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第12讲 曲线运动 运动的合成与分解
——划重点之精细讲义系列
考点一 物体做曲线运动的条件与轨迹分析
一．曲线运动
1．运动特点
(1)速度方向：质点在某点的速度，沿曲线上该点的切线方向．
(2)运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，所以曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度．
2．曲线运动的条件
(1)从动力学角度看：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上．
(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上．
【典例1】(多选)某质点在光滑水平面上做匀速直线运动．现对它施加一个水平恒力，则下列说法正确的是( )
A．施加水平恒力以后，质点可能做匀加速直线运动
B．施加水平恒力以后，质点可能做匀变速曲线运动
C．施加水平恒力以后，质点可能做匀速圆周运动
D．施加水平恒力以后，质点立即有加速度，速度也立即变化
【典例2】若已知物体运动的初速度v0的方向及它受到的恒定的合外力F的方向，图中M、N、P、Q表示物体运动的轨迹，其中正确的是( )
【典例3】如图所示为质点做匀变速曲线运动轨迹的示意图，且质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是( )
A．质点经过C点的速率比D点的大
B．质点经过A点时的加速度方向与速度方向的夹角小于90°
C．质点经过D点时的加速度比B点的大
D．质点从B到E的过程中加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小
【典例4】一个质点受到两个互成锐角的力F1、F2的作用，由静止开始运动，若保持二力方向不变，将F1突然增大为2F1，则此后质点( )
A．不一定做曲线运动
B．一定做匀变速运动
C．可能做匀速直线运动
D．可能做匀变速直线运动
考点二 运动的合成与分解的应用
1．合运动与分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)．
(2)等效性：各分运动叠加起来与合运动有相同的效果．
(3)独立性：一个物体同时参与几个运动，其中的任何一个都会保持其运动性质不变，并不会受其他分运动的干扰．虽然各分运动互相独立，但是它们共同决定合运动的性质和轨迹．
2．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量，即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则．
3．合运动性质的判断
(1)合运动的速度大小不一定比每一个分运动的速度都大。
(2)两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。
(3)两个直线运动的合运动性质
分运动的性质
合运动的性质
两个分运动均为匀速直线运动
①当两个分速度v1、v2等大反向时，合速度 v=0，保持静止
②其他情况时，合速度大小、方向均不变，物体做匀速直线运动
一个分运动为匀速直线运动，另一个分运动为匀变速直线运动
①v0与a共线时，物体做匀变速直线运动
②v0与a不共线时，物体做匀变速曲线运动
两个分运动均为匀变速直线运动
①v、a 共线时，物体做匀变速直线运动（含v=0）
②v、a不共线时，物体做匀变速曲线运动
题组一 合运动性质的判断
【典例1】(多选)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧沿与水平方向成30°角的斜面向右上以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是( )
A．橡皮的速度大小为v
B．橡皮的速度大小为v
C．橡皮的速度与水平方向成60°角
D．橡皮的速度与水平方向成45°角
题组二 与运动图象结合的合成与分解问题
【典例2】物体在直角坐标系xOy所在的平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图象如图所示，则对该物体运动过程的描述正确的是( )
A．物体在0～3 s做直线运动
B．物体在3 s～4 s做直线运动
C．物体在3 s～4 s做曲线运动
D．物体在0～3 s做变加速运动
【典例3】有一个质量为2 kg的质点在x y平面上运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是( )
A．质点所受的合力为3 N
B．质点的初速度为3 m/s
C．质点做匀变速直线运动
D．质点初速度的方向与合力的方向垂直
考点三 小船渡河问题
1.模型展示
小船在渡河时，同时参与了两个运动：一是随水沿水流方向的运动，二是船本身相对于水的运动。小船实际发生的运动是这两个运动的合运动。模型主要讨论船渡河时间最短和位移最短这两个问题。设一条河宽为d，船在静水中的速度为vc，水流速度为vs，下面讨论小船渡河的这两类问题。
2.三种速度
vc（船在静水中的速度）、vs（水的流速）、v合（船的实际速度）。
3.船头指向与运动方向
船头指向，是分运动的方向。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动的方向，一般情况下与船头指向不一致。船头指向与河岸垂直说明船在静水中的速度方向与河岸垂直;行驶路线与河岸垂直说明船的合速度方向与河岸垂直。
4.分析思路及方法
方法一∶根据运动的实际效果分解
小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的运动，即随水流的运动（水的运动速度为vs）和船相对于水的运动（船在静水中的速度为vc），船的实际运动是合运动（v合）。
①当小船垂直于河岸过河时，过河路径最短，此时应将船头偏向上游，如图所示，过河时间（d为河宽）。
同时可以看出若要使小船垂直于河岸过河，必须使vs、vc和v合构成三角形，即满足vc＞vs，也就是船在静水中的速度要大于水流速度。
②若要小船过河的时间最短，应使船头垂直于河岸行驶，如图所示，过河时间，此时小船一定在对岸下游处靠岸。
③如果vc＜vs，要使渡河位移最小，小船不能垂直于河岸渡河。以水流速度的末端A为圆心，小船在静水中速度大小为半作圆，过O点作该圆的切线，交圆于 B 点，此时船头指与半径AB平行，如图所示。小船实际运动的速度（合速度）与垂直于河岸方向的夹角最小时，小船渡河位移最小。
由相似三角形可得，解得。
渡河时间仍可以采用①中的方法求解，。
方法二∶利用正交分解法分解
将船相对于水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图所示，则为船实际沿水流方向的速度，vcsinθ为船垂直于河岸方向的运动速度。
①要使船垂直渡河，则应使vs-vccosθ = 0，此时cosθ =（船头方向与上游河岸夹角θ的余弦值为）渡河位移最小为d。
②要使渡河时间最短，则应使vcsin θ最大，即当θ = 90°（船头方向与河岸垂直）时，渡河时间最短，t =。
【典例1】(多选)小船横渡一条两岸平行的河流，船本身提供的速度(即静水速度)大小不变、船身方向垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则( )
A．越接近河岸水流速度越小
B．越接近河岸水流速度越大
C．无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短
D．该船渡河的时间会受水流速度变化的影响
【典例2】(多选)一只小船在静水中的速度为3 m/s，它要渡过一条宽为30 m的河，河水流速为4 m/s，则这只船( )
A．过河时间不可能小于10 s
B．不能沿垂直于河岸方向过河
C．渡过这条河所需的时间可以为6 s
D．不可能渡过这条河
【典例3】有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )
A. B．
C. D.
【典例4】小船匀速渡过一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸．求：
(1)水流的速度；
(2)船在静水中的速度、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α.
(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关．
(2)船渡河位移最小值与v船和v水大小关系有关，v船＞v水时，河宽即为最小位移，v船＜v水时，应利用图解法求极值的方法处理．
考点四 关联速度问题
1．问题特点：沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等．
2．思路与原则
(1)思路
①明确合速度→物体的实际运动速度v；
(2)原则：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图所示．
【典例1】在距河面高度h＝20 m的岸上有人用长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°.人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，那么( )
A．5 s时绳与水面的夹角为60°
B．5 s后小船前进了15 m
C．5 s时小船的速率为4 m/s
D．5 s时小船到岸边的距离为15 m
【典例2】如图所示，物体A、B经无摩擦的定滑轮用细线连在一起，A物体受水平向右的力F的作用，此时B匀速下降，A水平向左运动，可知( )
A．物体A做匀速运动
B．物体A做加速运动
C．物体A所受摩擦力逐渐增大
D．物体A所受摩擦力不变
【典例2】如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为( )
A. B．
C. D.
1．精彩的F1赛事相信你不会陌生吧！车王舒马赫在一个弯道上突然调整行驶的赛车致使后轮脱落，从而不得不遗憾地退出了比赛．关于脱落的后轮的运动情况，以下说法中正确的是( )
A．仍然沿着汽车行驶的弯道运动
B．沿着与弯道垂直的方向飞出
C．脱落时，沿着轮子前进的方向做直线运动，离开弯道
D．上述情况都有可能
2．某电视台举办了一期群众娱乐节目，其中有一个环节是让群众演员站在一个旋转较快的大平台边缘上，向大平台圆心处的球筐内投篮球．如果群众演员相对平台静止，则下面各俯视图中哪幅图中的篮球可能被投入球筐(图中平台内箭头指向表示投篮方向)( )
3. 跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
4．(多选)如图，在河水速度恒定的小河中，一小船保持船头始终垂直河岸从一侧岸边向对岸行驶，船的轨迹是一个弯曲的“S”形，则( )
A．小船垂直河岸的速度大小恒定不变
B．小船垂直河岸的速度大小先增大后减小
C．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间长了
D．与船以出发时的速度匀速过河相比，过河时间短了
5. (多选)如右图所示，在灭火抢险的过程中，消防队员有时要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人或灭火作业．为了节省救援时间，在消防车向前前进的过程中，人同时相对梯子匀速向上运动．在地面上看消防队员的运动，下列说法中正确的是( )
A．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀加速直线运动
B．当消防车匀速前进时，消防队员一定做匀速直线运动
C．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速曲线运动
D．当消防车匀加速前进时，消防队员一定做匀变速直线运动
6．如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为( )
A．vsin α B.
C．vcos α D.
7．如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线水平时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则( )
A．v2＝0 B．v2＞v1
C．v2≠0 D．v2＝v1
8．(多选)一快艇要从岸边某一不确定位置处到达河中离岸边100 m远的一浮标处，已知快艇始终与河岸垂直，其在静水中的速度vx图象和流水的速度vy图象分别如图甲、乙所示，则( )
A．快艇的运动轨迹为直线
B．快艇的运动轨迹为曲线
C．能找到某一位置使快艇最快到达浮标处的时间为20 s
D．快艇最快到达浮标处经过的位移为100 m
9．质量m＝4 kg的质点静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点O处，先用沿＋x轴方向的力F1＝8 N作用了2 s，然后撤去F1；再用沿＋y轴方向的力F2＝24 N作用了1 s，则质点在这3 s内的轨迹为( )
10. 如图，船从A处开出后沿直线AB到达对岸，若AB与河岸成37°角，水流速度为4 m/s，则船从A点开出相对水流的最小速度为( )
A．2 m/s B．2.4 m/s
C．3 m/s D．3.5 m/s
11．在一个光滑水平面内建立平面直角坐标系xOy，质量为1 kg的物体原来静止在坐标原点O(0,0)，t＝0时受到如图所示随时间变化的外力作用，图甲中Fx表示沿x轴方向的外力，图乙中Fy表示沿y轴方向的外力，下列描述正确的是( )
A．0～4 s内物体的运动轨迹是一条直线
B．0～4 s内物体的运动轨迹是一条抛物线
C．前2 s内物体做匀加速直线运动，后2 s内物体做匀加速曲线运动
D．前2 s内物体做匀加速直线运动，后2 s内物体做匀速圆周运动
12. (多选)如图所示，某同学在研究运动的合成时做了如图所示活动：用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时用右手沿直尺向右移动笔尖．若该同学左手的运动为匀速运动，右手相对于直尺的运动为初速度为零的匀加速运动，则关于笔尖的实际运动，下列说法中正确的是( )
A．笔尖做匀速直线运动
B．笔尖做匀变速直线运动
C．笔尖做匀变速曲线运动
D．笔尖的速度方向与水平方向夹角逐渐变小
13. 如图所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向左运动时，系A、B的绳分别与水平方向成α、β角，此时B物体的速度大小为( )
A．vsin α/sin β B．vcos α/sin β
C．vsin α/cos β D．vcos α/cos β
14. 如图所示，在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用一长H＝50 m的悬索(重力可忽略不计)系住伤员B，直升机A和伤员B一起在水平方向上以v0＝10 m/s的速度匀速运动的同时，悬索在竖直方向上匀速上拉．在将伤员拉到直升机内的时间内，A、B之间的竖直距离以l＝50－5t(单位：m)的规律变化，则( )
A．伤员经过5 s时间被拉到直升机内
B．伤员经过10 s时间被拉到直升机内
C．伤员的运动速度大小为5 m/s
D．伤员的运动速度大小为10 m/s
15．（多选）如图所示，AB杆以恒定角速度ω绕A点转动，并带动套在光滑水平杆OC上的质量为M的小环运动，运动开始时，AB杆在竖直位置，则（ ）
A．小环M的速度将逐渐增大 B．小环M的速度将先减小后增大
C．小环M的加速度速度将逐渐增大 D．小环M的加速度速度将逐渐减小
16．（多选）如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽d，M、N分别是甲、乙两船的出发点，两船头与河岸均成角，甲船船头恰好对准N点的正对岸P点，经过一段时间乙船恰好到达P点，如果划船速度均为，且两船相遇不影响各自的航行。下列判断正确的是（ ）
A．水流方向向右，大小为
B．两船同时到达河对岸，花费时间均为
C．甲船水平位移为
D．甲乙两船会在PN上某点相遇
17．（多选）如图所示，小船从河岸的O点沿虚线匀速运动到河对岸的P点，河水的流速、船在静水中的速度与虚线的夹角分别为、，河宽为L，且、的大小不变，渡河的时间为t，河水的流动方向与河岸平行，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，渡河的时间最短
B．渡河时间
C．渡河时间
D．
18．如图所示，物块B套在倾斜杆上，并用轻绳绕过定滑轮与物块A相连（定滑轮体积大小可忽略），今使物块B沿杆由M点匀速下滑到N点，运动中连接A、B的轻绳始终保持绷紧状态，在下滑过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物块A的速率先变大后变小 B．物块A的速率先变小后变大
C．物块A始终处于失重状态 D．物块A先处于失重状态，后处于超重状态
19．如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大
B．球与物块分离前，球与物块的速度相等
C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小
D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度
20．一条河宽120m船在静水中的速度为3m/s，水流速度是6m/s，则（ ）
A．该船过河最短时间为
B．该船过河最短距离为
C．当船头与岸所成夹角为时，船过河的位移最短
D．当该船以最短时间过河时，该船的运动方向与垂直岸方向的夹角为
21．如图所示，在水平地面上有一个表面光滑的直角三角形物块M，长为L的轻杆下端用光滑铰链连接于O点（O点固定于地面上），上端连接小球m，小球靠在物块左侧，水平向左的推力F施于物块，整个装置静止。若撤去力F，下列说法正确的是（ ）
A．物块先做加速运动，后做减速运动直至静止
B．小球与物块分离时，轻杆中有力
C．小球与物块分离时，若轻杆与水平地面成α角，小球的角速度大小为ω，则物块的速度大小是
D．小球落地的瞬间与物块分离
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