资源描述
课题名称：24.1.2 垂直于弦的直径
1、教学目标（或三维目标）
1.理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
2.通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解
2、教学重点
垂径定理及其运用．
3、教学难点
探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
4、教学过程：
1）课堂导入
①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
②连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；
③经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；
④圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作“”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．大于半圆的弧(如图所示)叫做优弧，小于半圆的弧(如图所示或)叫做劣弧．
⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
⑥圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
2）重点讲解
(学生活动)请同学按要求完成下题：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.
(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．
(老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是CD.
(2)AM＝BM，＝，＝，即直径CD平分弦AB，并且平分及.
这样，我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
3）问题探究
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD、弦AB，且CD⊥AB垂足为M.
求证：AM＝BM，＝，＝.
分析：要证AM＝BM，只要证AM，BM构成的两个三角形全等．因此，只要连接OA，OB或AC，BC即可．
证明：如图，连接OA，OB，则OA＝OB，
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM，
∴AM＝BM，
∴点A和点B关于CD对称，
∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．
∴＝，＝.
进一步，我们还可以得到结论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(本题的证明作为课后练习)
4）难点剖析
例1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
分析：要求当洪水到来时，水面宽MN＝32 m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然后运用几何代数解求R.
解：不需要采取紧急措施，
设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18，
R2＝302＋(R－18)2，
R2＝900＋R2－36R＋324，
解得R＝34(m)，
连接OM，设DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16，
342＝162＋(34－x)2，
162＋342－68x＋x2＝342，x2－68x＋256＝0，
解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)，
∴DE＝4，
∴不需采取紧急措施．
5）训练提升
一、选择题
1.如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）．
A.2 B.3 C.4 D.5
·
A
O
M
B
3.在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD,AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是（ ）．
A.7cm B.1cm C.7cm 或4cm D.7cm或1cm
4.如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，∠AOB＝120°，则弦AB的长是（ ）．B
（A） （B） （C） （D）
5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（ ）
A．CM=DM B． C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
6．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C．3 D．4
7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．20
8、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
二、填空题
1.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC，垂足为D，已知OD=5，则弦AC= ．
A
·
B
C
O
D
2、如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是 度．
3、如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为 ．
4、如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 ．
5、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，与轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），的半径为，则点P的坐标为 ____________.
6．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为 ．
7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=2，0C=1，则半径OB的长为 ．
8.如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是 ．
9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB(︵)），点O是这段弧的圆心，C是AB(︵)上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是 m.
10.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm．
三、解答题
1．如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD， E、F分别为弦AB、CD的中点，
证明：OE=OF。
2.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形.
3.如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．
4.某机械传动装置在静止时如图，连杆PB与点B运动所形成的⊙O交于点A，测得PA=4cm，AB=6cm，⊙O半径为5cm，求点P到圆心O的距离．
参考答案：
一、选择题
1.B ;2.A; 3.D; 4.B; 5.D; 6.C; 7.D; 8.C.
二、填空题
1.10
2、48°
3、
4、
5、(3,2)
6．5
7．2
8.6
9.250
10.
三、解答题
4．某机械传动装置在静止时如图，连杆PB与点B运动所形成的⊙O交于点A，测得PA=4cm，AB=6cm，⊙O半径为5cm，求点P到圆心O的距离．
5、板书设计：
24.1.2 垂直于弦的直径
垂径定理的几个基本图形：
垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
例题1：
6、教学反思：
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