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三角形中作辅助线的常用方法举例
一、延长已知边构造三角形：
例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B， 求证：AD＝BC
分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，
∵AD⊥AC BC⊥BD （已知）
∴∠CAE＝∠DBE ＝90° （垂直的定义）
在△DBE与△CAE中
∵
∴△DBE≌△CAE （AAS）
∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等）
∴ED－EA＝EC－EB
即：AD＝BC。
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）

二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE
分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：分别延长BA，CE交于点F。
∵BE⊥CF （已知）
∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义）
在△BEF与△BEC中，
∵
∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=CF （全等三角形对应边相等）
∵∠BAC=90° BE⊥CF （已知）
∴∠BAC＝∠CAF＝90° ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°
∴∠BDA＝∠BFC
在△ABD与△ACF中

∴△ABD≌△ACF （AAS）∴BD＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD＝2CE

四、取线段中点构造全等三有形。
例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。
分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。
证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中 ∵
∴△ABN≌△DCN （SAS）
∴∠ABN＝∠DCN NB＝NC （全等三角形对应边、角相等）
在△NBM与△NCM中
∵
∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB （全等三角形对应角相等）∴∠NBC＋∠ABN ＝∠NCB＋∠DCN 即∠ABC＝∠DCB。
巧求三角形中线段的比值
例1. 如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。
解：过点D作DG//AC，交BF于点G
所以DG：FC＝BD：BC
因为BD：DC＝1：3 所以BD：BC＝1：4
即DG：FC＝1：4，FC＝4DG
因为DG：AF＝DE：AE 又因为AE：ED＝2：3
所以DG：AF＝3：2
即 所以AF：FC＝：4DG＝1：6

例2. 如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD
解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC
因为AF＝FC 所以AF：AC＝1：2
即EF：GC＝1：2，
因为CG：DE＝BC：BD 又因为BC＝CD
所以BC：BD＝1：2 CG：DE＝1：2 即DE＝2GC
因为FD＝ED－EF＝ 所以EF：FD＝
小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！

例3. 如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。
解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。
所以DF：BG＝CD：CB
因为BD：DC＝1：3 所以CD：CB＝3：4
即DF：BG＝3：4，
因为AF：BG＝AE：EB 又因为AE：EB＝2：3
所以AF：BG＝2：3 即
所以AF：DF＝

例4. 如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。
解：过点D作DG//CE，交AB于点G
所以EF：DG＝AF：AD
因为AF＝FD 所以AF：AD＝1：2 图4
即EF：DG＝1：2
因为DG：CE＝BD：BC，又因为BD：CD＝1：3， 所以BD：BC＝1：4
即DG：CE＝1：4，CE＝4DG
因为FC＝CE－EF＝
所以EF：FC＝＝1：7

练习：
1. 如图5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。
2. 如图6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。

答案：1、1：10； 2. 9：1

二 由角平分线想到的辅助线
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；
②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线
（一）、截取构全等

例1． 如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
例2． 已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC
分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。

例3． 已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD
分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：∠ADC+∠B=180 
分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。

例2． 如图2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。
求证：BC=AB+AD
分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。

例3． 已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：∠BAC的平分线也经过点P。
分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。

（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC）
分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。

例2． 已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。
分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。

例3．已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。
求证：AM=ME。
分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。
例4． 已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。求证：AM=（AB+AC）
分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=EC，另外由求证的结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。
三 由线段和差想到的辅助线
线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
D
A
E
C
B
例1．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

例3已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。
D
C
B
A
求证：BC=AB+DC。

M
B
D
C
A
例4如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB于M，且AM=MB。求证：CD=DB。

1．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。
E
D
C
B
A

2.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，
BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求证：BD=DE+CE

四 由中点想到的辅助线
三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。
（一）、由中点应想到利用三角形的中位线
例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。
证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，
∵ME是ΔBCD的中位线，
∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，
∵MF是ΔABD的中位线，
∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，
∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，
从而∠BGE=∠CHE。

（二）、由中线应想到延长中线
例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。
解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。
在ΔACD和ΔEBD中，
∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，
从而BE=AC=3。
在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，
∴BD===，故BC=2BD=2。
例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。
证明：延长AD到E，使DE=AD。
仿例3可证：
ΔBED≌ΔCAD，
故EB=AC，∠E=∠2，
又∠1=∠2，
∴∠1=∠E，
∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。
（三）、直角三角形斜边中线的性质
例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。
证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。
∵AB//DC，
∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，
∴∠1=∠2，
在ΔADE和ΔBCE中，
∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，
∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。
（四）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线
例6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。
证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，
∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，
∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。
注：此例中BE是等腰ΔBCF的底边CF的中线。
（五）中线延长
口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。
题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。
1 如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。
B
E
C
D
A

3 如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，∠BAC=∠DAE=90°。求证：AM⊥DC。
D
M
CD
ED
AD
BD

A
B
D
C
E
F
5．已知：如图AD为△ABC的中线，AE=EF，求证：BF=AC

五 全等三角形辅助线
（一）、倍长中线（线段）造全等
1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

中考应用
例题：以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图① 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，
线段AM与DE的数量关系是 ；
（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

（二）、截长补短
1.如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC

2：如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD

3：如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

4：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：

5

（三）、借助角平分线造全等
1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

2：（06郑州市中考题）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.

3.如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
(第23题图)
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（四）、旋转
1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

2：D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
（1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。
（2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。

3.如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；

4．已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
（图1）

（图2）

（图3）

5.已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

6.在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．

图1 图2 图3
（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ；
（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，
若AN=，则Q= （用、L表示）．

梯形中的辅助线
1、平移一腰：
例1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长.
解：过点D作DE∥BC交AB于点E.
又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.
所以DE＝BC＝17，CD＝BE.
在Rt△DAE中，由勾股定理，得
AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.
所以AE＝8.
所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.
即CD＝8.
例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。
解：过点B作BM//AD交CD于点M，
在△BCM中，BM=AD=4，
CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，
所以BC的取值范围是：
5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。
2、平移两腰：
例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得
∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°
则△EGH是直角三角形
因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点
所以

3、平移对角线：
例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．
解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．
A
B
D
C
E
H
∵AD∥BC ∴四边形ACED是平行四边形
∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4
∵在△DBE中， BD=3，DE=4，BE=5
∴∠BDE=90°．
作DH⊥BC于H，则
．
例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：AC⊥BD。

解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，
易得四边形BCED是平行四边形，
则DE=BC，CE=BD=，
所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。
在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，
所以在△ACE中，，
从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。
例6如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。

解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E，
则四边形ACED是平行四边形，
即。
所以
由勾股定理得
（cm）
（cm）
所以，即梯形ABCD的面积是150cm2。
（二）、延长
即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。
例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

解：延长BA、CD交于点E。
在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。
所以∠E=50°，从而BC=EC=5
同理可得AD=ED=2
所以CD=EC－ED=5－2=3
例8. 如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.
解：四边形ABCD是等腰梯形.
证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示.
∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，
∴△DAB≌△CBA.
∴∠DAB＝∠CBA.
∴EA＝EB.
又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.
而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，
∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.
又AD不平行于BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形.
（三）、作对角线
即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。

解：连结BD，
由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；
由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。
所以∠ADB=∠BDE。
又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，
所以Rt△BAD≌Rt△BED，
得AD=DE。
（四）、作梯形的高
1、作一条高
例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。

证：过点D作DG⊥AB于点G，
则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。
因为AB=2DC，所以AG=GB。
从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。
又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。
2、作两条高
A
B
C
DD
ED
FD
例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，
求：(1)腰AB的长；(2)梯形ABCD的面积．
解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形， EF=AD=3cm
∵AB=DC

∵在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=1cm
∴AB=2BE=2cm，
∴
（五）、作中位线
1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。
例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。

证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=（AB＋CD）①
在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE
所以 ②
由①、②得AB＋CD=AD。
2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。
例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2）。
证：连接DF，并延长交BC于点G，易证△AFD≌△CFG
则AD=CG，DF=GF
由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位线
从而EF//BG，且
因为AD//BG，
所以EF//AD，EF
3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
例15、在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。
解：分别延长AE与BC ，并交于F点
∵∠BAD=900且AD∥BC
∴∠FBA=1800－∠BAD=900
又∵AD∥BC
∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等)
∠AED=∠FEC （对顶角相等）
DE=EC （E点是CD的中点）
∴△ADE≌△FCE （AAS）
∴ AE=FE
在△ABF中∠FBA=900 且AE=FE
∴ BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴ 在△FEB中 ∠EBF=∠FEB
∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE
A
B
D
C
E
F
例16、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系？
解：AE=BE，理由如下：
延长AE，与BC延长线交于点F．
∵DE=CE，∠AED=∠CEF，
∠DAE=∠F
∴△ADE≌△FCE
∴AE=EF
∵AB⊥BC， ∴BE=AE．
例17、已知：梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点，EF⊥AB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积．
解：如图，过E点作MN∥AB，分别交AD的延长线于M点，交BC于N点．
A
B
C
D
E
F
M
N
∵DE=EC，AD∥BC
∴△DEM≌△CNE
四边形ABNM是平行四边形
∵EF⊥AB，
∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×EF=15cm2．

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（ ）
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22

**8. 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？

．圆中作辅助线的常用方法：
例题1：如图2，在圆O中，B为的中点，BD为AB的延长线，∠OAB=500，求∠CBD的度数。
解：如图，连结OB、OC的圆O的半径，已知∠OAB=500
∵B是弧AC的中点
∴弧AB=弧BC
∴AB==BC
又∵OA=OB=OC
∴△AOB≌△BOC（S.S.S） 图2
∴∠OBC=∠ABO=500
∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800
∴∠CBD=1800 - 500- 500
∴∠CBD=800
答:∠CBD的度数是800.
例题2:如图3,在圆O中,弦AB、CD相交于点P，求证：∠APD的度数=（弧AD+弧BC）的度数。
证明：连接AC，则∠DPA=∠C+∠A
∴∠C的度数=弧AD的度数
∠A的度数=弧BC的度数
∴∠APD=（弧AD+弧BC）的度数。 图3

一、造直角三角形法
1.构成Rt△,常连接半径
例1. 过⊙O内一点M ,最长弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,求AM长;
2.遇有直径,常作直径上的圆周角
例2. AB是⊙O的直径,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,过D作⊙O的切线,交AC于E.
求证:CE = AE;
3.遇有切线,常作过切点的半径
例3 .割线AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F.
求证:∠OAE = ∠OBF;
4.遇有公切线,常构造Rt△(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长)
例4 .小 ⊙O1与大⊙O2外切于点A,外公切线BC、DE分别和⊙O1、⊙O2切于点B、C和D、E，并相交于P，∠P = 60°。
求证：⊙O1与⊙O2的半径之比为1：3；
5．正多边形相关计算常构造Rt△
例5.⊙O的半径为6,求其内接正方形ABCD与内接正六边形AEFCGH的公共部分的面积.
二、欲用垂径定理常作弦的垂线段
例6. AB是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求证:EC = DF;
(2)若AE = 2,CD=BF=6,求⊙O的面积;
三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形
例7. AB是⊙O直径,弦CD⊥AB,M是上一点,AM延长线交DC延长线于F.
求证: ∠F = ∠ACM;
四、切线的综合运用
1．已知过圆上的点，常_________________
例8.如图， 已知：⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P点的割线交⊙O1于A，交⊙O2于C，过点O1的直线AB ⊥BC于B.求证： BC与⊙O2相切.

六、开放性题目
例17．已知：如图，以的边为直径的交边于点，且过点的切线平分边．
（1）与是否相切？请说明理由；

（第23题）
（2）当满足什么条件时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由．

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