倾斜角与斜率(AB分层训练)解析版.docx

专题2.1.1 倾斜角与斜率

1．（2022秋·高二课时练习）已知点，则直线的倾斜角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两点间斜率公式求解即可；
【详解】解析：，又因为
所以，
故选：B.
2．（2022秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知倾斜角为的直线与直线的夹角为，则的值为（    ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【分析】设直线的倾斜角为，根据得到，根据夹角得到答案.
【详解】，即，
设直线的倾斜角为，，则，，
夹角为，故或.
故选：C.
3．（2023春·山东临沂·高二统考期末）设直线的方程为，则的倾斜角的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求得直线斜率的取值范围，进而求得的倾斜角的取值范围.
【详解】直线的斜率，
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：A
4．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据斜率和倾斜角的对应关系，结合充分性和必要性的定义求解即可.
【详解】由直线的斜率可得，解得，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
5．（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设直线的倾斜角为，则有，，作出()的图象，由图可得的范围，即可得答案.
【详解】设直线的倾斜角为，
则有，，
作出()的图象，如图所示：

由此可得.
故选：A.
6．（2021秋·吉林松原·高二校考阶段练习）已知点两点，直线过点且与线段AB相交，则直线的斜率k的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据直线的倾斜角与斜率的变化关系求解.
【详解】设的斜率为，

所以的倾斜角为，的倾斜角为，
因为直线过点且与线段AB相交，
所以的倾斜角取值范围为或
所以直线的斜率k的取值范围是，
故选:D.
7．（2022·全国·高二专题练习）设直线l的斜率为k，且，直线l的倾斜角的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角与斜率的关系得到，结合正切函数的图象及，数形结合得到直线l的倾斜角的取值范围.
【详解】由题意得：，
因为，且，，
画出的图象如下：

所以
故选：D
8．（2022秋·湖南郴州·高二校考期中）（多选题）在下列四个命题中，错误的有（　　）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为
【答案】ACD
【分析】根据倾斜角和斜率的定义即可判断
【详解】对于A，倾斜角为的直线斜率不存在,所以A错误;
对于B,直线的倾斜角的取值范围为,所以B正确;
对于C,因为且，所以,所以C错误;
对于D,倾斜角为的直线斜率不存在,所以D错误.
故选：ACD
9．（2022秋·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习）（多选题）如图，设直线l，m，n的斜率分别为，，，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据直线的倾斜方向先判断出直线的倾斜角是锐角或钝角，再根据直线的倾斜程度判断其绝对值的大小，得出答案.
【详解】由图可知直线l，m，n的倾斜角分别为锐角、钝角、钝角，
所以
又直线m最陡峭，则，
所以，，．故选项BCD正确.
故选：BCD
10．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）若过两点的直线的倾斜角是，则= .
【答案】
【分析】先由倾斜角可得直线的斜率，再由两点连线的斜率公式即可求解.
【详解】因为过两点的直线的倾斜角是，
则直线的斜率，解得.
故答案为：
11．（2023·江苏·高二假期作业）直线（为常数）的倾斜角的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由已知可得直线的斜率，则其倾斜角满足，再结合正切函数的性质可求得结果.
【详解】因为直线（为常数）的斜率为，
所以直线的倾斜角满足，
因为，所以或，
即直线的倾斜角的取值范围是.
故答案为：
12．（2023·全国·模拟预测）已知点，，则直线的倾斜角为 ．
【答案】
【详解】方法一：由斜率和倾斜角关系，利用两点连线斜率公式可得，由此可得倾斜角；
方法二：根据三角函数定义可知在圆上，根据图形关系可求得，由此可得倾斜角.
【分析】方法一：设直线的倾斜角为，
则.
直线的倾斜角为；
方法二：由三角函数的定义可知：点在圆上，如图所示，

设为直线与轴的交点，则，，
，又，，
，直线的倾斜角为.
故答案为：.
13．（2023秋·湖北武汉·高二统考期末）经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围．
【详解】解：如图，

，，，
，，
则使直线与线段有公共点的直线的斜率 的范围为，，
又直线倾斜角的范围是：，且
直线l的倾斜角的范围为．
故答案为：．
14．（2022秋·四川绵阳·高二三台中学校考阶段练习）已知点、．
(1)当时，直线MN的倾斜角为何值？
(2)当m取何值时，直线MN的倾斜角为锐角、直角、钝角？
【答案】(1)0
(2)当或时，直线的倾斜角为锐角；当时，直线的倾斜角为直角；当时，直线的倾斜角为钝角
【分析】⑴利用斜率的公式求斜率；
⑵利用，倾斜角为锐角时斜率大于零，直角时斜率不存在，钝角时斜率小于零，列式求解.
【详解】（1）当m=1时，，，∴，倾斜角为0.
（2）当2m+3=m-2，即m=-5时，倾斜角为直角；
当时，①，
当倾斜角为锐角时，①>0，解得或，
当倾斜角为钝角时，①<0，解得，
综上所述，当或时，直线MN的倾斜角为锐角；当m=-5时，直线MN的倾斜角为直角；当时，直线MN的倾斜角为钝角.
15．（2022秋·广东广州·高二秀全中学校考阶段练习）已知坐标平面内三点，，．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围．
【答案】(1)，，，直线AB的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为．
(2)
【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；
（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可.
【详解】（1）由斜率公式，得，，，因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是 ，所以直线AB的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为．
（2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时由增大到，所以的取值范围为，即直线CD的倾斜角的取值范围为．

16．（2022·全国·高二期末）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线斜率可得倾斜角，再由倾斜角求倾斜角，即可得斜率.
【详解】直线的斜率为，即，所以倾斜角为，
所以直线的倾斜角为，
斜率．
故选：D
17．（2021秋·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题知，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
【详解】解：设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
所以，即，
因为，
所以或，
故直线的倾斜角的取值范围是．
故选：D．

18．（2022秋·湖北武汉·高二校考阶段练习）（多选题）如图，直线，，的斜率分别为，，，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】直接由斜率的定义判断即可.
【详解】由斜率的定义可知，.
故选：ABC.
19．（2021·全国·高二专题练习）（多选）若直线l的斜率为k，且抛物线与x轴没有交点，则直线l的倾斜角可以等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用方程的判别式小于0即可得到答案.
【详解】由于抛物线与x轴没有交点，
所以的判别式为，
解得，
因此直线l的倾斜角的取值范围是，
结合选项可知直线l的倾斜角可以等于．
故选：.
【点睛】本题考查函数与方程，抛物线的图象与轴交点的个数是由方程的判别式决定的.
20．（2022·江苏·高二专题练习）已知过点，的直线l的倾斜角为，若，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【分析】由倾斜角可得斜率k的范围，再由斜率公式可得m的取值范围.
【详解】设直线l的斜率为k，
则，因为，
所以．所以，
即解得或.
故答案为： .
21．（2021秋·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述
①平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
②平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
③若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
④若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
正确的有
【答案】①④
【分析】根据直线、倾斜角和斜率的知识对四个叙述逐一分析，由此确定正确结论.
【详解】①平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，①正确.
②平面直角坐标系中，垂直于轴的直线没有斜率，所以②错误.
③若一条直线的斜率为，如，但直线的倾斜角不是，所以③错误.
④若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为,④正确.
故答案为：①④
22．（2021·全国·高一假期作业）直线，则直线l的倾斜角的取值范围为 .
【答案】
【解析】根据斜率与倾斜角的关系求解．
【详解】时，直角斜率不存在，倾斜角为；
时，，倾斜角范围是；
时，，倾斜角范围是．
综上倾斜角范围是．
故答案为：．
23．（2017春·安徽·高一校联考期末）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】由题设可得求出，结合求直线斜率即可.
【详解】由题意，得：
而，则.
故答案为：.
24．（2021秋·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）已知方程．
(1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围；
(2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值；
(3)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值．
【答案】(1)，且
(2)
(3)
【分析】(1)根据直线方程的特征列出方程，解之即可；
(2)根据（1）直接得出结论；
(3)根据直线的倾斜角与斜率之间的关系，列出方程，解之即可求解.
【详解】（1）当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，
令，解得，；
令，解得，；
∴方程表示一条直线的条件是：，且．
（2）由（1）易知，当时，方程表示的直线的斜率不存在，
此时的方程为：，它表示一条垂直于x轴的直线．
（3）∵直线l的倾斜角是45°，∴其斜率为1，
∴，解得或（舍去）．
∴直线l的倾斜角是45°时，．