数与导数专题复习

【知识网络】
集合
映射
概念
元素、集合之间的关系
运算：交、并、补
数轴、Venn图、函数图象
性质
确定性、互异性、无序性
定义
表示
解析法
列表法
三要素
图象法
定义域
对应关系

值域
性质
奇偶性
周期性
对称性
单调性
定义域关于原点对称，在x＝0处有定义的奇函数→f (0)＝0
1、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同；2、证明单调性：作差（商）、导数法；3、复合函数的单调性
最值
二次函数、基本不等式、打钩（耐克）函数、三角函数有界性、数形结合、导数.
幂函数
对数函数
三角函数
基本初等函数
抽象函数
复合函数
赋值法、典型的函数
函数与方程
二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
零点
函数的应用
建立函数模型
使解析式有意义
导数
函数
基本初等函数的导数
导数的概念
导数的运算法则
导数的应用
表示方法
换元法求解析式
分段函数
几何意义、物理意义
单调性
导数的正负与单调性的关系
生活中的优化问题
定积分与微积分
定积分与图形的计算
注意应用函数的单调性求值域
周期为T的奇函数→f (T)＝f ()＝f (0)＝0
复合函数的单调性：同增异减
三次函数的性质、图象与应用
一次、二次函数、反比例函数
指数函数
图象、性质
和应用
平移变换
对称变换
翻折变换
伸缩变换
图象及其变换
最值
极值

第1课时 客观题中的函数常见题型
【典例分析】
题型一、函数的解析式
例1．（2010年高考陕西卷理科5）已知函数，若=4，则实数=（ ）
（A） （B） (C) 2 (D) 9
题型二、函数的定义域与值域
例2．(2009年江西卷)函数的定义域为（ ）
A．　　　B．　　　C．　　　　D．

例3．（2008年江西卷）若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A．[，3] B．[2，] C．[，] D．[3，]
整理:求函数值域的方法:
(1) 观察法:观察函数特点

(2) 图像法:一元二次函数, 对勾函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数

(3) 分离常数

(4) 换元法

题型三、函数的性质（奇偶性、单调性与周期性）
例4．（2010年高考山东卷理科4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)=
(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3

例5．（2010年高考江西卷理科9）给出下列三个命题：
①函数与是同一函数；
②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；
③若奇函数对定义域内任意都有,则为周期函数．
其中真命题是
A．①② B．①③ C．②③ D．②

题型四、函数图像的应用
例6．（2010年高考山东卷理科11）函数y=2x -的图像大致是

题型五、函数的最值与参数的取值范围
例7．（2010年高考江苏卷试题14）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是_______．

例8．（ 2010年高考全国卷I理科10）已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是（ ）
(A) (B) (C) (D)

题型六、函数方程与函数不等式
例9. (2010年高考重庆市理科15)已知函数满足：，，则_______．

例10．（2010年高考江苏卷试题11）已知函数,则满足不等式的x的范围是_____．

题型七、函数的零点
例11．（2010年高考福建卷理科4）函数的零点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3

题型八、函数的应用
例12．(2010·佛山调研)下列四组函数中，表示同一函数的是 (　　)
A．y＝x－1与y＝ B．y＝与y＝
C．y＝4lg x与y＝2lg x2 D．y＝lg x－2与y＝lg

【跟踪训练1】（2010年高考广东卷理科3）若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则（ ）
A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
C．f（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数

【跟踪训练2】（2009年山东卷）定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )
A.-1 B. 0 C.1 D. 2

【跟踪训练3】（2008年浙江卷）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t=__________．

【跟踪训练4】(2010年高考天津卷理科8)设函数f（x）= 若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 （ ）
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）

【跟踪训练5】(2008·陕西)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)等于 (　　)
A．2 B．3 C．6 D．9

【跟踪训练6】（2009年辽宁卷）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是（ ）
（A）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【跟踪训练11】(2010年高考天津卷理科2)函数的零点所在的一个区间是
（A）（-2，-1） （B）（-1，0） （C）（0，1） （D）（1，2）

第2课时 客观题中的导数常见题型
【典例分析】
题型一、导数的定义与运算
例1. (2009年湖北卷)已知函数则的值为 .

题型二、导数与切线问题
例2. (2010年全国高考宁夏卷）曲线在点（-1，-1）处的切线方程为（ ）
（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2

题型三、函数与导数的图像间的关系
例3．(2009年广东卷)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是
A．在时刻，甲车在乙车前面
B．时刻后，甲车在乙车后面
C．在时刻，两车的位置相同
D．时刻后，乙车在甲车前面

题型四、函数的单调性
例4. (2009年江苏卷)函数的单调减区间为 .

题型五、函数的极值与最值
例5．（2008年广东卷）设a∈R，若函数，x∈R有大于零的极值点，则（ ）
A. B. C. D.

题型六、求参数的取值范围
例6．（2008年江苏卷）对于总有≥0 成立，则= ．

题型七、定积分的计算
例7. (2010年高考湖南卷理科5)等于（ ）
A． B． C． D．

【跟踪训练1】是的导函数，则的值是 .

【跟踪训练2】(1)设函数在处可导，且，则
= .

(2)已知，求= .

【跟踪训练3】(2010年高考全国2卷理数10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则[来
（A）64 （B）32 （C）16 （D）8

【跟踪训练4】（2010年高考辽宁卷理科10）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是（ ）
(A)[0,) (B) (D)

【跟踪训练5】（2008年全国卷I）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）
s
t
O
A．
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．

【跟踪训练6】(2009年天津卷)设函数则
A在区间内均有零点 B在区间内均无零点
C在区间内有零点，在区间内无零点
D在区间内无零点，在区间内有零点w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【跟踪训练7】已知P(x，y)是函数y＝ex＋x图象上的点，则点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为______

【跟踪训练8】 函数的极小值是 .

【跟踪训练9】（2008年湖北卷）若上是减函数，则b的取值范围是 （ ）
A.[-1，+∞） B.（-1，+∞） C.（-∞，-1] D.（-∞，-1）

【跟踪训练10】（2008年宁夏卷）由直线x=,x=2,曲线及x轴所围图形的面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）2ln2

第3课时 解答题中的函数与导数综合题

【典例分析】
一、与导数的定义、几何意义的交汇
【例1】 ( 2006年重庆卷)已知函数f(x)=(x2+bx+c) ex,其中b,cR为常数.
（I）若b2＞4(c -1),讨论函数f(x)的单调性；

二、与不等式的交汇
【例2】(2009年全国卷II)设函数有两个极值点，且．
（I）求的取值范围，并讨论的单调性；

三、与向量的交汇
【例3】 (2005年湖北卷理)已知向量a=(，x+1)，b= (1-x，t) .若函数=a·b在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围.

四、与函数的交汇
【例4】（2011年东城7校联考）已知函数
（１）当时，求函数的单调区间；

【跟踪训练1】（江苏省高三上学期期中考试）函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).
(1)求a、b的值；
(2)方程f(x)=c有三个不同的实数解，求c的取值范围.

【跟踪训练2】(2010年高考湖南卷)已知函数对任意的．
（Ⅰ）证明：当

【跟踪训练5】（2011年东城区期末理18）已知函数．
（Ⅰ）求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若存在（为自然对数的底数，且）使不等式成立，求实数的取值范围．

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【跟踪训练10】（2010年浙江省宁波市高三数学模拟）设， ．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；k *s*5*u
（3）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．

解：（1）当时，，，，，
所以曲线在处的切线方程为；
（2）存在，使得成立，等价于：
，考察，，

递减
极（最）小值
递增

由上表可知：，
，所以满足条件的最大整数；
（3）对任意的，都有成立
等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，
由（2）知，在区间上，的最大值为。
，下证当时，在区间上，函数恒成立。
当且时，，
记，， 。
当，；当，，
所以函数在区间上递减，在区间上递增，
，即，所以当且时，成立，
即对任意，都有．
（3）另解：当时，恒成立，等价于恒成立，记，， ．
记，，由于，
, 所以在上递减，
当时，，时，，
即函数在区间上递增，在区间上递减，
所以，所以．