2018年中考圆的易错题好题整理.doc

圆的易错题好题整理
2018年1月23日制作

知识点一 圆的有关性质
例题1 （2015 黔南州 难度★）
如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB且相交于点E，则下列结论中不成立的是（　　）

A．∠A=∠D B．= C．∠ACB=90° D．∠COB=3∠D

思路方法：根据垂径定理、圆周角定理，进行判断即可解答．
解析：
A、∠A=∠D，正确；B、，正确；
C、∠ACB=90°，正确；D、∠COB=2∠CDB，故错误；
故选：D
点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了圆周角定理，解集本题的关键是熟记垂径定理和圆周角定理．

例题2 （2015 黔西南州 难度★）
如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为　 　．

思路方法：连接OC，由垂径定理得出CE=CD=2，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，由勾股定理得出CE2+OE2=OC2，得出方程，解方程即可．
解析：
连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=CD=2，∠OEC=90°，
设OC=OA=x，则OE=x﹣1，
根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2，
即22+（x﹣1）2=x2，
解得：x=；
故答案为：．
点评：本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．

练习1
1.（2015 珠海 难度★）
如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50°
2.（2015 黄冈中学自主招生 难度★★★）
将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（　　）

A．3 B．8 C． D．2
3.（2015 通辽 难度★）
如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA=48°，则∠C的度数为　　　．

4.（2013 株洲 难度★★）
如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是　　　度．

5.（2014 衡阳 难度★★★）
如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为　　　　　　．

知识点二 与圆的位置关系
例题1 （2014 德州 难度★★★）
如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

思路方法：（1）连接BD，先求出AC，在Rt△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以Rt△ABD是直角等腰三角形，求出AD；（2）连接OC，由角的关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切．
解析：
（1）①如图，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
AC===5（cm），
②∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴，
∴AD=BD，
∴Rt△ABD是直角等腰三角形，
∴AD=AB=×10=5cm；

（2）直线PC与⊙O相切，
理由：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠OCA，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB，
∴∠PCB=∠CAO=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，
即OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切．
点评：本题主要考查了切线的判定，勾股定理和圆周角，解题的关键是运圆周角和角平分线及等腰三角形正确找出相等的角．

例题2 （2014 长沙 难度★★★★）
如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值．

思路方法：（1）连接OD，可以证得DE⊥OD，然后证明OD∥AC即可证明DE⊥AC；（2）利用△DAE∽△CDE，求出DE与CE的比值即可．
解析：
（1）证明：连接OD，
∵D是BC的中点，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AC；

（2）解法1：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，
∴∠ADE=∠DCE
在△ADE和△CDE中，

∴△CDE∽△DAE，
∴，
设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a，
∴，整理得：x2﹣3x+1=0，
解得：x=，
∴tan∠ACB=或．
（可以看出△ABC分别为锐角、钝角三角形两种情况）

解法2：连OD，过点O作AC的垂线，垂足为F，
∴OF2+AF2=OA2，
∵AC=AF+FE+CE，且AC=AB=3DE，OB=OD=EF，
∴，
∴=或，
∴tan∠ACB=或．
点评：本题主要考查了切线的性质的综合应用，解答本题的关键在于如何利用三角形相似求出线段DE与CE的比值．

练习2
1. （2015 衢州 难度★★★）
如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（　　）

A．3 B．4 C． D．
2.（2015 镇江 难度★★★）
如图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=﹣1，则∠ACD=　　　　　　°．

3.（2013秋 延庆县校级期末 难度★★★）
已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠DAE=∠BAF．

4.（2015 辽阳 难度★★★）
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，DG⊥AC于点G，交AB的延长线于点F．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若AC=10，cosA=，求CG的长．

5.（2014 涪城区校级自主招生 难度★★★★）
已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．

知识点三 弧长、扇形面积
例题1 （2014 牡丹江 难度★★★）
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则S阴影=（　　）

A．π B．2π C． D．π

思路方法：求出CE=DE，OE=BE=1，得出S△BED=S△OEC，所以S阴影=S扇形BOC．
解析：
如图，CD⊥AB，交AB于点E，
∵AB是直径，
∴CE=DE=CD=，
又∵∠CDB=30°
∴∠COE=60°，
∴OE=1，OC=2，
∴BE=1，
∴S△BED=S△OEC，
∴S阴影=S扇形BOC==．
故选：D．
点评：本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，图形的转化是解答本题的关键．

例题2 （2014 锦州 难度★★★）
如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径为r的圆形和一个半径为R的扇形，使之恰好围成图中所示的圆锥，则R与r之间的关系是　 　．

思路方法：利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
解析：
扇形的弧长是：=，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：=2πr，
∴=2r，
即：R=4r，
r与R之间的关系是R=4r．
故答案为：R=4r．
点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．

练习3
1.（2014 杭州 难度★★）
已知某几何体的三视图（单位：cm），则这个圆锥的侧面积等于（　　）

A．12πcm2 B．15πcm2 C．24πcm2 D．30πcm2
2.（2015 包头 难度★★★）
如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π B．π C．π D．π
3.（2015 盐城 难度★）
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则的长度为　　　　　　．

4.（2015 湖北 难度★★★）
如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA=，∠P=60°，则图中阴影部分的面积为　　　　　　．

5.（2014 佛山 难度★★★★）
如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是　　　　．

知识点四 多边形和圆
例题1 （2015 宁夏 难度★★）
如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为　　　　　　．

思路方法：先连接OE，由于正六边形是轴对称图形，并设EF交Y轴于G，那么∠GOE=30°；在Rt△GOE中，则GE=，OG=．即可求得E的坐标，和E关于Y轴对称的F点的坐标，其他坐标类似可求出．
解析：
连接OE，由正六边形是轴对称图形知：
在Rt△OEG中，∠GOE=30°，OE=1．
∴GE=，OG=．
∴，，，，，．
故答案为：（，﹣）
点评：本题利用了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识．
例题2 （2015 金华 难度★★★★★）
如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（　　）

A． B． C． D．2

思路方法：首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出的值是多少即可．
解析：
如图，连接AC、BD、OF，，
设⊙O的半径是r，
则OF=r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴COF=30°+30°=60°，
∴FI=r•sin60°=，
∴EF=，
∵AO=2OI，
∴OI=，CI=r﹣=，
∴，
∴，
∴=，
即则的值是．故选：C．
点评：此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
练习4
1.（2014 南开区二模 难度★★）
若正六边形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（　　）
A．6，3 B．6，3 C．3，6 D．6，3
2.（2014 通辽模拟 难度★★）
如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P在劣弧上不同于点C得到任意一点，则∠BPC的度数是　　　　　　度．

3.（2015 宝应县二模 难度★★）
如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和为　　　　cm．

4．（2015 深圳校级模拟 难度★★★）
如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此规律，则第n个正多边形的面积为　　　　　　．

5.（2014 延庆县一模 难度★★★★）
如图，点E、D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE=CD，DB的延长线交AE于点F，则图1中∠AFB的度数为　　　　　　；若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其他条件不变，则∠AFB的度数为　　　　　　．（用n的代数式表示，其中，n≥3，且n为整数）

实战演练
1．（2014 益阳 难度★）
如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　）

A．1 B．1或5 C．3 D．5
2．（2014 天津 难度★）
如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（　　）

A．20° B．25° C．40° D．50°
3．（2015 珠海 难度★）
如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50°
4．（2015 诸城市二模 难度★）
如图，AB是⊙O的直径，D、C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB=60°，连接AC，则∠DAC等于（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
5．（2014 无锡 难度★★）
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0
6．（2015 齐齐哈尔 难度★★★）
如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）

A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
7．（2015 梧州 难度★★★）
如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心，ED为半径作半圆，交A、B所在的直线于M、N两点，分别以直径MD、ND为直径作半圆，则阴影部分面积为（　　）

A．9 B．18 C．36 D．72
8．（2015•宣城模拟 难度★★★）
如图，等腰三角形ABC内接于半径为5cm的⊙O，AB=AC，tanB=，则AB为（　　）

A．cm B．cm C．2cm D．2cm
9．（2015 海曙区模拟 难度★★★）
如图，平面直角坐标系中，已知P（6，8），M为OP中点，以P为圆心，6为半径作⊙P，则下列判断正确的有（　　）
①点O在⊙P外；②点M在⊙P上；③x轴与⊙P相离；④y轴与⊙P相切．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2014 连云港 难度★★★）
如图，点P在以AB为直径的半圆内，连接AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是（　　）
①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF．

A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
11．（2014 长春二模 难度★★★）
如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（　　）

A．70° B．60° C．50° D．40°
12．（2015 常德 难度★★★）
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（　　）

A．50° B．80° C．100° D．130°
13．（2015 黄石校级模拟 难度★★★★）
一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（　　）
A．5cm或11cm B．2.5cm C．5.5cm D．2.5cm或5.5cm
14．（2015 大庆模拟 难度★★★★）
如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（　　）

A． cm B．9 cm C．cm D．cm
15．（2014 武汉 难度★★★★★）
如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（　　）

A． B． C． D．
16．（2015 海淀区一模 难度★）
若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为　　　　　　．
17．（2015 淄博 难度★）
如图，在⊙O中，=，∠DCB=28°，则∠ABC=　　　　　　度．

18．（2015 徐汇区二模 难度★★）
如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G，若OE=5，则O到折痕EF的距离为　　　　　　．

19．（2015 恩施州 难度★★）
如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于　　　．

20．（2014 西宁 难度★★）
⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为　　　　　　．
21．（2014 重庆 难度★★）
如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB．若⊙O的半径为2，∠ABC=60°，则BC=　　　　　　．

22．（2014 资阳 难度★★）
已知⊙O1与⊙O2的圆心距为6，两圆的半径分别是方程x2﹣5x+5=0的两个根，则⊙O1与⊙O2的位置关系是　　　　　　．
23．（2015 贵阳 难度★★★）
小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是　　　　　　．

24．（2015 阜宁县二模 难度★★★）
如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于E点，⊙O的半径是r，△PCD周长为4r，则tan∠APB=　　　　　　．

25．（2015 牡丹江二模 难度★★★）
已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为　　　　　　．

26．（2014 绍兴 难度★★★）
把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为　　　　．

27．（2015 永州 难度★★★）
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB=60°．现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为　　　　　　．

28．（2015 贺州 难度★★★）
如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′，则点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是　　　　　　（结果保留π）．

29．（2014 苏州 难度★★★★）
如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是　　　　．

30．（2015 宁夏 难度★）
如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．

31．（2015 南开区一模 难度★）
已知，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．

（1）如图①，AB=10，AD=2，求AC的长；
（2）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C，G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求的值．

32．（2014秋 安庆期末 难度★★）
已知：如图，CA=CB=CD，过三点A，C，D的⊙O交AB于点F．
求证：CF平分∠BCD．

33．（2014 南通 难度★★★）
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；
（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．

34．（2014 汕头 难度★★★）
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．
（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求证：OD=OE；
（3）求证：PF是⊙O的切线．

35．（2014 丹徒区二模 难度★★★）
如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）求证：FD=FG．
（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．

36．（2015 滨州 难度★★★）
如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求的长．
（2）求弦BD的长．

37．（2014 潍坊 难度★★★）
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE．
（1）求证：OD∥BE；
（2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长．

38．（2014 扬州 难度★★★）
如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AF=CE，求线段BC的长度．

39．（2015 济南校级二模 难度★★★）
如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

40．（2015 崇安区二模 难度★★★）
如图，点A、B、C在⊙O上，且四边形OABC是一平行四边形．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．

41．（2015 柳州 难度★★★）
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．
（1）求证：AB=AC；
（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH=CE+EH．

42．（2015 呼伦贝尔 难度★★★）
如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）求证：AB=AC；
（2）若PC=2，求⊙O的半径．

43．（2015 铁岭 难度★★★）
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，以AD为直径作⊙O，连接BO并延长至E，使得OE=OB，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若BD=AD=4，求阴影部分的面积．

44．（2015 杭州模拟 难度★★★）
如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当β=36°时，求α的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
（3）若点C平分优弧AB，且BC2=3OA2，试求α的度数．

45．（2015 松江区二模 难度★★★）
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．
（1）若BE=8，求⊙O的半径；
（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．

46．（2014秋 龙江县校级月考 难度★★★）
如图，△ABC中，AC=AB，以AB为直径作半圆O，交AC于点E，交BC于点D．
（1）如图1，求证：CD=BD；
（2）如图2，连接CO交半圆O于点F，若AB=10，AE=8，求CF的长．

47．（2015 周村区一模 难度★★★）
如图，∠AOB=90°，C、D是的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=CD．

48．（2014 厦门 难度★★★★）
已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．

49．（2014 呼和浩特 难度★★★★）
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．
（1）求证：∠ACM=∠ABC；
（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．

50．（2015 黄陂区校级模拟 难度★★★★）
如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连接AC、FC．
（1）求证：∠ACF=∠ADB；
（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；
（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．

51．（2015 海宁市模拟 难度★★★★★）
如图，四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是⊙O上的一个动点（不与点B、C、D重合）．
（1）若点A在优弧上，且圆心O在∠BAD的内部，已知∠BOD=120°，则∠OBA+∠ODA=　　　　　　°．
（2）若四边形OBCD为平行四边形．
①当圆心O在∠BAD的内部时，求∠OBA+∠ODA的度数；
②当圆心O在∠BAD的外部时，请画出图形并直接写出∠OBA与∠ODA的数量关系．

52．（2015 杭州模拟 难度★★★★★）
已知：如图1，在⊙O中，直径AB=4，CD=2，直线AD，BC相交于点E．
（1）∠E的度数为　　　　　　；
（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．

答案
练习1
1. D 2. A 3. 4. 48 5.

练习2
1. D 2. 112.5
3.解：（1）连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO；
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）如图②，连接BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°﹣∠B，
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE，
在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，
∴∠AEF+∠B=180°，
∴∠BAF=∠DAE．

4．（1）证明：如图1，连接OD，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠ODG=∠DGC，
∵DG⊥AC，
∴∠DGC=90°，
∴∠ODG=90°，
∴OD⊥FG，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线FG是⊙O的切线．
（2）解：如图2，
∵AB=AC=10，AB是⊙O的直径，
∴OA=OD=10÷2=5，
由（1），可得
OD⊥FG，OD∥AC，
∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，
在△ODF和△AGF中，

∴△ODF∽△AGF，
∴，
∵cosA=，
∴cos∠DOF=，
∴=，
∴AF=AO+OF=5，
∴，
解得AG=7，
∴CG=AC﹣AG=10﹣7=3，
即CG的长是3．

5．（1）证明：连接OE，
∵AB=BC且D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE∥BD，
∵BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE为⊙O半径，
∴AC与⊙O相切．
（2）解：∵BD=6，sinC=，BD⊥AC，
∴BC=10，
∴AB=BC=10，
设⊙O 的半径为r，则AO=10﹣r，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A，
∴sinA=sinC=，
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴sinA===，
∴r=，
答：⊙O的半径是．

练习3
1. B 2. A 3. 4. 5.

练习4
1. B 2. 45 3. 18 4. 5.

实战演练
1-5 BCDBA 6-10 ABDCD 11-15 DDDCB 16. 或 17. 28 18. 19. 20. 4 21. 8 22. 外离 23. 24. 25.
26. 5 27. 28. 29. 2
30．（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴OB=2，AC=4，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴，
即，
∴BC=2．

31．解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠ACD=∠B，
又∵AD⊥CD，
∴∠CDA=90°=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2=AB•AD=10×2=20，
∴AC=2；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AGB=90°，
∴AB==5，
∵AD⊥CD，
∴∠CDA=90°=∠AGB，
又∵∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴．

32．证明：连接AD，
∵CA=CD，
∴∠D=∠CAD．
∵∠D=∠CFA，
∴∠CAD=∠CFA．
∵∠CFA=∠B+∠FCB，
∴∠CAF+∠FAD=∠B+∠FCB．
∵CA=CB，
∴∠CAF=∠B，
∴∠FAD=∠FCB，
∵∠FAD=∠FCD，
∴∠FCB=∠FCD，
∴CF平分∠BCD．

33. 解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，
∴CE=DE=8，
设OB=x，
又∵BE=4，
∴x2=（x﹣4）2+82，
解得：x=10，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=30°．

34．（1）解：∵AC=12，
∴CO=6，
∴==2π；
答：劣弧PC的长为：2π．
（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，
∠PEA=90°，∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中，
，
∴△POE≌△AOD（AAS），
∴OD=EO；
（3）证明：如图，连接AP，PC，
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA，
由（2）得OD=EO，
∴∠ODE=∠OED，
又∵∠AOP=∠EOD，
∴∠OPA=∠ODE，
∴AP∥DF，
∵AC是直径，
∴∠APC=90°，
∴∠PQE=90°
∴PC⊥EF，
又∵DP∥BF，
∴∠ODE=∠EFC，
∵∠OED=∠CEF，
∴∠CEF=∠EFC，
∴CE=CF，
∴PC为EF的中垂线，
∴∠EPQ=∠QPF，
∵△CEP∽△CAP
∴∠EPQ=∠EAP，
∴∠QPF=∠EAP，
∴∠QPF=∠OPA，
∵∠OPA+∠OPC=90°，
∴∠QPF+∠OPC=90°，
∴OP⊥PF，
∴PF是⊙O的切线．

35．解：（1）如右图所示，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠CAB+∠MAC=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线．
（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠EDB+∠ABD=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBG+∠BGC=90°
∵D是弧AC的中点，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠EDB=∠BGC，
∵∠DGF=∠BGC，
∴∠EDB=∠DGF，
∴DF=FG．
（