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第一章 函数的极限与连续
极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念.
§1-1函数
一、函数的概念
定义1.1 设有一非空实数集D，如果存在一个对应法则，使得对于每一个，都有一个惟一的实数与之对应，则称对应法则是定义在D上的一个函数. 记作y=f(x)，其中为自变量，y为因变量，习惯上称y是的函数，D称为定义域.
当自变量x 取定义域D内的某一定值时，按对应法则f所得的对应值y0， 称为函数y=f(x)在x =x0时的函数值，记作f(x0)，即 y0=f(x0). 当自变量x取遍D中的数，所有对应的函数值y构成的集合称为函数的值域，记作M，即

例1 已知，求，，
解

例2 求下列函数的定义域.
（1） (2)
解（1），所以定义域为
（2），所以定义域为
由函数定义可知，定义域与对应法则一旦确定，则函数随之惟一确定. 因此，我们把函数的定义域和对应法则称为函数的两个要素. 如果两个函数的定义域、对应法则均相同，那么可以认为这两个函数是同一函数. 反之，如果两要素中有一个不同，则这两个函数就不是同一函数.
例如： 与,因为,即这两个函数的对应法则相同，而且定义域均为R，所以它们是相同的函数.
又如与，虽然，但由于这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数.
通常函数可以用三种不同的形式来表示：表格法、图形法和解析法（或称公式法）.三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用.
二、函数的性质
1、 单调性
设函数在（）内有定义，若对（）内的任意两点，当时，有
，则称在（）内单调增加；若当时，有，则称在（）内单调减少，区间（）称为单调区间.
2、 奇偶性
设函数在D上有定义，若对于任意的，都有，则称
为偶函数；若有，则称为奇函数.
在直角坐标系中，奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称，且偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.
3、 有界性
若存在一个正数M，使得对任意的，恒有，则称函数y=f(x)在（）内有界.
如y=sinx与y=cosx都在（）内有界.
4、 周期性
设函数在D上有定义，若存在一个正实数T，对于任意的，恒有
，则称是以T为周期的周期函数.
通常所说的周期函数的周期，是指它们的最小正周期. 如的周期是2，的周期是，的周期是. 函数,（为常数）是周期函数,但不存在最小正周期,此类函数称为平凡周期函数.
三、反函数
定义1.2　设函数，其定义域为D，值域为M. 如果对于每一个，有惟一的一个与之对应，并使成立，则得到一个以为自变量，为因变量的函数，称此函数为y=f(x)的反函数，记作

显然，的定义域为M，值域为D. 由于习惯上自变量用x表示，因变量用表示，所以的反函数可表示为

例如的反函数是，其定义域就是的值域，值域是的定义域，如图1-1（a）所示.

（a）

（b）
在同一直角坐标系中，函数y=f(x)和其反函数的图象关于直线对称.如图1-1（b）所示.

图1—1
四、初等函数
1、基本初等函数
下列六种函数统称为基本初等函数.
（1）常数函数（为常数），其图形为一条平行或重合于轴的直线.
（2）幂函数（为实数）,其在第一象限内的图形如图1-2所示.

图1-2

（3）指数函数（），定义域为R，值域为，图形如图1-3所示.

（a）
（b）

图1-3

（4）对数函数，定义域，值域为R，图形如图1-3（b）所示.

（a）
（b）
（5）三角函数，，，，，. 其中正弦函数和余弦函数的定义域都为R，值域都为，正切函数的定义域为，值域为R，这三个函数的图形如图1-4所示.

图1-4

（6）反三角函数，，，，其中反正弦函数与反余弦函数的定义域都为，值域分别为和反正切函数y=arcanx的定义域R，值域为，这三个函数的图形如图1-5所示.

图1-5

2、复合函数
定义1.3 设函数的定义域为，函数的值域为,若，则将称为与复合而成的复合函数，称为中间变量，为自变量.
如函数，因为的值域包含在的定义域（0，+）内，所以是与复合而成的复合函数.
注意：（1）并不是任何两个函数都可以复合的，如与就不能复合. 因为的值域为，而的定义域为，所以对于任意的所对应的，都使无意义；
（2）复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合.
例4 指出下列函数的复合过程
（1） ； （2）.
解 （1）是由与 复合而成的；
（2）是有, 复合而成的.
例5 已知f（x）的定义域为，求f（lnx）的定义域.
解 由得
所以的定义域为.
3、初等函数
定义1.4 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合，且可用一个解析式表示的函数，称为初等函数.

1
o
y

图1-6
有些函数，在其定义域内，当自变量在不同范围内取值时，要用不同的解析式表示，这类函数称为分段函数，分段函数中有些是初等函数，有些是非初等函数.
例6 已知，求，
1
，，，并作出函数图形
解 ； ；
；
图形如图1-6所示
五、建立函数关系举例
运用函数解决实际问题，通常先要找到这个实际问题中的变量与变量之间的依赖关系，然后把变量间的这种依赖关系用数学解析式表达出来（即建立函数关系），最后进行分析、计算.

例7 如图1-7，从边长为a的正三角形铁皮上剪一个矩形，设矩形的一条边长为x，周长为P，面积为A，试分别将P和A表示为x的函数.
解 设矩形的另一条边长为=
该矩形周长P=，

矩形面积， . 图1-7
例8 电力部门规定，居民每月用电不超过30度时，每度电按0.5元收费，当用电超过30度但不超过60度时，超过的部分每度按0.6元收费,当用电超过60度时,超过部分按每度0.8元收费,试建立居民月用电费G与月用电量W之间的函数关系.
解 当时，G=05W
当时,G=
当时,G=
所示

习题1-1
1、 求下列函数的定义域
（1） （2）
（3） （4）
2、已知，求，，的值，并作出函数的图形.
3、求下列函数的反函数
（1） （2） （3）
4、判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
（3） （4）.
5、分析下列复合函数的结构，并指出它们的复合过程
（1） （2）
（3） （4）
6、把一个直径为50厘米的圆木截成横截面为长方形的方木，若此长方形截面的一条边长
厘米，截面面积为A平方厘米，试将A表示成的函数，并指出其定义域.

§1-2极限的概念
一、数列的极限
先看下面两个按一定次序排列的一列数
（1）1，，，……，,……
（2），，，……，,……
我们称它们为数列，分别记作，.
现在来考察无限增大时，这两个数列的变化趋势. 为清楚起见，我们把这两个数列的前项：， ……分别在数轴上表示出来（如图1-8，图1-9所示）.

图1-8
图1-9

由图1-8可以看出，当无限增大时，表示的点逐渐密集在点的右侧，且无限接近于0；由图1-9可以看出，当无限增大时，表示的点逐渐密集在点当的左侧，且无限接近于1.
上述两个数列具有相同的变化特征，即当无限增大时，它们都无限接近于一个确定的常数.对于具有这样特征的数列，我们给出定义.
定义1.5如果当无限增大时，数列无限接近于一个确定的常数A，则把常数A称为数列的极限（也称数列收敛于A）记作
或当时，
因此，上述数列（1）有极限为0，记作；数列（2）有极限为1，记作.
例1 观察下面数列的变化趋势，并写出它们的极限.
（1） （2）
（3） （4）
解 （1）的项依次为1，，，……，当无限增大时，无限接近于0， 所以 =0；
（2）的项依次为2，，，……，当无限增大时，无限接近于1，所以=1；
（3）的项依次为，，，，……，当无限增大时，无限接近于0，所以=0；
（4）为常数数列，无论取怎样的正整数，始终为4，所以.
一般地，一个常数数列的极限等于这个常数本身，即
（为常数）
需要指出的是，并不是所有数列都有极限，如数列，当无限增大时，也无限增大，不能无限接近于一个确定常数，所以它没有极限. 又如数列，当无限增大时，在-1和1这两个数上来回摆动，不能无限接近于一个确定常数，所以它也没有极限.
对于没有极限的数列，我们称该数列的极限不存在，亦称该数列发散.
二、函数的极限
对于函数的极限，根据自变量的不同变化过程分两种情况介绍.
1、当时，函数的极限
当自变量的绝对值无限增大时，记作.
定义1.6 设函数在时有定义（为某个正实数），如果当自变量的绝对值无限增大时，函数无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为当时，函数的极限，记作（或当时，）.
需要指出的是，表示既取正值而无限增大（记作），同时又取负值而其绝对值无限增大（记作）
显然，函数在时的极限与在，时的极限存在以下关系：
定理1.1 的充要条件是.
例2 讨论下列函数当时的极限.
（1）； （2） ； （3）.
解 （1）由反比例函数的图形及性质可知，当无限增大时，无限接近于0，所以=0；
（2）由指数函数的图形及性质可知，，，所以不存在.
（3）由反正切函数的图形及性质可知，，，所以不存在.
2、 当时，函数的极限
当自变量无限接近于某一定值时，记作.
定义1.7 设，我们把集合{x│}称为点的邻域，点称为邻域的中心，称为邻域的半径. 称集合{x│0}为的去心邻域.
如图1-10（）、（）所示. 显然，的邻域即为开区间)，记为N();的去心邻域即为)),记为N().
图1-10

定义1.8 设函数在的某去心邻域N（）内有定义，如果当无限趋近于时，无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为当时函数的极限，记作
或当，A
图1-11
图1-12

如函数，从图1-11可看出，当从1的左、右两旁无限趋近于1时，曲线上的点M与M＇都无限接近于点N(1,2)，即函数的值无限接近于常数2，所以.

需要指出的是：
(1)由于现在考察的是当时函数的变化趋势，所以定义中并不要求在点处有定义；
(2) 表示自变量从的左、右两旁同时无限趋近于.
例3 考察当时，函数的变化趋势，并求时的极限.
解 从函数的图形（图1-12）可知，当从左、右两旁同时无限
趋近于-1时，函数的值无限趋近于常数，所以

定义1.9　设函数在（）（或（））内有定义，若当自变量从的左（右）近旁无限接近于，记作（）时，函数无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为时的左（右）极限，记作
或，（或）.
极限与左、右极限之间有以下结论：
定理1.2 的充要条件是.
例4 讨论下列函数当时的极限.
（1）； （2）.
解 （1）因为，，所以根据定理１.2，不存在. 称为符号函数，见图1-13.

图1-13
（2）因为，，所以根据定理1.2，，如图1-13（）.

习题1—2

习题1-2
1、观察下列数列的变化趋势，并判断极限是否存在，若存在，指出其极限值。
（1） （2）
（3） （4）
2、考察下列函数当时以的变化趋势，并求出其当时的极限。
（1） （2）
3、 讨论下列函数当时的极限
（1） （2）
§1-3 极限的运算
一、极限的四则运算
定理1.3 设，,则
（1）；
（2），（C为常数）；
（3）；
（4）(B)
说明：
（1）上述运算法则对于时的情形也是成立的;而且法则(1)与(3)可以推广到有限个具有极限的函数的情形.
（2）由于数列可以看作定义在正整数集上并依次取值的函数，所以数列极限可以看作是一种特殊的函数极限. 因此，对于数列极限也是有类似的四则运算法则.
例1 求.
解 =
=
=1+21--3=0
例2 求
解 =
=
==4
例3 求.
解 因为当时，分母的极限为零，所以不能直接应用法则（4）.但因，在的过程中，，所以

例4 求.
解 因为当时，与的极限都不存在，所以不能直接应用法则（1）计算，应先通分，进行适当的变形，然后用相应的法则来计算.
==
= ==--1
例5 求下列函数极限.
（1）； （2）.
解 （1）因为时，分子分母的极限都不存在，所以不能直接应用法则（4）.可先用同除分子、分母，然后再求极限
====
（2）不能直接应用法则（4）.先用同除分子、分母，
====0
例6 设无穷等比数列的首项为，公比q满足，求数列的所有项之和S.
解 设数列的前项的和为，由等比数列的前项和公式可得：

所以
==
=
=
因为，所以
故==
由此例可知，若一无穷等比数列的公比绝对值小于1（称为无穷递缩等比数列），则其所有项和为. 其中为首项,为公比，此式称为无穷递缩等比数列的求和公式.
二、无穷小与无穷大
1、无穷小
定义1.10 在自变量的某一变化过程中，若函数的极限为零，则称此函数为在自变量的这一变化中的无穷小量，简称为无穷小.
如函数，因为，所以函数是当时的无
穷小.
又如函数，因为，所以函数是当时的无穷小.
值得注意的是：
（1）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势. 如是当的无穷小，而当趋向其它数值时，就不是无穷小；
（2）常数中只有“0”可以看成无穷小，其他无论绝对值多么小的常数都不是无穷小.
无穷小具有如下性质：
（1）有界函数与无穷小的乘积为无穷小；
（2）有限个无穷小的代数和为无穷小；
（3）有限个无穷小的乘积为无穷小.
例7 求.
解 因，，即是当时的无穷小，是有界函数. 所以根据无穷小的性质知，仍为当时的无穷小，即

2、无穷小与极限的关系
定理1.4 在自变量的某一变化过程中，函数的极限为A的充要条件是可以表示成A与一个同一变化过程中的无穷小量之和. 即

3、无穷大
定义1.11 在自变量的某一变化过程中，函数的绝对值无限增大，而且可以任意地大，则函数称为在自变量的这一变化过程中的无穷大量，简称为无穷大，记为

这里采用极限记号只为方便起见，并不表明极限存在.
例如当时，无限增大，所以是当时的无穷大，记作；当时，总取正值而无限增大，所以是当时的无穷大，记作；当时，取负值而绝对值无限增大，所以是当时的无穷大，记作.
无穷小与无穷大的关系：
在自变量的同一变化过程中，若为无穷大，则为无穷小；反之，若为不恒等于零的无穷小，则为无穷大.
例8 求.
解 因为===
所以 .
结合本节的例5、例6，并可以证明：

三、无穷小的比较
定义1.12 设与是自变量的同一变化过程中的两个无穷小，
（1）若，则称是比高阶的无穷小，记作；
（2）若（为非零常数），则称与是同阶无穷小，特别地，若，则称与是等价无穷小，记作∽.
例9 下列函数是当时的无穷小，试与相比较，哪个是高阶无穷小？哪个同阶无穷小？哪个等价无穷小？
（1） （2） （3）
解 因为=
==3
==0
所以当时
是与等价的无穷小，
是与同阶的无穷小，
是比高阶的无穷小.

习题1-3
1、求下列函数的极限：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
2、求无穷递缩等比数列， ，，…….的所有项之和.
3、试比较下列各组无穷小阶数的高低
（1）与 （）
（2）与 （）
（3）与 （）
§1-4两个重要极限
一、极限存在准则
我们不加证明地给出以下两个极限存在准则：
准则1 如果函数，，在（或在时，）有
，而且==A，则
=A
准则2 如果数列单调有界，则极限一定存在.
二、两个重要极限
1、
这个极限的正确性可用准则1来证明. 这里，我们仅列表考察当时，的变化趋势.

0.8414709
0.9588511
0.9983342
0.9999833
0.9999998

从上表可以看出，当时，的值无限趋近于1，所以

例1 .
解 令则当时，，所以
===
此例还可以用正弦的二倍角公式来解：
====
例2 求.
解 令 则当时，所以
===1
例3 证明.
证 ===1
例4 求.
解
实际上，这个重要极限还可推广到一般情况：当时，若，则有

例5 求.
解 ===
例6 求.
解 ==1
2、
这个极限的正确性可用极限存在准则2来证明，在此从略，仅列表考察当时，函数
的变化趋势.
x
10
100
1000
10000
100000
1000000

2.59374
2.70481
2.71692
2.71815
2.71827
2.71828

x
-10
-100
-1000
-10000
-100000
-1000000

2.86797
2.73199
2.71964
2.71842
2.71830
2.71828

从上表可以看出，当或时，的值都无限趋近于无理数所以

若令，则当时，，所以上式也可改写成：

一般地，当时，若，则有

例7 求.
解 ==
例8 求.
解 =
==
例9 求.
解 ==
==
习题1-4
1、求下列各极限
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
2、求下列各极限
（1） （2）
（3） （4）
§1-5 函数的连续性
在许多实际问题中，变量的变化往往是“连续”不断的. 例如，气温的变化、物体的运动等，其特点是时间变化很小时，这些变量的变化也很小. 变量的这种变化现象，体现在函数关系上，就是函数的连续性. 本节我们将用极限来定义函数的连续性.
一、函数的连续与间断
1、函数的改变量
设变量从初值变到终值，则终值与初值的差称为变量的改变量，也称为增量，记作△.即
△
变量的改变量△可以是正的，也可以是负的. 当△为正时，变量是增加的；当△为负时，变量是减少的.
现设函数在内有定义，当自变量在该邻域内从变到（即在处有改变量△）时，函数相应地从变到，所以函数相应的改变量为

这个关系式的几何解释如图1-14所示.

图1-14

例1 已知函数，当自变量有下列变化时，求相应的函数改变量.
（1）从变到1；
（2）从1变到0；
（3）从1变到.
解 （1）
（2）
（3）
2、函数在点处的连续性
由图1-14可以看出，如果函数的图形在的某一邻域内没有断开，那么当保持不变，而让时，曲线上的点，即，从而函数改变量
由此有如下定义.
定义1.13 设函数在内有定义，若当自变量在处的改变量趋近于零时，相应的函数改变量也趋近于零，即

则称函数在点处连续，称点为函数的连续点.
例2 试用定义1.13证明：函数在点处连续.
证明 显然函数在点的邻域内有定义. 现设自变量在处有改变量，则由例1，当，相应的函数改变量的极限.

所以，根据定义1.13，函数在点处连续.
在定义1.13中，若令，则就是，
，就是，即就是.
因此，函数在点的连续定义也可叙述如下：
定义1.14 设函数在内有定义，若当时，函数的极限存在，而且极限值就等于在点处的函数值，即

则称函数在点处连续.
例3 试用定义1.14证明：函数在点处连续.
证明 显然在的邻域内有定义，由无穷小的性质可知，

即
所以根据定义1.14，函数在点处连续.
3、函数在区间内的连续性
若函数在开区间内的每一点处都连续，则称函数在开区间内连续
若函数在有定义，且，则称函数在处.
左连续.
若函数在有定义，且，则称函数在处右连续.
显然函数在处连续的充要条件是：函数在该点既是左连续，又是右连续.
若函数在开区间内连续，且在右连续，在左连续，则称函数在闭区间上连续.
4、函数的间断点
由定义1.14可知，函数在点处连续必须同时满足下列条件：
（1）函数在点处有定义；
（2）当时，的极限存在；
（3）极限等于在点处的函数值，即.
上述三个条件中只要有一个不满足，函数在点处就不连续.
若函数在点处不连续，则称函数在点处间断，称点为函数的间断点.
定义1.15 设为的一个间断点，如果与均存在，则称为函数的第一类间断点，（特别地，当，为函数的可去间断点）否则，称为的第二类间断点.
二、初等函数的连续性
我们不加证明地给出如下重要事实：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
这样，求初等函数的连续区间就是求初等函数的定义区间. 关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一分段区间内的连续性外，必须讨论分界点的连续性.
例4 求下列函数的连续区间和间断点，并指出间断点的类型.
（1） （2）
解 （1）
其连续区间即为定义区间：、、，是它的两个间断点.
因为 ，所以是第二类间断点.
因为 ，所以是第一类可去间断点.
（2）显然，在分段区间内连续，现考察分界点的极限.

所以是间断点，且是第一类间断点.
；
所以 是连续点，故函数的连续区间是，.
三、闭区间上连续函数的性质
定理1.5（最大值、最小值定理） 若函数在闭区间上连续，则函数在区间上必然存在最大值与最小值.
如图1-15所示，函数在闭区间上连续,则在闭区间上至少存在一点，使得是函数在区间上的最大值，即对一切，均有成立；同样，也至少有一点，使得是函数在区间上的最小值，即对一切，均有成立.
图1-15

图1-16

定理1.6（介值定理） 设函数在闭区间上连续，，，且，则对于与之间的任一值，在开区间内至少存在一点，使得

如图1-15所示，在上连续的曲线与直线（介于，之间）至少有一个交点，设交点横坐标为，则纵坐标为.
定理1.7（零点定理） 设函数在闭区间上连续，且，则在开区间内，至少存在一点，使得.
如图1-16所示，当时，上的连续曲线与轴至少有一个交点.
习题1-5
1、已知 证明在处连续，在处间断.
2、求下列函数的连续区间和间断点，并指出间断点的类型.
（1） （2）
3、已知函数 在内连续，试求与的值.
本章内容小结
本章的主要内容有：
1、函数与反函数的概念；函数的有界性，奇偶性，单调性和周期性；基本初等函数的性质及复合函数与初等函数的概念.
2、数列极限与函数极限的概念；极限的四则运算；无穷大与无穷小的概念；两个重要极限与及运用.
3、函数的连续点与间断点的概念；函数在某点连续须满足的三个条件；初等函数的连续性；闭区间上的连续函数的性质；最大值与最小值定理、介值定理、零点定理.
学习中要注意的几点：
（1）,

（2）极限的四则运算法则仅适用于有限个具有极限的函数的情形；
（3）极限与连续的关系：若在点处连续，则极限存在；反之不一定成立.
复习题一
图1-17

1、 设为定义在对称区间上的函数，试判断函数与
的奇偶性. 你能从此题
的结果中得出什么结论？
2、设圆锥底面直径和母线都为，在该圆锥
内作内接圆柱（如图1-17），试将圆柱体积表示
成圆柱底面半径的函数.

3、求下列极限
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
4、设，求
5、求下列函数的连续区间和间断点，并指出间断点的类型.
（1） （2）
6、已知，求常数、之值.
7、已知 在处连续，求与.