初中数学竞赛绝对值.doc

初中数学竞赛辅导资料（62）
　　　　　　　　　　　绝对值
甲内容提要
1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.用式子表示如下：
0
2
X<0
0<x<2
x>2
2. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法.　例如：

（1）化简
解：当x=0,　x=2时,　=0；
当x<0或x>2时,　=x(x－2)=x2－2x；
当0<x<2时，=－x(x－2)=－x2+x.
（2）解方程=6.
解：当x<0时，x=－2；
当0≤x≤2时，方程无解；
当x>2时，x=4.
∴原方程的解是：x=－2， x=4..
（3）作函数y=的图象.
解：化去绝对值符号，得y=－2x+2 (x<0)；
y=2 (0≤x≤2) ；
y=2x－2 (x>2).
　　分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=的图象.
3. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.
用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.
例如：　①解方程；　②解不等式；　③解不等式.
解：①∵的几何意义是：x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，即3和－3，　
∴方程的解是x=3, x=－3.
②∵的几何意义是：x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，∴不等式的解集是　－3＜x＜3.
③∵的零点是x=－2,
∴的几何意义是：x是数轴上到点（－2）的距离大于3个单位的点所表示的数，
∴的解集是x<－5或x>1.（如下图）
1
-2 0
--5

4. 绝对值的简单性质：　
①绝对值是非负数；　②两个互为相反数，它们的绝对值相等.
根据这些性质，可简化函数的作图步骤.　例如：
（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的部份，绕x轴向上翻折
作函数图象：①y= 　　　　　　　　 ②y=

（2） 当f（－x）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x<0时函数图象，再画出关于纵轴对称的图象.
例如：y=x2－2－3的图象，
可先作y=x2+2x－3自变量x<0时的图象（左半图）
再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.

（3） 把y=的图象向上平移个单位，所得图象解析式是y=；
　　　把y=的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=.

（4） 利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便.
乙例题
例1. 已知方程＝ax+1有一个负根并且没有正根，求a的值.
（1987年全国初中数学联赛题）
解：当x<0时，原方程为－x=ax+1, 　x=, 　　∴ a+1>0.
　　　　∴a>－1；
　　　当x>0时，原方程为x=ax+1,　　　x=, 　∴1－a>0.
　　　　　∴a<1.
∵方程有一个负根并且没有正根，
∴a>－1且a≮1，
∴a的取值范围是a≥1.
例2. 求函数y=2的最小、最大值.
解：当x<0时，　y=－x+6；
当0≤x<3时，y=－3x+6；
当x≥3时，　y=x－6 .
根据图象有最低点而没有最高点
∴函数没有最大值只有最小值－3(当x=3时).

例3.　解方程：①；　　　②.
解：①∵点（x）到点A（－2）和点B（4）的距离相等（如下图），
　∴x=1.

②∵点（x）到点A（－1）与到点B（2）的距离的和等于4，＝3
∴x=2.5, 　x=-1.5.

例4. 解不等式: ①1≤≤3；　　　②.
解：①点（x）到点A（－2）的距离大于或等于1而小于或等于3
　　　　在数轴上表示如图，
∴不等式的解集是：　－5≤x≤－3　或－1≤x≤1

②点(x) 到点(-1)的距离，比到点(2)的距离大1个单位以上.
在数轴上表示，如图：

∴不等式的解集是x>1.
例5. 　a取什么值时，方程 有三个整数解？
　　　　　　(1986年全国初中数学联赛题)
解：化去绝对值符号，得=±a, =1±a , x－2=±(1±a)，
∴x=2±(1±a) .
当a=1时，x恰好是三个解4，2，0.
　　用图象解答更直观；
（1）先作函数 y= 图象，
（2）再作y=a(平行于横轴的直线 )与y= 图象相交，
恰好是三个交点时，y=1,
即a=1.
本题若改为：
有四个解，则0<a<1；
两个解，则 a=0 或a>1；
一个解，则a不存在；
无解，则a<0.

丙练习62
1.　方程=4的解是＿＿＿＿＿＿＿.
2.　方程=0的解是________.
3.　方程=3的解是________.
4.　方程=5的解是＿＿＿＿＿＿＿.
5.　不等式2≤≤5的解集是___________________.　
6.　不等式<5的解集是_______________________.　
7.　不等式<3的解集是_______________________.　
8.　不等式的解集是_______________________.　
9.　已知3-x,　那么 _______________.　
10.　关于x的方程=ax+2有根且只有负根，求a取值范围. 　
11.　a取什么值时，方程无解？有解？有最多解？
12.　作函数y=的图象；并求在－3≤x≤3中函数的最大、最小值.　
13.　解方程.　
14. 作函数y=的图象.
15. 选择题：（1972、1973年美国中学数学竞赛试题）
　　　①.对于实数x ，不等式1≤｜x－2｜≤7等价于（　　）
（A）　x≤1或x≥3　　　　　（B）1≤x≤3　　　　　　（C）－5≤x≤0　
（D）－5≤x≤1或3≤x≤9　　（E）－6≤x≤1或3≤x≤10
　　　②不等式｜x－1｜+｜x+2｜<5的所有的实数解的集合是（　　）
　　　（A）　　 (B) 　　(C)
　(D) 　 (E) φ（空集）